04高等数学讲义

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1、第四章 常微分方程4.1 基本概念和一阶微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简朴的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的构造定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简朴的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler）方程微分方程简朴应用考试规定1理解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法3会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简朴的变量代换解某些微分方程4会用降阶法解下列方程：y（n）f（x

2、），y=f（x，y）和yf（y，y）5理解线性微分方程解的性质及解的构造定理6掌握二队常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程8会解欧拉方程9会用微分方程解决某些简朴的应用问题（甲） 内容要点一、 基本概念1、 常微分方程和阶2、 解、通解和特解3、 初始条件4、 齐次线性方程和非齐次线性方程二、 变量可分离方程及其推广1、)2、齐次方程： 三、 一阶线性方程及其推广1、2、四、 全微分方程及其推广（数学一）1、2、五、 差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求的

3、通解。解：令例2求微分方程的通解解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程是一阶线性方程例3设的一种解，求此微分方程满足的特解解：将代入微分方程求出方程化为先求出相应齐次方程根据解的构造立即可得非齐次方程通解再由故所求解例4设内满足如下条件（1）求所满足的一阶微分方程（2）求出的体现式解：（1）由可知所满足的一阶微分方程为（2）将于是例5求微分方程的通解解：令 原方程化为化简为再令最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。4.2特殊的高阶微分方程（数学四不要）（甲）内容要点一、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的体现式通解令一阶方程，设其解为,即，则原方程的通解为令

4、 的函数，则 把 的体现式代入原方程，得 一阶方程，设其解为则原方程的通解为二、线性微分方程解的性质与构造我们讨论二阶线性微分方程解的性质与构造，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程（1）二阶非齐次线性方程（2）1、若为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合（为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当，也即线性无关时，则方程的通解为。2、若为二阶非齐次线性方程的一种特解，而为相应的二阶齐次线性方程的通解（为独立的任意常数）则是此二阶非齐次线性方程的通解。3、设分别是的特解，则的特解三、二阶常系数齐次线性方程为常数特性方程特性方程根的三种不同情形相应方程通解的三种形式（1

5、）当特性方程有两个不同的实根则方程的通解为（2）当特性方程有而重根，则方程的通解为（3）当特性方程有共轭复根,则方程的通解为四、二阶常系数非齐次线性方程方程通解其中为相应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。因此核心要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一种特解如何求？我们根据的形式，先拟定特解的形式，其中涉及某些待定的系数，然后裔入方程拟定这些系数就得到特解,常用的的形式和相相应地的形式如下：1、, 其中 次多项式（1）若0不是特性根，则令其中为待定系数。（2）若0是特性方程的单根，则令（3）若0是特性方程的重根，则令2、 其中次多项式，为实常数（1）若不是特性根，则令（2）若是特性方程单根，

6、则令（3）若是特性方程的重根，则令3、或其中次多项式，皆为实常数（1）若不是特性根，则令其中为待定系数为待定系数（2）若是特性根，则令五、欧拉方程（数学一） 其中为常数称为n阶欧拉方程，令代入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程（乙） 典型例题例1 求的通解解：令,原方程化为 属于一阶线性方程 例2 求下列微分方程的通解 解令，原方程化为当当例3 求的通解解先求相应齐次方程的通解，其特性方程为特性根为，因此齐次方程通解为设非齐次方程的特解为为特性根，因此设,代入原方程可得，故原方程的通解为例4 求方程的通解特性根为，因此齐次方程的通解为设非齐次方程的特解为,

7、由于题目中不是特性根，因此设，代入原方程可得解联立方程得，因此 故原方程的通解为 例5 解解：令u，则，原方程变为解出 例6 设函数yy（x）在内具有二阶导数，且是yy（x）的反函数.（1） 试将xx（y）所满足的微分方程变换为yy（x）满足的微分方程；（2） 求变换后的微分方程满足初始条件y（0）0，的解.解 （1）由反函数导数公式知 即.上式两端有关x求导，得 .因此。代入原微分方程得 （*）（2）方程（*）所相应的齐次方程的通解为 设方程（*）的特解为 A + B ，代入方程（*）求得A0，B，故，从而的通解是.由 ，得，故所初值问题的解为 .例7设f（x）x，其中f（x）持续，求f（x

8、）解：由体现式可知f（x）是可导的，两边对x求导，则得再对两边有关x求导，得 即 属于常系数二阶非齐次线性方程.相应齐次方程通解 ，非齐次方程特解设 代入方程求出系数A,B,C,D 则得，故f（x）的一般体现式由条件和导数体现式可知f（0）0，可拟定出因此例8 已知，是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.解：由线性微分方程的解的构造定理可得，是该方程相应的齐次方程的解，由解与的形式，可得齐次方程为.设该方程为，代入，得.因此，该方程为，其通解为 .4.3 微分方程的应用一、微分方程在几何问题方面的应用例1 求通过（3，0）的曲线方程，使曲线上任意点处切线与y轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离。解：设曲线yy（x）上任意一点M（x，y），则其切线方程为Yy，故切线与y轴交点A的坐标为，由题意 因此.这样， 令 解得 ，即，则例 2 设函数f（x）在上持续，若曲线yf（x），直线x1，xt（t1）与x轴围成平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V（t），试求yf（x）所满足的微分方程，并求的解.解：由题意可知则两边对t求导，令tx，f（t）f（x）y，得，令，这样，当 两边积分后得，方程通解为，再由，可得c-1二、其他应用（略）