向量证明四点共面

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1、向量证明四点共面由n+m+t=1 ,得t=1-n-m，代入op=nox+ moy +toz,得O P=n OX +mOY +(1-n-m)OZ,整理，得OP-OZ =n(OX-OZ) +m(OY-OZ)即 ZP =nZX +mZY 即 P、X、Y、Z 四点共面。以上是充要条件。2如果通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面A,B,C,D,4个点，与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面3设一向量的坐标为(x,y,z)。另外一向量的坐标为(a,b,c)。如果(x/a) = (y /b) = (z/c)=常数，则两向量平行如果ax+by+cz=0，

2、则两向量垂直。答案补充 三点一定共面，证第四点在该平面内用向量，另取一点O如向量OA=ax向量OB+ bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1则有四点共面 答案补充 方法已经很详细了 呀。4线平行线：两条线的方向向量矢量积为0，且两条线没交点面平行线：是线平行面吧，线的方向向量和平面法向量垂直，即线的方向向 量和平面法向量数量积为0，且线不在平面内三点共面：三点肯定是共面的，我猜你说的是三点共线吧，比如ABC三点， 证明共线，证明AB与BC的方向向量矢量积为0四点共面：比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a， 再a和AD数量积为03怎样证明空间任意一点O和不共

3、线的三点A，B，C，向量OP=x向量OA+y 向量OB+z向量OC且x+y+z = 1，则P，A，B，C四点共面简明地证明，网上的不具体，不要复制！证明：由x+y+z=1x向量OC + y向量OC + z向量OC二向量OC，且：x向 量OA+y向量OB+z向量OC二向量OP将上边两式相减得：向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量O C)即：向量CP=x向量CA+y向量CB由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC内一P点必在平面ABC内。故：A，B，C，P四点共面。4可以先随便假设其中3点共面(很简单2点确定一条直线，直线和直线外 一点可以确定1个平面)不防设

4、A B C三点共面只需证明P点在这个平面上即 可以下向量符号省去证明：PA=BA-BP=OA-OB-(OP-OB)=OA-OP=OA-(a 向量 OA+b 向量 OB+c 向量 O C )=(1-a)OA-bOB-cOC=(b+c)OA-bOB-cOC=bBA+cCA到这里因为ABC已经确定了一个平面且PA=bBA+cCA所以？入平行平面 又入在平面内所以P点也在该平面内，所以四点共面如果两个向量a. b不共线，则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在有序实数对 (x.y),使 p=xa+yb编辑本段共面向量的定义：能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量编辑本段推论：推论1设OABC是不共面

5、的四点则对空间任意一点P都存在 唯一的有序实数组(x,y,z)使得 OP=xOA+yOB+zOC OP,OA,OB,OC 均表示向量说明：若 x+y+z=1 则 PABC四点共面 (但PABC四点共面的时候，若O在平面ABP内，则x+y+z不一定 等于1，即x+y+z=1是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件)证明：1)唯一性：设另有一组实数 x,y,z使得 OP=xOA+yOB+zOC则有 xOA+yOB+zOC=xOA+yOB+zOC 二(x-x)OA+(y-y)OB+(z-z)OC=0*.* OA、OB、OC 不共面 x-x=y-y=z-z=0 即 x=x、y=y、z=z故实数x,y,

6、z是唯一的2)若x+y+z=1则PABC四点共面：假设 OP=xOA+yOB+zOC 且 x+y+z=1 且 PABC 不共面那么 z=1-x-y 则 OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOCOP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)点P位于平面ABC内与假设中的条件矛盾故原命题成立推论2空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x.y，使 MP=xMA+yMB MP MA MB 都表示向量 或对空间任一定点 O，有 OP=OM+xMA+yMB OP,OM,MA,MB 表示向量选定向量基底，解决常见立体几何问题利津二中陈富君魏静我们知道，空间向量的坐标运算成为解决立体几何的

7、垂直与平行的证明、角与距离的求 解等问题的一个十分有效的工具，用空间向量的方法处理立体几何问题，常常可以收到化繁为简，化难 为易,也降低了同学们学习立体几何的思维难度.但是空间直角坐标坐标系的应用有着很大的 局限性，取而代之，若以有着特殊关系的三个向量作为基底，通过向量运算将使更多的立体 几何问题得到很好的解决.这类问题常以特殊四面体（或空间四边形），平行六面体，特殊三 棱柱等为载体.一、证明三点共线例1如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG : GC=DH: HC=1: 2.设EG和HF交于点尸，求证P、A、C三点共线.解设 DA = a

8、, DB b, DC c，贝U AC DC DA c a,.PF = 3FHPF EF 3 PH GH 4:.PA = 3FH + DF = 3 DH DF ）+ DF = 3 ?DC DF| + DFDC 2 DF = DC DA = ca:.PA AC且A为PA. AC公共点，故P、A、C三点共线AA二、证明直线平行平面向量a平行平面ABC的充要条件是a xAB + yAC例2直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是AB1与BC1上 的点，且AM BN，求证MN平面ABCD.AB BC解设 aB a, ADb, AA c, * 籍人，则AB BC. MN = aN AM = aB

9、+ bN AM = a + X BC 人而a+x（BB+Bc）一人（AA+Ab）= a+人G+b）一人（c+a）=（1一人）a+（1+x）b，且2与片不共线.MN 平面人8。町，而MN平面ABCD，故MN 平面ABCD.三、证明直线垂直直线（或直线垂直平面）a b = a,b = 0例3如图，在四面体ABCD中，M是AB的中点，N是CD的中点，求证：MN是异 面直线AB，CD的公垂线的充要条件是：AC=BD，BC=AD.证明 设AM = a,MN = b,赤=c必要性若MN是异面直线AB, CD的公垂线，则ab = 0,b,C = 0. aC = am + MC = am + mN+NC =

10、a+b - c，同样的可得 bd = -a+b+c ， bc = -a+b-c,ad = a+b+cac2 = G+b 一 c)= a2 + b2+c 2 一 2ac, bd2 = (-a+b+c)=a 2 + b 2+c 22ac因此，ac=bd，同理 bc=ad.充分性 由 ac=bd, 得 G+b 一c)= Ca+b+c)o a,b = bc 由 bc=ad, 得 Ca+b 一 c) = G+b+c)o ab = -bc +得ab = 0故MNXAM,同理MN1CN，艮口 MN是异面直线AB, CD的公垂线.四、求异面直线的夹角例4在正四面体ABCD中，M、P分别为棱AD、CD的中点，N

11、、Q分别是面BCD、 面ABC的中心，求MN与PQ的夹角.解设正四面体的棱长为2, O为BC中点，AB = a,AC = b,AD = c，贝g|a| = b = |c| = 2, ab=b,c = ca = 2,/ mN = aN - AM = AO + ON -1 AD = AO +1OD -1 ADAO )-1 AD = 2 AO -1 AD =1G + b2363PQ = AQ - AP = 2 aO - 2 (aC + aD)= 6(2a - b)-)1- 人6c2 = *+b)-6?2 =1,即MOF， ,r 1 (一-)1 一】1 (一)1 一】1；- -MNPQ1MN，PQ = 31+ b)- 6c6成 2)一 2c = -18，cosMN,PQ =网回=-蓝因此，MN与PQ的夹角为arccos(-1 18 7空间向量的基底的应用恰恰是教学中的薄弱环节，如果不注意及时补上这一课，久而久 之，应用向量的思维会钝化，甚至会缘木求鱼.