高考数学复习专题——排列组合-概率与统计(教师版)

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1、一、排列组合问题的解题方略 一、相临问题捆绑法例17名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一种元素与其她五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，因此共有 种。评注：一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有 种排法。二、不相临问题选空插入法例2 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，因此甲、乙二人不相邻的排法总数应为： 种 .评注：若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。三、复杂问题总体排除法在直接法考虑比较难，或分类

2、不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形自身对其构成元素的限制。例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能构成三角形，有3条，因此满足条件的三角形共有 332个.四、特殊元素优先考虑法 对于具有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其她位置的安排。 例4 (1995年上海高考题) 1名教师和4名获奖学生排成一排照像留念，若教师不排在两端，则共有不同的排法 种解：先考虑特殊元素（教师）的排法，因教师不排在两端，

3、故可在中间三个位置上任选一种位置，有 种，而其他学生的排法有 种，因此共有 72种不同的排法.例5（全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参与比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其他7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其他7名队员选出2名安排在第二、四位置，有 种排法，因此不同的出场安排共有 252种.五、多元问题分类讨论法对于元素多，选用状况多，可按规定进行分类讨论，最后总计。例6（北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增长了两个新节目.如果将这两个节目

4、插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ） A42 B30 C20 D12解：增长的两个新节目，可分为相临与不相临两种状况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。六、混合问题先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采用先选用元素，后进行排列的方略 例7（北京高考）12名同窗分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分派方案共有（ ）解：本试题属于均分组问题。 则12名同窗均提成3组共有 种措施,分派到三个不同的路口的不同的分派方案共有： 种，故选A。例8（北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种

5、蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植措施共有（ ） A24种 B18种 C12种 D6种 解:先选后排,分步实行. 由题意，不同的选法有: C32种,不同的排法有: A31A22,故不同的种植措施共有A31C32A22=12，故应选C. 七相似元素分派档板分隔法例9把10本相似的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不不不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽量多的措施求解，并思考这些措施与否适合更一般的状况？本题考察组合问题。解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分派，保证每个阅览室至少得一本书

6、，这相称于在7本相似书之间的6个“空档”内插入两个相似“I”（一般可视为“隔板”）共有 种插法，即有15种分法。八、顺序固定用“除法”对于某几种元素按一定的顺序排列问题，可先把这几种元素与其她元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几种元素的全排列数。例10、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”顺序排的排队措施有多少种？分析：不考虑附加条件，排队措施有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 A33 =120种。(或A63种)例11、4个男生和3个女生，高矮不相等，目前将她们排成一行，规定从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。解：先在7个位

7、置中任取4个给男生，有A74 种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有A74 种排法。(也可以是A77 A33种)九、一一相应法：例11.在100名选手之间进行单循环裁减赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几场？解：要产生一名冠军，要裁减冠军以外的所有选手，即要裁减99名选手，要裁减一名就要进行一场，故比赛99场。二、随机变量及其分布列1离散型随机变量：可以一一列出。2离散型随机变量的分布列（1）设离散型随机变量X也许取的值为，X取每一种值的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称X的分布列。性质：，概率之和为。离散型随机变量的数学盼望：离散型随机变量的方差:1pXP0

8、1p（2）两点分布:（3） 二项分布：在独立反复实验概率公式中，若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，则在次独立反复实验中，事件正好发生次的概率为，其中。称这样的离散型随机变量服从参数为的二项分布，记作。（4）超几何分布：一般地，在具有M件次品的N件产品中，任取n件，其中正好有X件次品，则事件发生的概率为，其中，且，此时称分布列为超几何分布列。（5）特殊随机变量的数学盼望与方差分布数学盼望方差二点分布二项分布超几何分布（6）正态分布：正态变量概率密度曲线函数体现式：，其中是参数，且。如下图： 例1：已知随机变量X的分布列为：X210123P 分别求出随机变量的分布列。 解：分别是的函数，

9、而函数关系可用表的形式表达出来，然后再写出分布列。一方面列出如下表格：X210123101410149P从而由上表可得两个分布列101P0149P例2某种彩票的开奖是从1，2，3，36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖，根据基本号码个数的多少，中奖的级别为具有基本号码数4567中奖级别四等奖三等奖二等奖一等奖求至少中三等奖的概率. 解. 故至少中三等奖的概率为例3甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目的的概率为，乙每次击中目的的概率为，求：（1）记甲击中目的的次数为，求的概率分布及数学盼望；（2） 求乙至多击中目的2次的概率； （3） （3）求甲正

