初中数学九年级上册第六章学案

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1、61 频率与概率的学案 北师大数学九年级上 第六章 第一节 课时安排 3课时一、 简介本节通过一个课堂实验活动，让学生逐步计算一个随机事件发生的实验频率，并观察其规律性，从而归纳出实验频率趋近于理论概率这一规律性，同时进一步介绍一种计算概率的方法列表法实验频率稳定于理沦概率是本节乃至本章的教学重点及难点之一，第二个重点则为能运用树状图或列表法计算简单事件发生的概率二在教学过程中应注意：(1)注重学生的合作和交流活动，在活动中促进知识的学习，并进一步发展学生的合作交流意识和能力这是社会迅猛发展的要求同时在本节中要归纳出实验频率稳定于理论概率这一规律，必须借助于大量重复实验，而课堂时间是有限的，靠

2、一个学生完成实验次数自然不可能因此必须综合多个学生甚至全班学生的实验数据，这就需要全班学生合作交流来完成(2)注重引导学生积极参加实验活动，在实验中体会频率的稳定性，感受实验频率与理论概率之间的关系，并形成对概率的全面理解发展学生的初步辩证思维能力，突破实验频率稳定于理论概率这一难点，进一步体会概率是描述随机现象的数学模型(3)关注学生对知识技能的理解和应用，借助列表和树状图计算简单事件发生的概率三、课 题 611 频率与概率(一)教学目标 (一)教学知识点 通过实验理解当实验次数较大时实验频率稳定于理论概率，并据此估计某一事件发生的概率 (二)能力训练要求 经历实验、统计等活动过程，在活动中

3、进一步发展学生合作交流的意识和能力 (三)情感与价值观要求 1积极参与数学活动通过实验提高学生学习数学的兴趣 2发展学生的辩证思维能力教学重点 1通过实验.理解当实验次数较大时。实验频率稳定于理论概率并据此估计某一事件发生的概率 2在活动中发展学生的合作交流意识和能力教学难点 辩证地理解当实验次数较大时，实验频率稳定于理沦概率教学方法 实验交流合作法教具准备 每组准备两组相同的牌，每组牌都有两张； 多媒体演示：教学过程 创设问题情境，引入新课 师我们在七年级时，曾用掷硬币的方法决定小明和小丽谁去看周末的电影：任意掷一枚均匀的硬币.如果正面朝上，小丽去；如果反面朝上，小明去这样决定对双方公平吗?

4、 生公平!因为我们做过这样的试验，历史上的数学家也做过掷硬币的实验，经过实验发现当次数很大时，任意掷一枚硬币会出现两种可能的结果：正面朝上、反面朝上这两种结果出现的可能性相同.都是 师很好!我们再来看一个问题：任意掷一枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)“6”朝上的概率是多少? 生任意掷一枚均匀的小立方体，所有可能出现的结果有6种：“1”朝上，“2”朝上。“3”朝上，“4”朝上，“5”朝上，“6”朝上，每种结果出现的概率都相等，其中“6”朝上的结果只有一种，因此P(“6”朝上). 师上面两个游戏涉及的是一步实验如果是连续掷两次均匀的硬币。会出现几种等可能的结果

5、出现“一正一反”的概率为多少呢?如果将上面均匀的小立方体也连续掷两次，会出现几种等可能的结果，两次总数都是偶数的概率为多少呢?从这一节开始我们将进一步学习概率的有关知识 我们用实验的方法估计出了任意掷一枚硬币“正面朝上”和“反面朝上”的概率同样的我们也可以通过实验活动估计较复杂事件的概率 分组实验，进一步理解当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率 1活动一： 活动课题 通过摸牌活动，探索出“实验次数很大时，实验的频率渐趋稳定”这一规律 活动方式 分组实验，全班合作交流 活动步骤 准备两组相同的牌，每组两张。两张牌的牌面数字分别是1和2从每组牌中各摸出一张，称为一次实验 (1)估计一次实验中。

