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1、自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强浅谈浅谈“恒成立恒成立”问题问题主讲人：江万鹏自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强高考探究 “恒成立恒成立”问题是数学中常见的问题，问题是数学中常见的问题，涉及到一次函数、二次函数、指数函数、涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象对数函数的性质、图象,渗透着换元、化归、渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法数形结合、函数与方程等思想方法,在培养在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极思维的灵活性、创造性等方面起
2、到了积极的作用的作用.因此也成为历年高考的一个热点。因此也成为历年高考的一个热点。自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强2.由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围 3.证明不等式恒成立证明不等式恒成立 1.函数、数列的恒成立问题函数、数列的恒成立问题 一、恒成立问题常见的题型一、恒成立问题常见的题型自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强1函数性质法函数性质法 2变量分离法变量分离法3数形结合法数形结合法4换元法换元法 自己不努力，没人替你
3、坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强以下是常规题型讲解自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强 f(x)=ax+b,x ,，则：则：f(x)0恒成立恒成立 f(x)0f()0f()0f()0或或a0=b2-4ac0a=b=0C0或或a0=b2-4ac0 ax2+bx+c0在在R上恒成立的充要条件是上恒成立的充要条件是：_。二、二次函数型二、二次函数型如果把如果把“（或（或）”变成变成“（或（或）”，充要条件还一样吗？，充要条件还一样吗？自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人
4、替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强典例导悟021)x(m1)x(m2若关于若关于X的不等式的不等式解集为解集为R，求，求m的范围的范围。01m0)1(8)1(012mmm)9,1 m解析：（1）当m-1=0时，原不等式化为20恒成立，满足题意；时，只需所以（2）当自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强三、变量分离型三、变量分离型 【理论阐释【理论阐释】若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个
5、变量分别置于等号或不等号的通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。解。思路思路1：max)()(xfmDxxfm上恒成立在思路思路2：min)()(xfmDxxfm上恒成立在说明：说明：)(xfMax或min指该函数值域的边界自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强典例导悟m，2()1f xx,23x24()(1)4()xfm f xf xf mm设函数设函数，对任意，对任意恒成立，则实数恒成立，则实数的取值范围是的取值范围是 。自己不努力，没
6、人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强四、四、把不等式恒成立问题转化为函数图象问题把不等式恒成立问题转化为函数图象问题【理论阐释【理论阐释】若把不等式进行合理的变形后，能非常容若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条件，数图象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解决
7、问题。就能解决问题。自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强典例导悟自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强x 1,1a024)4(2axax练习一、对任意练习一、对任意，不等式，不等式恒成立，求恒成立，求的取值范围的取值范围.44)2()(2xxaxaf0)(af 1,1a0)1(0)1(ff
8、31xx或x),3()1,(解：令解：令，则原问题转化为，则原问题转化为恒成立（恒成立（应有应有解之得解之得的取值范围为的取值范围为方法点拨：给谁的范围，就以谁为自变量，既关于它的函数自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强.02,1 0122的取值范围求实数其中恒成立，对练习二、已知不等式aaxaxx.0)(12)(1min2即即可可的的最最小小值值，即即求求函函数数、通通过过化化归归最最值值，直直接接思思路路 xfaxxxf).1(212122xxxxa 为为、通通过过分分离离变变量量，转转化化思思路路.2132axx 到到、通过数形
9、结合，转化、通过数形结合，转化思路思路yxO自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强.1,4110)(,2,21,)(的取值范围求实数恒成立，在都有对任意已知函数练习三bxxhabxxaxh、.10)(10)(1maxxhxh恒成立、通过化归最值，思路xbxaxxab)10()(1022 或或、通通过过分分离离变变量量，思思路路2,21,101)(3abxaxa、通过变更主元，思路自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问、二次函数型问题
10、，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。题，分类讨论。3、对于、对于f(x)g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函型问题，利用数形结合思想转化为函数图象数图象的关系再处理。的关系再处理。4、通过分离参数，将问题转化为、通过分离参数，将问题转化为f(x)（或（或f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问问题获解。题获解。1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。本节课小结自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强m2()
11、f xxmxm()0f x 2,3x 设函数设函数，若，若在在上恒成立，求实数上恒成立，求实数的范围的范围.思考、恒成立与有解的区别2()f xxmxm()0f x 2,3xm 设函数设函数，若，若在在上有解，求实数上有解，求实数的范围的范围.2,3x19(1)24,12yxx9.2m 解：当解：当时，时，2,3x19(1)24,12yxx 当当时，时，4a1)1(0)(222xxmxmxmmxxxf11)1(2)1(2xxx解：y自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强强练作业021)x(m1)x(m2若关于若关于m的不等式的不等式解集为解集为R，求，求x的范围的范围。x1、2、典例变形自己不努力，没人替你坚强版权：余干二中数学教研组自己不勇敢，没人替你坚强自己不勇敢，没人替你坚强
恒成立问题常见类型及解法