10、好比乙多击中目的2次的概率. 解（1）的概率分布列为X0123P 或 （2）乙至多击中目的2次的概率为 （3）设甲正好比乙多击中目的2次为事件A，甲恰击中目的2次且乙恰击中目的0次为事件，甲恰击中目的3次且乙恰击中目的1次为事件,则,、为互斥事件，例4高二（1）班的一种研究性学习小组在网上查知，某贵重植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又提成两个小组进行验证性实验.（1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求她们的实验至少有3次成功的概率；（2）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次

11、实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和盼望。 解（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，因此所求概率 （2）的概率分布列为X12345P因此 【跟踪训练】1、（广东文数）工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变化的回归方程为=50+80x，下列判断对的的是劳动生产率为1千元时，工资为130元；劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；当月工资为210元时，劳动生产率为2千元1解答：解：劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，对的，不对的不满足回归方程的意义故答案为：2、

12、（广东理数）某数学教师身高176cm，她爷爷、爸爸和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm因儿子的身高与爸爸的身高有关，该教师用线性回归分析的措施预测她孙子的身高为185cm2解答：解：设X表达爸爸的身高，Y表达儿子的身高则Y随X的变化状况如下；建立这种线性模型：X 173 170 176 182Y 170 176 182？用线性回归公式，求解得线性回归方程y=x+3当x=182时，y=185故答案为：1853、（广东理数）甲、乙两队进行排球决赛，目前的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才干得冠军，若两队胜每局的概率相似，则甲队获得冠军的概率为（）A、B、 C、D、3

13、解答：解：甲要获得冠军共分为两个状况一是第一场就取胜，这种状况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种状况的概率为=则甲获得冠军的概率为故选D4、（广东理数）7.已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X4）=（ ）A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.15854B=0.3413，=0.5-0.3413=0.15875、（广东理数）8.为了迎接广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相似记这5个彩灯有序地闪亮一次为一种闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一

14、种彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒5C.每次闪烁时间5秒，共5120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5（120-1）=595s总共就有600+595=1195s6（广东文科）广州亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个都市之间进行，各都市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A为起点，E为终点，每个都市通过且只通过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 A. B.21 C.22 D.23 6.B【解析】由题意知,所有也许路线有6种:, 其中, 路线的距离最短,

15、 最短路线距离等于,一年级二年级三年级女生373男生3773707（广东理数）某校共有学生名，各年级男、女生人数如表1已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19现用分层抽样的措施在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A24B18 C16 D12 图37 C【解析】依题意我们懂得二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应当是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为8（广东文数）图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分派给四个维修点某种配件各50件在使用前发现需将四个维修点的这批配件分别调节为，件，但调节只能在相邻

16、维修点之间进行，那么要完毕上述调节，至少的调动件次（件配件从一种维修点调节到相邻维修点的调动件次为）为（）8.C9（广东）一台X型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是(A)0.1536(B)0.1808(C)0.5632(D)0.97289.D10（广东）如图，小圆圈表达网络的结点，结点之间的连线表达它们有网线相联连线标注的数字表达该段网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同步传递.则单位时间内传递的最大信息量为A 10.D11 (广东)先后抛

17、掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子 朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（ ）ABCD11.C解：满足的X、Y有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种状况，而总的也许数有36种，因此，故选C12（广东文科）某单位200名职工的年龄分布状况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组（15号，610号，196200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样措施，则40岁如下年龄段应抽取 人. 12【答案】37, 20【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,

18、又由于第5组抽出的号码为22，因此第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37. 40岁如下年龄段的职工数为,则应抽取的人数为人.13（广东文数）.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是.13.【解析】,故答案为13.14.（广东理数）甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相似，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球是红球的概率为_(答

