等差数列_课件

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1、吴蓉吴蓉 、观察与思考：下面的几个数列：,105,104,103 ,102,101,12-,9-,6-,3-,0,3 10,9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 、问题：从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点？,1 ,1 1 ,1 ,1 ,1分析：从第二项起，后一项与前一项的差是：、归纳：这些数列共同特点：是常数1是常数-3 是常数 1/10,3-,3-,3-,3-,3-,101 ,101 ,101 ,101 从第从第2项起它们的后一项与前项起它们的后一项与前 一项的差都是一项的差都是同一个常数。同一个常数。这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。一、等差数列的定义：例 1：观察下列数列

2、是否是等差数列：,16 ,11 ,7 ,4 ,2 ,1 :4,3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3 :3 ,7 ,5 ,3 ,1 ,2-,3-:2,12 ,10 8 ,6 ,4 ,2,1 :1 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的差等于差等于同一个常数同一个常数，那麽这个数列就叫做，那麽这个数列就叫做等差数列等差数列。解析：(1)、该数列的第2项与第一项的差是1，其余的后一 项与 前一项的差都是2。不符合等差数的定义 要求从第2项 起后项与前项的差是同一个常数。所以,它不是等差数列。（2）、不是。理由同（1）（3）、是。它符合等差数

3、列的定义。公差是0.通常 称作常数列.（4）、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是 ：1，2 ，3 ，4 ，5 ，是常数，但不是同一常数。所以不是。1、等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项。不能颠倒。2、作差的结果要求是二、等差中项二、等差中项若a,b,c三个数成等差数列，这时我们把b叫做a与b的等差中项等差中项。因为，b-a=d,c-b=d所以，2b=a+c.即即 a与与b的等差中项是的等差中项是a与与b的算术平均数的算术平均数 三个数成等差数列，可设这三个数为：a,a+d,a+2d或 a-d,a,a+d你能用你能用a与与c表示表示b吗？吗？等差中项的应用等差中项的应用例：三数成等差数

4、列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.解：假设三个数分别为a,b,c,那么由题意可得 a+b+c=12 (1)2b=a+c (2)ac=12 (3)由（1）（2）（3）可得 a=2,b=4,c=6.三、等差数列的通项公式：如果等差数列 an 的首项是 a1,公差是d，那麽由定义得：a2-a1=d (1)a3-a2=d (2)a4-a3=d (3)a5-a4=d (4).an-a n-1=d (n-1)等号左边为：an-a1,等号右边为：(n-1)d所以：an-a1=(n-1)d ,即 an=a1+(n-1)d 当n=1时，上式两边都等于 a1。nN*，公式成立。等差数列的通项公式是

5、等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)dn-1 个四、通项公式的应用：例 2：（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它 的通项公式。（2）、求等差数列 10，8，6，4，的第20项。（3）、-401是不是等差数列 5 ，-9 ，-13 ，的项？如果是，是第几项？等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 中，an,a1,n ，d 这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个 量 。分析：知道a1,d，求an。代入通项公式。a1=3,d=2 an=a1+(n-1)d =3+(n-1)2 =2n-1 解：（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它 的通项公

6、式。（2）、求等差数列 8，5，4，的第20项。分析：根据a1=8，d=5-8=-3，先求出通项公式an，再求出a20解：由题可得 a1=8,d=5-8=-3，n=20 所以这个数列的通项公式为:an=8+(n-1)(-3)=11-3n 当n=20时,有 a20=8+(20-1)(-3)=-49解：a1=-5,d=-9-(-5)=-4 an=-5+(n-1)(-4)=-4n-1 -401=-4n-1 n=100 -401是该数列的第100项。分析：根据a1=-5，d=-4，先求出通项公式an，再把 401代入，然后看是否存在正整数n。（3）、-401是不是等差数列 5 ，-9 ，-13 ，的项

7、？如果是，是第几项？解：由题意可得 a1+4d=10 (1)a1+11d=31 (2)d=2 a1=2 an=2+(n-1)2=2n 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。考必考的思想方法，应熟悉并掌握。例3：在等差数列an中，已知a5=10，a12=31,求首项a1，公差 d 。分析：此题已知a5=10，n=5；a12=31,n=12分别代入通项，公式an=a1+(n-1)d 中，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可

8、解出a1与d。*例4：(1)已知数列 an 的通项公式是 an=3n-1，求证：an为等差数列；(2)已知数列an是等差数列，求证：数列an+an+1也是等差数列.【小结】数列 an 为等差数列 an=kn+b k、b是常数.证明一个数列为等差数列的方法是：证明：an+1-an为一个常数.推广后的通项公式推广后的通项公式:(n-m)d daamnmnaamn (m n)由通项公式及其变形式我们知道:(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项;(2)已知等差数列任意两项,可以确定等差数列中的任一项例：在等差数列an中 (1)若a59=70，a80=112，求a101；(2)若ap=q，aq=p

9、(pq)，求ap+q；(3)若a12=23，a42=143，an=263，求n.答案：（1）d=2,a101=154;(2)d=-1,ap+q=0;(3)d=4,n=72.五、等差数列的基本性质五、等差数列的基本性质在等差数列an中，若m+n=p+q，则 am+an=ap+aq【说明】上面命题的逆命题是不一定成立的；上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3？例：在等差数列an中(1)a6+a9+a12+a15=20，则a1+a20=(2)a3+a11=10，则a6+a7+a8=1015 1、等差数列的概念。必须从第必须从第2项起后项减去前项起后项减去前项，并且差是项，并且差是

10、同同 一常数。一常数。2、等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 知道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。六、小结：这节课主要讲了以下两个问题：1、（1）、求等差数列 3 ，7 ，11，的第4项和第10项。（2）、100是不是等差数列 2 ，9 ，16 ，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。（3）、-20是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。2、在等差数列an中，（1）已知 a4=10,a7=19，求 a1与 d。（2）、已知 a3=9,a9=3，求 a12。解：（1）、a1=3

11、，d=7-3=4 an=3+4（n-1）=4n-1 a4=44-1=15，a10=410 1=39 （2）、a1=2 ，d=9-2=7 an=2+7（n-1)=7n-5 100=7n-5 n=15 100是该数列的第15项。（3）、a1=0 ，d=-3.5-0 =-3.5 an=0-3.5（n-1）=-3.5n+3.5 -20=-3.5n+3.5无正整数解 -20不是该数列的项。解：（1）已知 a4=10，a7=19 由通项公式的推广形式知 d=(19-10)(7-4)=3 a4=a1+3d 解得 a1=10-33=1（2）由题意得 d=(a9 a3)(9-3)=-1 a3=a1+2d解得：d=-1,a1=11。an=11-1（n-1）=12-n a12=12-12=0