高等教育学费问题的数学建模论

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1、高等教育学费标准制定问题的探讨摘要： 改革开放以来，我国的高等教育取得了长足发展，但一些问题也随之产生。社会普遍反映现阶段高校收费过高，使许多低收入家庭难以承担；但另一方面，如果高校收费标准制定的过低，又难以维持高校的发展，导致学生培养质量难以得到保证。本文针对这些问题进行了详尽的探讨，并得出了一个解决该问题比较好的数学模型。 通过研究发现，高等教育学费制定问题比较好的切合了经济上的投入产出模型，因此我们基于价格均衡理论，教育投入价值理论等经济学理论，并通过建立边际成本的定价模型，盈亏平衡的定价模型和整体效益最大化的定价模型，求解出了一个比较适合当今社会发展的全国高校收费的统一定价。 本文通过

2、分析决定，结合“考虑边际成本的收费模型”、“基于盈亏平衡的学费模型”、“考虑各方利益最大化的模型”这三个模型分别求得最优解，利用层次分析法，得出一个适合现在社会发展的最优学费标准。然而，在模型的建立、搜集数据与求解的过程中我们发现，中国的高等教育的发展并非完全受市场经济的支配，而是由国家统一制定学费标准，学费的制定并不完全遵循市场经济原理，不同地域的高校及其不同教学水平的高校的学费水平差距不大。因此，已有数据无法合理的确定出模型二及模型三的系数，进而也无法利用模型四进行优化分析。因此只能适可而止的给出该模型的一个建立过程。但是，限制也不是绝对的。中国的私立高校还是受一定的市场经济影响的，因此可

3、以用模型二和模型三两个模型来模拟私立高校收费政策的制定。本文结合投入产出模型，认为高校通过投入教育经费产出培养质量，教育经费的投入与培养质量的产出是成正相关性的，因此本文利用高校投入教育经费的多少来量化培养质量的高低。通过分析，可以很明显的发现，各大高校的培养质量是存在差别的。其中，一个很明显的差别是国家对一类本科、二类本科、三类本科等的划分。由于培养质量的差异，明显可知不同类别的高校收费是应该有差异的。因此，本文构想通过分层分析计算，将不同类别高校的财政数据分别代入该模型可分别求得相应类别高校的学费定价标准。然而，由于数据的限制，所能查到的只是国家重点高校的财政收支报表，因此本文着重对重点高

4、校的学费进行了分析计算。高校在制定收费标准的时候首先应保证满足基本支出需要，但过高的收费标准会使更多的家庭难以承受，从而使入学率降低。本文基于这两点考虑，设出函数关系，并利用所得到的数据，通过非线性最小二乘拟合，最终建立了一个较为合理的关系。经过一系列的分析计算，本文最终确定了重点高校在盈亏平衡点的收费约为8800元，此值明显高与现行收费标准。因此本文认为，国家与高校已经承受了一定的财政压力，在教育成本上作出了一定让步。但由于许多家庭的收入较低，许多人还是难以承受现行的教育收费标准。我国的经济一直处于快速增长的状态，学生家庭的收入会有所提高。但同时由于高等教育的快速发展以及物价上涨等因素，使高

5、等教育的成本也快速增加。相对而言，越来越多的家庭难以承受高等教育的费用，说明我过高等教育的发展速度快于经济的发展速度。最后，本文在结题处给出了一些通过本模型看到的社会问题的总结与建议。关键词： 边际成本 层次分析 盈亏平衡 学费定价1、问题重述强国梦是中国人200多年来的最大梦想，而要强国，首先要做的，就是振兴教育。教育乃强国之本是我们的共识。改革开放以来，我国的教育取得了深远的发展，教育理念也发生了重大的变化，比如高等教育逐步采取了收费制度并相对完善了资助政策。高等教育经费转变为由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成，一方面减轻了国家的负担，另一方面也符合当下“谁获益谁出资

