数值分析课后题答案

《数值分析课后题答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析课后题答案（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、数值分析第一早2当x=ll,2时，f(x)=O,一3,4,求f(x)的二次插值多项式。1,x=2,2解：X=l,x0j=f(X。)=0,f(xj=-3,f(x2)=4;lo(x)=x-xixg=-l(x1)(x-2)(x2o-X/Xo_x2)oo_x2(x-x)(x-x)lli(x)i0202(x-l)(x-2)6(xix0)(xix2)(xx)(xx)l0,l2(x)0l(x-l)(xl)(X-X)(X-X)322i则二次拉格朗日插值多项式为(x)kLL2(X)=y1kkz0-3l(x)4l2(x)=(x_1)(x2)2532xx-6244(x-1)(x1)36设Xj,j=0n为互异节点，求

2、证:n(l)7xl(x)=xk：jj=0(k=0,1川，n);n(2)7(X.-x)kl,(x)三0(k=0,1川，n);jjj证明(1)令f(x)=xk若插值节点为Xj,j=0,l,|l（,n则函数f气x）的口次插值多项式为Ln（x）八xklj（x）。j=0(n十)()插值余项为Rn(X)二f(X)-Ln(X)n1(X)(n+1)!R(X)=Onn二瓦Xklj(x)=Xk(k=0,1川,n);j：on、(X-x)kl(x)jj卫jnn=為(C?xj(x)k_L)lj(x)jjj=0i=0nnikii=為Ck(-x)(、Xjlj(x)kjji=0j=0x-xoXxo又70_i_n由上题结论可知

3、n.原式二Ck(-x)k_LX,.=0=(X-X)k=0-得证。7设f(x)c2la,b1且f=f(b)二0,求(a)证:maxf(x)兰一(b-a)maxfa$至小一*丘(x).解：令xa,xb,以此为插值节点，则线性插值多项式为L.(xf(x)cf(xjioXo人ox-bx-a=f(a)f(b)a-bx-a又Tf(a)=f(b)二0L(x)=0.1插值余项为R(x)二f(x)-L(x)f(x)(x-xq)(x-,Qxj1f(x)=2f(x)(x-xg)(x-xj=2g又；(Xx)(xx.)oi乞卢2(X-X)(x.-X)oiLJ厶=g(X.-X。)24二_(ba)2412f(x)(a)f(

4、x二max8醴)&在-4乞x岂4上给出f(x)=ex的等距节点函数表，若用二次插值求截断误ex的近似值，要使差不超过1，问使用函数表的步长h应取多少？解：若插值节点为Xj丄Xj和X，则分段二次插值多项式的插值余项为.+1XR(x)=3f”(-)(XX.)(XX)(xXy)3!二r(x)兰6(xXJ)(xx)(xxy)maxf(X)设步长为h，即人二Xj-h,xi二人he4h327若截断误差不超过10$，则R2(x)n1冷必丿n22同理，梯形法公式为Y界y无X(1X)Xi(1X)nr界n无nnini将y=0,h=0.1代入上二式，计算结果见表95表95xn改进欧拉nyX)-y梯形法yn丨Y(Xj

5、-Yn0.10.0055000.337418036x100.0052380950.755132781x10660.20.0219275000.0214058960.30.0501443880.658253078x100.0493672390.136648778x100.40.0909306710.0899036920.50.1449922570.962608182x0.1437223880.185459653X10100.22373844300j0.125071672汉21B0.253048087X10J-0.152291668x10,可见梯形方法比改进的欧拉法精确。4、用梯形方法解初值问题y

6、+y=0;y(o)=i证明其近似解为并证明当hT0时，它原初值问题的准确解证明：梯形公式为yn厂ynf(Xn,yn)f(XnIYn代f（xy）二-y入上式，得yn+Lyny.+i解得齐1=(笄)yn=(冗)2儿2+h2十h(2h)(2h)因为yyn以h为步长经n步运算可求得y(x)=nh,n=,代入上式有hynmo啊(12h)2h2hx2h2hh2h；h010.证明解=f(x的下列差分公式3儿)2是二阶的，并求出截断差的首项。yn1=yn.h.Y(1)n1=ynhYyn1二y1-hyn2)nn7yn春o(h2)2号yn3)o(h3)YYnn=58.h3y3n3)h+n7yno(h3o(h)2，

