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1、利用平面的法向量求点到平面的距离甘肃省彭长军如图1,设n是平面的一个法向量，P是外一点，Q是内任意一点，则向量PQ在法向量n方向上的射影长d二PQcosPQ,nPQnn就是点P到平面的距离.下面举几例1.已知A(2,3,l)、b(4,1,2八以说明是空间不共面的四点，求点D到平面ABC的距离.解：设n二(x,y,z)是平面ABC的一个法向量，则由nAB=0及nBC=0,得i，2x2y+z=02x+2y+5z=02y=x=,取x=3,得n=(3,2,，2)，于是点D到平面ABC的距离为d=I3DAnn49491717=17例2.已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，
2、GC丄平面ABCD，且GC=2,求点B到平面EFG的距离.解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0),F(4,2,0)，GE=(2,4,-2),GF=(4,2,-2),BE=(2,0,0).设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z)，则由2x+4y2z=04x+2y2z=0nGE=0及nGF=0，得x=yy,取y=1|得n=(1,1,3)，于是点B到平面EFG的距离为d=BEnn22111111例3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点C1到平应亀D的距离。解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(1,O,1
3、),B(1丄0),C(0,1,1).,x+z0设平面ABD的一个法向量为n(x,y,z)，则由nDA=0及nDB=0，得彳11x+y=0z=-xCDn223y_x，取x=-1,得n=(-1,1,1),于是点C1到平面ABD的距离为d=.=3=3例4.(06年福建高考题)如图4,四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=D=2,AB=AD=2，求点E到平面ACD的距离.第1页(共2页)第#页(共2页)解：由题设易知AO丄BD，OC丄BD，OA=1,OC=3，AOA2+OC2=AC2，AZAOC=900，即OA丄OC.以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,3,0),D(-1,0,0),E(2,0),AD=(-1,0,-1),ac=(0,33,-1),ED=(-2,32,).第#页(共2页)第#页(共2页)Ix+z=0设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z)，则由nAD=0及nAC=0，得3y-z=0第#页(共2页)第#页(共2页)x=-zy=3，取z=z33，得n=(-3)，于是点E到平錚CD的距离为d=EDnn217第#页(共2页)
利用向量法求点到平面的距离