6、”的大众看法。然而学费多少合适也随之成为一个敏感而又复杂的问题。现在我国各重点高校普通专业学费大约为4000-6000元，这样的标准是否合适？现在的问题就是如何综合考虑家庭可支付能力和学校的教学质量，提出一个合理的收费标准。2、问题分析 学费过低会影响学校的教学质量，过高又会超过很多家庭的可支付能力，本文给出的模型要对以上两项做到统筹兼顾。 首先，我们看到现在有些高校由于收入与支出的不平衡而出现了大额的银行欠款，进而影响到其在社会中的声誉。很多教师和学生在通过比较后会选择声誉较好的学校教学或求学，因此上面提到的这类高校的教学质量显然会出现严重的下滑。所以，本文认为，高校教育学费的制定，首先要考

7、虑的是保证学校的收支平衡问题。同时，本文认为大学收益的增加对其教学质量是有正相关的作用的。 其次，高校学费的制定必须考虑到家庭的可承受能力，而每个家庭的收入是不尽相同的。这样，学费越高，就有越多的家庭无力支付这笔费用，它们之间可以认为是一个负相关的函数。 这样看来，建立两个目标函数进行最优规划是一个不错的选择，但两个目标的权重却难以确定。权衡之下，我们希望让家庭的可支付能力在学校的收益中得到体现，两个函数合并，模型会简单很多。 实际情况中，虽然现行学费不低，但高校入学率却居高不下。究其原因，国家助学贷款起到很大作用。为简化模型，本文把需要申请助学贷款的学生与因无力支付学费而放弃学业的学生归为一

8、类，然后建立一个高校收益的模型。这样我们就可以把家庭的支付能力与高校的收益联系起来，进而通过对该模型的分析，确定一个合适的学费标准。由于该问题实在太大，所以在模型的建立过程中，大量合理的假设是必不可少的，一些为了模型的简化做出的数据的适当忽略也是情有可原的。3、基本假设1、 学校的总支出与学生人数存在函数关系。2、 学校的年固定支出与在校生人数无关。3、 学校每年所接受的社会捐赠等收入与的数目与在校人数无关。4、 将因家庭经济原因而申请助学贷款的学生和因无力承担高校费用而辍学的学生同归为因高校收费过高而无力承担的一类。 5、 高校教育投入的多少完全量化了培养质量的高低。4、符号说明c： 待定常

9、数d: 待定常数，N: 高校的学生数，B: 高校的非固定成本Fm: 边际成本确定的培养一个学生需要的非固定成本T: 高校的固定成本F: 生均最优学费标准a: 待定常数，表示国家和社会对学生的平均补助b: 待定常数e: 学费弹性系数，其中e0K: 高校总收入H: 高校学费收入G: 高校非固定成本N0: 可接受学生数k: 积分常量：各大高校的人数平均值M：国家人均拨款对各重点高校的平均值mi：各高校的人均拨款Aij: 指标集Bj：根据层次分析模型计算出来的第j个决策目标的目标值Wi：为第i个指标的权重j: 根据国家拨款、社会捐助、学校自筹三者的权重确定的比例系数5、模型的建立和求解5.1 模型一

10、考虑边际成本的收费模型 假设高校的非固定成本与学生数存在函数关系，设关系式为 （1）其中,c, d是待定常数，N是高校的学生数，B是高校的非固定成本。该式表明，高校的非固定成本是随着在校生人数的增加而增长的。 边际成本是非固定成本对学生数的导数，公式为：, （2）式中，Fm是边际成本确定的培养一个学生需要的非固定成本。该式确定了高校需要为每位学生投入的人均非固定成本。 考虑到高校的固定成本投入，得到最优学费标准为：, (3)其中，T是高校的固定成本，F是生均最优学费标准。 上面的结果明显忽略了一些很重要的影响因素，如国家生均拨款、社会救助和区域经济状况，于是必须对上面的（3）进行改进。改进方法

11、是在方程的右边减去一个待定常数a，常数a由上面提到的各因素决定。模型为：， （4）其中，a为待定常数，表示国家和社会对学生的平均补助。该式表明，高校中人均所承担的费用应是人均非固定成本与人均固定成本之和减去国家和社会平均给每位学生补助的款项。5.2模型二 基于盈亏平衡的学费模型考虑到学校和家庭的利益，通过学校所收学费的盈亏情况，建立一个相应的盈亏模型。在把需借助国家助学贷款才能维持学业的学生看做与因无力支付学费而放弃学业的学生当做因高校收费过高而无力承担的同一类后，我们可以确定在校生数与学费之间存在一个简单的函数关系：, （5）式中，b是待定常数，e是学费弹性系数，其中e0.该式表明，高校的在

