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1、初中数学竞赛精品原则教程及练习为（46）完全平方数和完全平方式一、内容提纲一定义1. 如果一种数正好是某个有理数平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，121都是完全平方数.在整数集合里，完全平方数，都是整数平方.2. 如果一种整式是另一种整式平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别阐明，完全平方式是在实数范畴内研究.例如：在有理数范畴m2， (a+b2)2， 4x212x+9， 144都是完全平方式.在实数范畴（a+）2， x2+2x+2， 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数性质和鉴定1. 整数平方末位数字只能是0，1，4，5，6，9.因此但凡末位数字为2
2、，3，7，8整数必不是平方数.2. 若n是完全平方数，且能被质数p整除，则它也能被p2整除.若整数m能被q整除，但不能被q2整除，则m不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，因此3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，因此444不是完全平方数.三. 完全平方式性质和鉴定 在实数范畴内如果ax2+bx+c (a0)是完全平方式，则b24ac=0且a0；如果 b24ac=0且a0；则ax2+bx+c (a0)是完全平方式. 在有理数范畴内当b24ac=0且a是有理数平方时，ax2+bx+c是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数关系1. 完全平方式（ax
3、+b）2 中当a，b都是有理数时，x取任何有理数，其值都是完全平方数；当a，b中有一种无理数时，则x只有某些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值也许是完全平方数. 例如： n2+9，当n=4时，其值是完全平方数.因此，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程有理数根关系1. 在整系数方程ax2+bx+c=0(a0)中 若b24ac是完全平方数，则方程有有理数根； 若方程有有理数根，则b24ac是完全平方数.2. 在整系数方程x2+px+q=0中 若p24q是整数平方，则方程有两个整数根； 若方程有两个整数根，则p
4、24q是整数平方.二、例题例1. 求证：五个持续整数平方和不是完全平方数.证明：设五个持续整数为m2，m1，m，m+1，m+2. 其平方和为S.那么S（m2）2（m1）2m2（m+1）2（m+2）25（m2+2）.m2个位数只能是0，1，4，5，6，9m2+2个位数只能是2，3，6，7，8，1m2+2不能被5整除.而5（m2+2）能被5整除，即S能被5整除，但不能被25整除.五个持续整数平方和不是完全平方数. 例2 m取什么实数时，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式？解：根据在实数范畴内完全平方式鉴定，得 当且仅当时，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式=0，即（2m）24(m1
5、)(3m2)=0.解这个方程， 得 m1=0.5， m2=2.解不等式m10 ， 得m1.即 它们公共解是m=2.答：当m=2时，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整顿成有关x二次三项式，得原式3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc它是完全平方式， 0. 即4(a+b+c)212(ab+ac+bc)=0. 2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0,(ab)2+(bc)2+(ca)2=0.要使等式成立，必要且只需： 解这个方程组，得a=b=c.例
6、4. 已知方程x25x+k=0有两个整数解，求k非负整数解.解：根据整系数简化一元二次方程有两个整数根时，是完全平方数.可设= m2 (m为整数)，即（5）24k=m2 (m为整数)，解得，k=.k是非负整数， 由25m20，得，即5m5；由25m2是4倍数，得m=1，3，5.以 m公共解1，3，5，分别代入k=.求得k= 6, 4，0.答：当k=6，4，0时，方程x25x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根. 证明：（用反证法）设方程有有理数根，那么是整数平方.（8k）216(k2+1)16（3k21）.设3k21m2 (m是整数)
7、.由3k2m21，可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k2m21能否成立.当k为偶数，m为奇数时，左边k2是4倍数，3k2也是4倍数；右边m2除以4余1，m21除以4余2.等式不能成立.； 当k为奇数，m为偶数时，左边k2除以4余1，3k2除以4余3右边m2是4倍数，m21除以4余1等式也不能成立.综上所述，无论k，m取何整数，3k2m21都不能成立.3k21不是整数平方，16（3k21）也不是整数平方.当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根三、练习461. 如果m是整数，那么m2+1个位数只能是.2. 如果n是奇数，那么n21除以4余数是，n2+2除以8余数是，3
8、n2除以4余数是.3. 如果k不是3倍数，那么k21 除以3余数是.4. 一种整数其中三个数字是1，别旳都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串持续正整数平方12，22，32，和个位数是.6. m取什么值时，代数式x22m(x4)15是完全平方式？7. m取什么正整数时，方程x27x+m=0两个根都是整数？8. a，b，c满足什么条件时,代数式(cb)x2+2(ba)x+ab是一种完全平方式？9. 判断下列计算成果，是不是一种完全平方数： 四个持续整数积； 两个奇数平方和.10. 一种四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数是平方数，试求a，b.12. 已
9、知：n是自然数且n1. 求证：2n1不是完全平方数.13. 已知：整系数多项式4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方数，求整数a和b值.14. 已知：a，b是自然数且互质，试求方程x2abx+(a+b)=0自然数解.15.恰有35个持续自然数算术平方根整数某些相似，那么这个整数是( ) (A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36练习46参照答案：1.1，2，5，6，7，02.0，3，33.04. 不是平方数，由于能被3整除而不能被9整除5. 5。由于平方数个位数是（14965694+1+0）12345678（14965694+1）即个位数为5856. 3，57.12，10，
10、68.a=b,a=c且cb 9. 都不是10.1987A2B217622221111.7744（882）.是平方数，a+b是11倍数可从中检查，得出答案.12 用反证法，设2n1=A2,A必是奇数，设A2k+113 14 x1=1,x2=2袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁
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16、罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈
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