19、案用分数表达)14答案： 解析：；15（广东）某班委由4名男生和3名女生构成，现从中选出2人担任正副班长。其中至少有一名女生当选的概率是 。（用分数作答）15 16. （广东文科）随机抽取某中学甲乙两班各10名同窗,测量她们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差(3)现从乙班这10名同窗中随机抽取两名身高不低于173cm的同窗,求身高为176cm的同窗被抽中的概率.16【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;(2) 甲班的样本方差为 57（3）设身高为176c

20、m的同窗被抽中的事件为A； 从乙班10名同窗中抽中两名身高不低于173cm的同窗有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本领件，而事件A具有4个基本领件； ；17 （广东文数）某初级中学共有学生名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.（1） 求x的值；（2） 现用分层抽样的措施在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽

21、取多少名？（3） 已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.17【解析】（1） （2）初三年级人数为yz（373377380370）500， 现用分层抽样的措施在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为： 名 （3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）； 由（2）知 ，且 ,基本领件空间涉及的基本领件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、（255，245）共11个事件A涉及的基本领件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个 18（广东理数）随机抽取某

22、厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学盼望）；（3）经技术革新后，仍有四个级别的产品，但次品率降为，一等品率提高为如果此时规定1件产品的平均利润不不不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？18解：（1）的所有也许取值有6，2，1，-2；，故的分布列为：621-20.630.250.10.02（2）（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为依题意，即，解得因此

23、三等品率最多为19（广东文数）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨原则煤）的几组对照数据（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出有关的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨原则煤试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前减少多少吨原则煤？（参照数值：）19解: (1) 散点图略 (2) ； 所求的回归方程为 (3) ， 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前减少(吨)20、（广东）某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：X0-678910Y00.20.3

24、0.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为她的成绩，记为.()求该运动员两次都命中7环的概率；()求分布列；() 求的数学但愿.20解：()求该运动员两次都命中7环的概率为；() 的也许取值为7、8、9、10 分布列为78910P0.040.210.390.36() 的数学但愿为.21、（广东文数）在某次测验中，有6位同窗的平均成绩为75分用xn表达编号为n（n=1，2，6）的同窗所得成绩，且前5位同窗的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072（1）求第6位同窗的成绩x6，及这6位同窗成绩的原则差s；（2）从前5位同窗中，随机地选2位同窗，求恰有1位同窗成绩在区

25、间（68，75）中的概率考点：极差、方差与原则差；古典概型及其概率计算公式。专项：计算题。分析：（1）根据平均数公式写出这组数据的平均数表达式，在表达式中有一种未知量，根据解方程的思想得到成果，求出这组数据的方差，再进一步做出原则差（2）本题是一种古典概型，实验发生涉及的事件是从5位同窗中选2个，共有C52种成果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41种成果，根据概率公式得到成果解答：解：（1）根据平均数的个数可得75=，x6=90，这六位同窗的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，这六位同窗的原则差是7（2）由题意知本题是一种古典概型，实验发生涉及的事件是从

26、5位同窗中选2个，共有C52=10种成果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种成果，根据古典概型概率个数得到P=0.4点评：本题考察一组数据的平均数公式的应用，考察求一组数据的方差和原则差，考察古典概型的概率公式的应用，是一种综合题目22、（广东理数）为理解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的措施从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数（2）当产品中的微量

27、元素x，y满足x175，y75，该产品为优等品用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，球抽取的2件产品中的优等品数的分布列极其均值（即数学盼望）考点：离散型随机变量的盼望与方差。专项：计算题；应用题。分析：（1）有分层抽样可知各层抽取的比例相等，先计算出甲厂抽取的比例，按此比例计算乙厂生产的产品总数即可（2）先计算抽取的5件样品中优等品的概率，再由此概率估计乙厂生产的优等品的数量即可（3）的所有也许取值为0，1，2由古典概型分别求概率，再求盼望即可，此分布列为超几何分布解答：解：（1）甲厂抽取的比例=，由于乙厂抽出5件，故乙厂生产的产品总数35件（2）x175，y75的有两件，比例为，由于乙厂生产的产品总数35件，故乙厂生产的优等品的数量为35=14件（3）乙厂抽出的上述5件产品中有2件为优等品，任取两件的取法有C52=10种的所有也许取值为0，1，2P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，的分布列为：故E=点评：本题考察分层抽样、样本估计总体、离散型随机变量的分布列和盼望等知识，考察运用所学知识解决问题的能力