12、校生人数是随着收费的增加而减少的。学费收入为： （6）高校总收入为：, (7)将（5）带入（1），得高校非固定成本：, (8)当总收入和非固定成本达到平衡时，学费最合理，得：即， （9）5.3模型三 考虑各方利益最大化的模型高等教育的学费必须兼顾高校的发展和家庭的可支付能力两个方面，最优学费应该在保证尽量多的学生入学的同时尽量增加学校的收益，以使学校能有一定的资金用于学校的软硬件建设，提高教学质量。本文假设学费弹性系数e是学费F的函数，且衡小于零。则（6）可以改为：, (10)对（10）两边取对数，然后关于F求导，得：, (11)由于在H关于F的导数值为零时，高校收益取得极大值。因此令,化简得

13、：, (12)解上述微分方程，得：, (13)对（5）取对数，得：, (14)将（14）带入（13），化简得, (15)得到保证学生数的情况下的最优学费：其中，N0是可接受学生数，k为积分常量。5.4 层次分析模型从学校教学质量、学校利益、学生利益三个方面综合选取指标对以上三个学费制定方案模型进行综合评价。设对k个决策目标进行m项指标综合评价，其指标集Aij ( i=1,2,，m; j=1,2,，k)，再对其进行如下标准化取值：，其中， ,.目标值：，其中，为第i个指标的权重，Bj是根据层次分析模型计算出来的第j个决策目标的目标值。目标值越大，该学费制定方案越优。6 模型检验6.1模型一系数的

14、确定和求解在对本文中模型一系数的确定和学费求解时，得到了如下相关数据【11】（表1）：利用表（1）及表（2）（因数据量过大，将表（2）的数据存于附录10.1）的数据，采用非线性回归的方法，通过 MATLAB模拟可得如下图的结果：（其中，横轴表示高校人数，纵轴表示该高校的非固定成本。）同时可以求得:c=4.5 d=0.9因此可以得到（1）的方程为： 进而利用公式（2）可以得到边际成本为： （16）利用表（2）的数据，可以求得各大高校的人数平均值为：=24484从而可得边际成本的值为：1.4742（万元）各大高校的人数总和为：N=1811820各大高校的固定投入总和T=38056776893从而可

15、得每人应承担的固定费用为：，另外，由表(2)，可以得到国家人均拨款对各重点高校的平均值为：（万元），其中mi为各高校的人均拨款。考虑到各高校的经费来源除了国家拨付(包括各种国家奖学金)，学费来源还有社会捐助（包括各种社会助学金）、校营企业的收入等，而且这些都与学校的教学质量成正的相关。为简化考虑的变量，通过对国家教育统计年鉴和其他一些网络消息的综合分析，本文假定一个学校的社会捐助、自筹经费的收入与国家拨款具有相同的权重，因此可确定比例系数为j=3，故有（万元），将Fm，,和M带入公式（4），得到一个关于重点高校的平均学费结果：（万元）这里得到的是全国一百所重点高校的平均学费，而重点高校的教学质

16、量还是存在差异的。因此本文分析，利用全国一百所重点高校的综合排名，将8800元的学费标准设定为排名第五十位的大学的收费标准，而每当大学的排名浮动一个名次，学费标准相应的浮动百分之一。但若给每个学校制定一个收费标准又过于繁冗，因此本文决定将每二十所高校归为一类，并取求得的该类所有高校收费的平均值作为其收费标准。经分析计算可得如下表的收费标准（表3）：表3高校排名12021404160618081100收费标准（万元）1.231.060.880.700.536.2 结果分析：以上是依托于边际分布，在保证学校的收支基本平衡的情况下，尽量提高学生家庭满意度而做出的结果。然而，可以看到的是，得出的学费标

17、准相对于我国现行标准，不但没有降低，反而增加了。本文就此现象有以下看法：1） 本文在数据相对缺乏的情况下，利用现有数据保守的估计了社会捐助、学校自筹、国家拨款这三部分的权重，使得到的数据具有一定的误差，但总体来看，仍具有一定可信度。2） 在数据可靠的假定情况下，结果说明现行的收费标准还是很低的，国家和学校要为此承担很大的经费压力，这在一定程度上阻碍了学校的教学质量的提高。3） 在此情况下，还有很多学生家庭难以支付现行的学费，究其原因，还是我国经济发展相对落后，相对滞后的经济与建设社会主义教育强国的目标形成了矛盾冲突。我国的经济一直处于快速增长的状态，学生家庭的收入会有所提高。但同时由于高等教育