7、截断误差首项为12.将下列方程化为一阶方程组y-3y2y=0,y(0)=1,y(0)=1；y-0.1(1-y2)yy=0,1)(1)y=zy4=yf)3hY8n。2)=1,z中y(0)1,z(0)=0-hy2)-hy3)nn2z=3z2y，其中y(0)=1O(h2)，代入得z(0)=1。y(0)=1,y(0)=0;()y=乙z=0.1(1-y2)zy,其21用二分法求方程x-X-1=的正根，要求误差小于0.05.解设f(x)=xXf(1)=T:0,f0,故1,2为f(x)的有根区间.又=2xf(x)-1,故当2时，0cx丄X)f(x)f(x)单增，当2时单增.而15),f(0)=-124,由单

8、调性知(x)=x的惟一正根,.根据二分法的误差估计式(7.2)知要求误差小于1口：:：0.050.05，只需2，解得k+15322，故至少应二分6次.具体计算结果见表7-7.表7-7kakbkXkf(Xk)的符号0121.5一11.521.75+21.51.751.625+31.51.6251.5625一41.56251.6251.59375一51.593751.6251.609375一即x*:x=1.60937553、为求X3X21=0在X。二5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式：x=1丄(1)X,迭代公式丄2=1X,迭代公式1(X-1,迭代公Xk1-112X1X

9、k1=(1Xk2)3=1.xk-1,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根试分析每种迭代公式的收敛性=1.5解取x的邻域1.3,1.6来考察.X当X1.3,16时WEg()鬥计肓八：故迭代公式Xk+=Xk在1.3,16上整体收敛(2)当x1.3,1.6时字，：(x)I如匕1=(1(x)只需xJF1=(1x2)1/321.3,1.6dML52212(1x2)3在131.6化-小口(11.32)3整体收敛.-1A13/2A2(x1)2(1.61)故由于的L叫小，故取中迭、代式计算.要求结果具有四位有效数xxl发散.L1xk-xr1鸟10IX0,对P1,2k2(1)取x。二,用牛顿迭代法k1=x

10、k兀3-3x-12x31kk3X2-3=3(x/-1)kx计算得=1.888888889,x=1.879451567,2,故x*：x2=1.879451567取X=2,x2=1.9,利用弦截法、，(XkXkJf(Xk)二Xf(Xk)-f(Xk)得，=1.981093936,X=1.880840630,3x=1.879489903-x*|】10,故取X*：X4W=X=1.953967549迭代结果为：312.应用牛顿法于方程x3-a=0，X=1.878015394,3导出求立方根X=1.8793868665已达四位有效数字a的迭代公式，并讨论其收敛性。=1879489903XTn=3,X2=2.

11、抛物线法的迭代式为2f(Xk)Xk*wsign(w)、,w-4f(Xk)fXk,Xk，XkfXk,XkfXk,Xk，Xk(Xk-Xk)迭代公式为x；-a3x(X)/x3a3X2:(XH2aX又4，所以15、证明迭代公式(x)3夕(-2)3(a)=2a1/3x所以；=0因此迭代格式为线性收敛。3a)3x2akx(x)Jx)证明(x)由的定义,有2k且a)=ax(x3a)23xa,则迭代式为2(3xa)：(x)=x(x3a)对上式两端连续求导三次，得6x(x)(3x2a):(x)=3x23a6(x)12x(x)(3x2a)(x)=6x18(x)18x”(x)(3x2a)”(x)=6xa代八a依次入上三式，并利用ta)，得3：(后)7O.aHO，:C.a)02a-a所以由定理7.4知，迭代公式是求的三阶方法且