贝叶斯的例子

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1、一、什么是贝叶斯推断贝叶斯推断(Bayesian inference)是一种统计学方法，用来估计统计量的某种性 质。它是贝叶斯定理(Bayes theorem)的应用。英国数学家托马斯贝叶斯(Thomas Bayes)在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上，也就 是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据实际结果不断修正。正 是因为它的主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。贝叶斯推断需要大量的计算，因此历史上很长一段时间，无法得到广泛应用。只 有计算机诞生以后，它才获得真正的重视。人们发现，许多统计量是无法事

2、先进 行客观判断的，而互联网时代出现的大型数据集，再加上高速运算能力，为验证这些统计量提供了方便，也为应用贝叶斯推断创造了条件，它的威力正在日益显 现。二、贝叶斯定理要理解贝叶斯推断，必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算条件概率的 公式。所谓条件概率(Conditional probability)，就是指在事件B发生的情况下，事 件A发生的概率，用P(A|B )来表示。A AnB B根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(AGB)除以 P(B)。因此,同理可得,P(AnB) = P(B|A)F(A)所以,P(A | B)P(B) = P(B | A)P(

3、A)F()这就是条件概率的计算公式。三、全概率公式由于后面要用到，所以除了条件概率以外，这里还要推导全概率公式。假定样本空间S,是两个事件A与A的和。上图中，红色部分是事件A,绿色部分是事件A,它们共同构成了样本空间S。在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。P(B) = P(B n A)+P(B nA7)在上一节的推导当中，我们已知PBOA) = P(BAjP(A)所以，P(B) = P(BA)P(A)-l-P(BAt)P(A，)这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A构成样本空间的一个划分，那么事 件B的概率，就等于A和A的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。将这个公式代入上一节的条

4、件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法:尸(心二P(BA)P(A) P(B A)P(A)+ P(B |四、贝叶斯推断的含义对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式:我们把P(A)称为先验概率(Prior probability)，即在B事件发生之前，我们对 A事件概率的一个判断。P(A|B)称为后验概率(Posterior probability)，即在 B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为可能性函数(Likelyhood)，这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。所以，条件概率可以理解成下面的式子:先验概率X调整因子这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估

5、一个先验概率，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了先验概率，由此得到更接近事实的后验概率。在这里，如果可能性函数P(B|A)/P(B)1,意味着先验概率”被增强，事件A的 发生的可能性变大；如果可能性函数=1,意味着B事件无助于判断事件A的可 能性；如果”可能性函数1,意味着”先验概率”被削弱，事件A的可能性变小。五、【例子】水果糖问题为了加深对贝叶斯推断的理解，我们看两个例子。30102020丿丿#1#2第一个例子。两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号 碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是 水果糖。请问这颗水果糖来自一号

6、碗的概率有多大？我们假定，Hi表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以 P(Hi)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因 此, P(Hi)=0.5,我们把这个概率就叫做先验概率，即没有做实验之前，来自一 号碗的概率是0.5。再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求P(Hi|E)。我们把这个概率叫做后验概率，即在E事件发生之后，对P(Hi)的修正。根据条件概率公式，得到已知，P(Hi)等于0.5, P(E|Hi)为一号碗中取出水果糖的概率，等于o.75,那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式,P(E

7、) = P(E H (Hi)+ P(E |所以,P(E) = 0.75 x 0.5 + 0.5 x 0.5 = 0.625将数字代入原方程，得到这表明，来自一号碗的概率是o.6。也就是说，取出水果糖之后，Hi事件的可能 性得到了增强。六、【例子】假阳性问题第二个例子是一个医学的常见问题，与现实生活关系紧密。已知某种疾病的发病率是0.001,即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可 以检验患者是否得病，它的准确率是0.99,即在患者确实得病的情况下，它有99% 的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可 能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的

8、可能性有多大？假定A事件表示得病，那么P(A)为0.001。这就是先验概率”，即没有做试验之 前，我们预计的发病率。再假定B事件表示阳性，那么要计算的就是P(A|B)。这 就是后验概率，即做了试验以后，对发病率的估计。根据条件概率公式，P(A|B) = P(A)用全概率公式改写分母,将数字代入,P(A|B) = 0.001 xrj0.99我们得到了一个惊人的结果，P(A|B)约等于0.019。也就是说，即使检验呈现阳 性，病人得病的概率，也只是从0.1%增加到了 2%左右。这就是所谓的假阳性， 即阳性结果完全不足以说明病人得病。为什么会这样？为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%?答 案是与它的误报率太高有关。(【习题】如果误报率从5%降为1%，请问病人得 病的概率会变成多少？)有兴趣的朋友，还可以算一下假阴性问题，即检验结果为阴性，但是病人确实 得病的概率有多大。然后问自己，假阳性和假阴性，哪一个才是医学检验的主 要风险?