18、的快速发展以及物价上涨等因素，使高等教育的成本也快速增加。相对而言，越来越多的家庭难以承受高等教育的费用，说明我过高等教育的发展速度快于经济的发展速度。6.3 公式推广：公式（1）中待定常数c, d确定后，使各高校的自主的学费标准的制定成为可能。假如高校有自己的学费定价权（如民办高校）利用公式：带入各项合理的数据，经过计算便可以得到与高校自己的投入相适应的学费定价。 有一点需要注意的是，在求解模型的过程中，所使用的都是重点大学的收入与支出指标。如果可以得到比较全面而且权威的关于各类非重点高校、专科院校、高职院校的收入与支出数据，也可以相应的应用上述模型确定出分别适用于不同水平大学学费制定指标。

19、但遗憾的是，由于网上信息的局限性，难以搜集到其他各类院校的收入与支出数据，因而不能明确的分别制定出各类高校的收费指标，只是得出了一个适用于重点大学的学费定价。7.模型的优点与缺点分析模型一的优点是在保证学校的收支平衡的同时，对学费的设定更偏向与学生及其家庭，是一个相对稳定和正确的模型。它得出的结果应该具有一定的可信度。而其缺点是由于现有数据的局限性其中的关键因素国家拨款、高校自筹经费、社会捐款这三者的权重难以精确确定，可能会使结果有一定误差。模型二和模型三是依托于经济学中盈亏平衡和经济最大化原理做出的模型，虽然经济色彩浓厚，但由于模型中将入学人数与学费高低联系起来，使学生的经济可承受能力影响到

20、了学校的最终收益，所以得出的结果应该很有代表性。但中国的高等教育并非属市场经济支配，而是由国家直接制约，学费的制定并不完全遵循市场经济原理，不同地域的高校及其不同教学水平的高校的学费水平差距不大。这样，模型中入学人数与学费之间的函数中的待定系数无法依市场经济学原理确定，所以无法进行精确计算。因此只能适可而止的给出该模型的一个建立过程。但是，限制也不是绝对的。中国的私立高校还是具有一定的市场经济影响的，因此可以用二三两个模型来模拟私立高校收费政策的制定。然而依然受信息的局限性，私立学校一般会把收入与支出情况作为财务秘密，只有一些关于国立重点高校的收入与支出信息是可用的，限于信息的缺乏，不能对这些

21、私立学校的收费标准作出评价。综上，本文虽然给出了三个不同的模型，但由于种种局限性，只能利用模型一所得结果，对学费标准进行分析。同时，模型二与模型三虽未在本文中体现出实际计算作用，但却具有十分重要的理论价值。8. 结论与建议通过该模型的计算我们可以发现，相对于高校对于学生的投入来说，我国的现行高等教育收费水平并不高，国家、社会以及高校承担了高校在校生的绝大部分费用，而学生家庭所承担的只是其中一小部分。但是，通过查阅我国现阶段人均可支配收的数据却又发现，高校的收费占据了很多家庭，特别是农村家庭绝大部分的家庭可支配收入，相对来说我国现行的高等教育收费却又是很高的。于是这就产生了一种矛盾：一方面相对于

22、一个学生在校期间的实际培养费用，现行高等教育的收费是比较低的；但另一方面，相对于家庭的实际收入来说，现行的高校收费制度却又是极不合理的。分析产生这种现象的原因我们发现，当今教育事业的发展远快于我国的经济发展。由于教育事业借鉴和吸收外国经验的速度比较快，它的发展速度几乎就相当与信息的传播速度，因此我国自改革开放以来，教育事业得到了飞速的发展，在短期内需要大量的教育设施更新投入。例如，一些先进的教学仪器的引进和基建设施的不断更新。现在，虽然有许多重点大学年经济收入已达十几个亿，但还是可以发现许多高校普遍欠银行较高的债务，有些大学甚至曝出了欠银行几十个亿的消息，足可见高校的支出之大。同时，现阶段科学

