20.7反比例函数的图象性质和应用教案

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1、反比例函数及其图像性质教材分析（1）知识构造（2）重点、难点分析 本节的重点是结合图象，总结出反比例函数的性质.学习了前面三个基本函数后，学生有了某些识图的能力，并掌握了基本的研究措施.学生在经历了一种画图的过程后，可以通过观测、分析、与同窗的互相讨论、交流中，逐渐形成对反比例函数的全面结识.可以培养学生运用数形结合的数学思想措施，也是一种数学地发现问题解决问题的过程.本节的另一种重点是用待定系数法求反比例函数的解析式，这种措施在求四种基本函数解析式中都已经用到，本节课通过巩固练习，可进一步提高看待定系数法的结识.例如学生可以观测出有几种待定系数，就需要几对自变量与函数的相应值，即几种方程.本

2、节的难点是描点、画图，由于学生知识的限制，描点、画图不能对图形有一种全面的把握.这样，学生在描点画图时就会感到困难，无法估计出这个图象究竟是什么样子，感到无从下手.因此，从解析式中可以进行初步的分析，结识到反比例函数的图象提成两支，以便初步结识其图象的大体变化趋势.教法建议数学教育的目的之一是协助学生结识数学，数学与现实世界有着密切的联系，并且数学的发展是一种布满着观测、实验、归纳、类比和猜想的摸索过程，因此，学生在获得知识的同步，也应当养成尊重客观事实的态度，敢于摸索的精神以及独立思考与人合伙交流的习惯.具体安排如下：(1)从实例中抽象出数学模型小学学习过反比例关系的知识，目前的物理、化学等

3、学科中也有许多反比比例的实例.学生可以从比较简朴的实例中，抽象出此类函数的特点，形成反比例函数的概念.(2)画出图象，研究反比例函数的性质可以创设数学情境，引导学生找出数与形的关系.如：k0时，x与y同号，图象在一、三象限，k0时，x、y异号，图象在二、四象限.类似的结论，可以在画图前，先组织学生猜想，并阐明根据，画图后，再进行补充.让学生体验数学知识的形成过程.(3)牢固掌握待定系数法进一步熟悉待定系数法解题的一般环节，并通过不断地运用，逐渐发既有几种待定系数，就应列出几种相应的方程.这样反比例函数只需一对自变量与函数的相应值就可拟定其解析式.教学目的1、使学生能从简朴的实际问题中抽象出反比

4、例关系的函数解析式；2、会画出反比例函数的图象，并能结合图象总结出反比例函数的性质，渗入数形结合的数学思想；.3、会用待定系数法求反比例函数的解析式；4、通过揭示正比例函数与反比例函数的联系与转化，渗入辩证唯物主义的思想；5、通过观测、归纳、总结反比例函数的性质，培养学生敢于摸索的科学精神；6、培养学生数学地发现问题，并运用数学知识解决问题的能力.教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法拟定反比例函数的解析式.由于要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.教学难点：画反比例函数的图像，由于反比例函数的图像有两个分支，并且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.

5、教学过程：一、新课引入：看下面的实例：（出示幻灯）1小红家到学校的路程有5公里，写出她上学所用的时间t与速度v的函数关系式；2有一种矩形面积是3平方米，写出它的长a与宽b之间的函数关系式；3十一放七天假，教师布置要记忆36个单词.设小明完毕的天数为n，每天的单词量为m，写出m 与n 的函数关系式？答：从函数的观点看，在运动变化的过程中，这两个变量可以分别当作自变量与函数，写成：（），（），（）二、新课解说：1、让学生观测这几种函数的特点，然后得出反比例函数的概念：（板书）一般地，函数 （k是常数， ）叫做反比例函数.注意：自变量的指数是 -1，而不是1.例1、判断如下哪个式子中的x、y表达反比

6、例函数关系？ 例2、写出下列函数的解析式，并判断她们是不是反比例函数，如果是，求出她们的定义域.一种圆柱形钢材的体积是800cm3,写出它的底面积和高的函数关系.压强大小是由单位面积所受到的压力决定的，那么当物体受到的垂直压力为100牛时，写出压强与受力面积的函数关系.2、根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？答：图像和性质通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一种明确的结识，后来学生要研究其她函数，也可以按照这种方式来研究下面，我们就来看一种例题：（出示幻灯）例3、在平面直角坐标系中画出反比例函数 与 的图像提问：画函数图像的核心问题是什么？答：