23、技术飞速发展，而教育就是要不断地紧跟科技发展的步伐，因此在一些教育设施的采购方面支出比较大，例如一些电脑软件的不断更新。综上就使得现阶段的教育支出显得特别高。但相对而言，我国的经济发展速度却没有赶上教育的发展速度，特别是在一些农村地区，由于底子较弱，面对现在的教育发展更显得有些力不从心。例如，湖南省洞口县【8】。该县2006年农村人均可支配收入为2772元。以一个三口之家来算，若其中有一个在校大学生，而一个大学生一年在校的学宿费一般在五千到七千之间，这就大约占了家庭全年可支配收入的60%到84%之间，再加上在校期间的其他一些花费，可能家庭一年的收入尚且不够，自然人们会抱怨高校收费过高。为了解决

24、这一问题，国家应当加大对教育的投入，同时增强教育投入的针对性，把有限的资源更多的用于真正需要的地方，特别是贫困地区。各大高校也应创造尽量多的勤工助学岗位，让尽量多的贫困生能够通过自己的劳动解决自己的生活费用，甚至是学费问题。但治病须治本，现阶段最重要的是加快经济发展的进程，特别是贫困地区的经济发展，让普通群众真正能承担起高等教育的费用。参考文献1 范明，高等教育与经济协调发展，社会科学文献出版社，2006.2 李正，中国研究型大学本科教育质量研究，华南理工大学出版社，2006.3 吴贻谷，高等教育若干问题研究，武汉大学出版社，2005.4 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版

25、社，2003.5 王世香，精通MATLB接口与编程，电子工业出版社，2007.6 刘卫国，MATLAB程序设计教程， 中国水利水电出版社，2005.7 赵静，但琦，数学建模与数学实验（第2版），高等教育出版社，2003.8 中国宏观数据挖掘分析系统网=9 中华人民共和国国家统计局官方网站10 中国统计年鉴11 数学中国网站12 毛建青，我国普通高等院校学费制定标准探讨，湖南师范大学教育科学学报，2006年3月第5卷第2期附录一、各重点高校培养成本：表2学生人数固定成本总体成本(万元)生均事业费用（元）非固定成本( 元)北京大学313281966710406284882.728157.45882

26、116593.6中国人民大学18893721226769.7116535.1723507.38444124930.3清华大学257883010934300418751.18456251176577500北京交通大学2089237035867567890.7414768.75308548725北京科技大学19763401647915.675568.2117913.99354034184.4北京化工大学16139242910011.748607.8115067.11243168088.3北京邮电大学18276341670778.863643.8916128.7294768121.2中国农业大学21

27、311783328856.1116723.4818014.45383905944北京林业大学16010134758500.140942.5917155.99274667399.9北京中医药大学8926147346627.728811.4215770.51140767572.3北京师范大学17304714818344.3101716.1117472.42302342755.7北京外国语大学5416157097212.736141.7637725.33204320387.3北京语言大学3883243205144.932646.2821441.5883257655.14中国传媒大学128391558

28、32666.941005.1819800.54254219133.1中央财经大学777891542851.8224295.5719466.81151412848.2对外经济贸易大学9672366994072.257845.6221863.33211462127.8中央音乐学院178251900903.6412233.6239525.9870435296.36中央美术学院381148580886.4315879.0728918.87110209813.6中央戏剧学院195519651964.259015.6436063.6570504435.75中国政法大学12192207856785.4418

29、29.2917260.18210436114.6中国石油大学（北京）10192273363288.244279.5316624.02169432011.8中国石油大学（华东）24159243967933.759713.714618.53353169066.3南开大学21905525677372.691767.3717895.29391996327.5天津大学2709560181460693414.0212265.2332325594大连理工大学28428554871071.295761.1414167.03402740328.8东北大学30010440099148.380427.5612135

30、.17364176451.7吉林大学62347800402228.7177078.5915564.24970383671.3东北师范大学21790341134882.162048.2912820.01279348017.9东北林业大学20425193871986.848666.6214335.09292794213.3复旦大学267921274778587202808.5528116.86753306913.1同济大学352211057540146180534.9621231.92747809454.3上海交通大学343931766835573257124.2123388.6780440652

31、7.3华东理工大学2097241068616283716.0820335.43426474638东华大学18387242783466.456307.7117419.57320293633.6华东师范大学21215656252925.5106942.2919475.37413169974.6上海外国语大学8268179983709.239215.8225662.13212174490.8上海财经大学12894210891721.845713.4519097.47246242778.2南京大学22911772729310.3122275.2919642.25450023589.8东南大学26996

32、1196619370165710.3117057.48460483730.1中国矿业大学27865293636878.363835.3412370.95344716521.8中国矿业大学（北京）8202105570313.120677.8412339.44101208086.9河海大学24737522135965.655144.561184.8529309634.45江南大学2253835758005179554.3219432.21437963149南京农业大学19743-32008560641535.2237250.56735437806.1中国药科大学10126116636808.224

33、976.0913146.76133124091.8浙江大学393121670417594257513.6123013.8904718505.6合肥工业大学30610180099988.760868.0714001.33428580711.3厦门大学3060948085497097046.9815995.78489614830山东大学55737771151986164019.2715591.81869040714中国海洋大学17288309079599.258709.8316081.6278018700.8武汉大学45760964194925.6171634.9316436.9475215437

34、4.4华中科技大学583591115364842190629.9713552.92790934858.3中国地质大学（武汉）20696263465814.756557.9414597.68302113585.3中国地质大学（北京）1203923487737542720.0415975192323025武汉理工大学43984559048274.4120719.2114735.9648143825.6华中农业大学20199383581700.465385.2413380.4270270699.6华中师范大学20936374273242.264755.4213053.16273280957.8中南财

35、经政法大学22911182816877.249795.3113754.8315136222.8湖南大学30193752271521.280267.331669.3250401778.76中南大学48614643781099.3125029.8612476.19606517500.7中山大学40812956301720.3183909.1421630.64882789679.7华南理工大学31159813559689.8143791.7520037.8624357810.2重庆大学39646558799118.5117510.6115545.25616306981.5西南大学48260-4610

36、4488.457130.2112793.34617406588.4四川大学55887755982885.2144739.1712371.55691408814.9西南交通大学35827409074122.291803.7514206.14508963377.8电子科技大学24436361292281.964350.7811549.17282215518.1西南财经大学19925191745756.839119.6810010.09199451043.3西安交通大学31441687376167.8114476.1614547.42457385432.2西安电子科技大学28105375019061

37、.871493.9212094.65339920138.3长安大学26230374669192.970537.112607.77330701807.1西北农林科技大学24294231835425.861468.3615758.96382848174.2陕西师范大学1908123606909648280.1512930.79246732404兰州大学27901267725481.361455.512430.72346829518.7二、模型一的程序:一：编写curvefun1.m文件function f=curvefun1(x,tdata)f=x(1)*tdata.x(2);二：在命令窗口中输入

38、以下命令Q=313281889325788208921976316139182762131116010892617304388312839777896721782381112192101922415921905270952842830010623472179020425267923522134393209721838721215826812894229112699627865820224737225381012639312306103060955737172884576058359206961203943984201992093622911301934861440812311593964655

39、887358272443619925314412810526230242941908127901; C=88211.6593644412.49303117657.7530854.872535403.4184424316.8088329476.8121238390.594427466.7399914076.7572330234.275578325.76551425421.9133115141.2848221146.212787043.52963611020.9813621043.6114616943.2011835316.9066339199.6327533232.559440274.03288

40、36417.6451797038.3671327934.8017929279.4213375330.6913174780.9454380440.6527342647.463832029.3633641316.9974621217.4490824624.2778245002.3589846048.3730134471.6521810120.808692930.96344543796.314913312.4091890471.8505642858.0711348961.48386904.071427801.8700875215.4374479093.4858330211.3585319232.30

41、2564814.3825627027.0699627328.0957831513.622285040.17787660651.7500788278.9679762435.7810261630.6981569140.8814950896.3377828221.5518119945.1043345738.5432233992.0138333070.1807138284.8174224673.240434682.95187; x0=2 1; x=lsqcurvefit(curvefun1,x0,Q,C)Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun.x = 4.5350 0.9006 y=4.5350*Q.0.9006; plot(Q,C,k+,Q,y,r)三、各大重点高校年支出与收入统计表：