7、合理、对的地选值列表 在选值时，你觉得要注意什么问题？答：、由于函数图像的特点还不清晰，多选几种点较好； 、不能选 ，由于 时函数无意义； 、选整数较好计算和描点这个问题中最核心的一点是有关 的问题，提示学生注意 你能不能自己完毕这道题呢？解：列表x-6-5-4-3123456-1-1.2-1.5-26321.51.2111.21.52-6-3-2-1.5-1.21阐明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大体图象.取点的时候最佳多取几种，正负可以对称着取分别画点描图学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同窗上黑板连线，然后就这名同

8、窗的连线加以评价、总结.注意：（1）一般地反比例函数 （k是常数， ）的图象由两条曲线构成，叫做双曲线； （2）这两条曲线不相交； （3）这两条曲线无限延伸，无限接近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交有关注意（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆又可培养学生思维的灵活性和深刻性3、再让学生观测黑板上的双曲线图，提问、归纳、总结出反比例函数的性质：（1）当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限内？在每个象限内，y随x的增大如何变化？（2）当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限内？在每个象限内，y随x的增大如何变化？这两个问题由学生讨论总结之后回答，

9、教师板书：（1）当 时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.（2）当 时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大.抓住机会，阐明数与形的统一，也渗入了数形结合的数学思想措施.体现了由特殊到一般的研究过程.注意：同样可以推出函数 的图象的性质.4、反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？通过这个问题使学生能把学过的有关知识有机地串联起来，便于记忆和应用5、反比例函数的简朴练习：上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一种不同类型的例题： 例4、选择题：1、在同一坐

10、标系内，函数 与 的图象的交点个数为( ).(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D)4个2、若反比例函数的图象在它所在的象限内，y随x的增大而增大，则m的值是（ ）（A）-2 （B）2 （C）2 （D）以上成果都不对三、课堂小结：教师提问，学生思考回答：1什么是反比例函数？2反比例函数的图像是什么样的？3反比例函数 的性质是什么？4命题方向及题型设立，反比例函数也是中考命题的重要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的拟定，常以填空题、选择题浮现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中浮现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.四、布置

11、作业P80 练习1，2五、板书设计反比例函数及其图像引例：（1）例1：例2：例3：例4：1反比例函数的图象： 2反比例函数的性质 六、补充材料：马尔克广场上的游戏在世界出名的水都威尼司斯，有个马尔克广场.广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂.教堂的前面是一方开阔地.这片开阔地常常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，看谁能达到教堂的正前面！奇怪的是，尽管这段距离只有175米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都如下图那般，走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！类似的情形也有诸多，这与俗话说的鬼打墙类似.有许多人在沙漠或雪地里，由于迷失方向而在原地打

12、圈子，这一切近乎玩笑般的遭遇，终于引起了科学家的注意.公元1896年，挪威生理学家古德贝对闭眼打转的问题进行进一步的探讨.她收集了大量的事例后分析说：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子长一段微局限性道的距离.而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一种半径为y的大圈子！目前我们将这个过程数学化，研究一下x与y之间的函数关系.假定某个两脚踏线间相隔为d.很显然，当人在打圈子时，两只脚事实上走出了两个半径相差为d的同心圆.设该人平均步长为1.那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程 另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，即： 对一般的人，

13、 米， 米，代入得（单位米） 这就是所求的迷路人打圈子的半径公式.是我们学过的反比例函数(图象如下图).今设迷路人两脚步差为 毫米，仅此微小的差别，就足以使她在大概三公里的范畴内绕圈子！让我们回到那个马克尔广场的游戏上来.我们先计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一端中央的M点，要想达到教堂CD，最小的弧线半径应当是多少？如图，注意到矩形ABCD边BC=175（米）， （米）上述问题可以转化成几何中的命题：已知 与 求 的半径 的大小 这就说,游人要想成功,她所走弧线半径必须不不不小于394米我们再来计算一下，要达到上述规定，游人的两脚步差需要什么限制 这表白游人的两只脚步差必须不不小于 毫米，否则就难以成功然而在闭眼的状况下两脚这样小的步差一般人是达不到的，这就是在游戏中为什么没有人可以蒙上眼睛走到教堂前面的道理。