6、两张牌的牌面数字和可能有哪些值? (2)以同桌为单位，每人做30次实验，根据实验结果填写下面的表格：牌面数字和234频数频率(3)根据上表，制作相应的频数分布直方图 (4)根据频数分布直方图估计哪种情况的频率最大? (5)计算两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少? (6)六个同学组成一组，分别汇总其中两人、三人、四人、五人、六人的实验数据，相应得到实验60次、90次、120次、150次、180次时两张牌的牌面数字之和等于3的频率，填写下表并绘制相应的折线统计图实验次数6090120150180两张牌面数字和等于3的频数两张牌面数字和等于3的频率(在具体实验活动的展开过程中要力图体现各个步骤的渐

7、次递进(1)在一次实验中，两张牌的牌面数字和可能为2，3，4：(2)学生根据自己的实验结果如实填写实验数据；(3)制作相应的频数分布直方图，一方面为了复习巩固八年级下册有关频数、频率的知识，同时也便于学生更为直观地获得(4)的结论；(4)一般而言，学生通过实验以及上面(2)(3)的图表容易猜想两张牌的牌面数字和为3的频率最大理论上两张牌的牌面数字和为2，3，4的概率依次为，应该说，经过30次实验，学生基本能够猜想两张牌的牌面数字和为3的频率最大当然，这里一定要保证实验的次数，如果实验次数太少，结论可能会有较大出入；(5)有了(4)中的结沦自然过渡到研究其频率的大小当然，两张牌的牌面数字和等于3

8、的频率因各组实验结果而异正是有了学生结论的差异性，才顺理成章地展开问题(6)，汇总组内每人的实验数据；(6)目的在于通过逐步汇总学生的实验数据，得到实验60次、90次、120次、150次、180次时的频率并绘制相应的折线统计图，从而动态地研究频率随着实验次数的变化而变化的情况) 2议一议 师在上面的实验中，你发现了什么?如果继续增加实验次数呢?与其他小组交流所绘制的图表和发现的结论 生在与各组交流图表的过程中，我发现：在各组的折线统计图中，随着实验次数的增加，频率的“波动”较小了 生随着实验次数的增加，实验结果的差异较小。实验的数据即两张牌的牌面数字和等于3的频率比较稳定 生一个人的实验数据相

9、差可能较大，而多人汇总后的实验数据即两张牌的牌面数字和等于3的频率相差较小 师也就是说，同学们从实验中都能体会到实验次数较大时，实验频率比较稳定请问同学们估计一下，当实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率大约是多少? 生大约是 师很好!准能将实验次数更进一步增加呢?越大越好 生可以把全班各组数据集中起来，这样实验次数就会大大增加 师太棒了!“众人拾柴火焰高”，我们集小全班的实验数据，交流合作，可以使实验次数达到一千多次下面我们汇总全班的实验次数及两张牌的牌面数字和为3的频数，求出两张牌的牌面数字和等于3的频率 (可让各组一一汇报，然后清同学们自己算出) 生约为 师与你们的估计相近吗?

10、生相近 3做做 师你能用我们学过的知识计算出两张牌的牌面数字和为3的概率吗？ 生每组牌中，每张牌被摸到的可能性是相同的，因此一次实验中两张牌的牌面数字的和等可能的情况有： 1+12；1+23； 2+13；2+24 共有四种情况而和为3的情况有2种，因此，P(两张牌的牌面数字和等于3)= .生也可以用树状图来表示，即 两张牌的牌面数字的和有四种等可能的情况，而两张牌的牌面数字和为3的情况有2次，因此两张牌的牌面数字的和为3的概率为 4想一想 师我们在前面估算出了当实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率约为接着又用树状图计算出了两张牌的牌面数字和等于3的概率也为比较两者之间的关系，你可以发

11、现什么呢?同学们可相互交流意见 生可以发现“实验频率稳定于理论概率”这一结论 生也就是说，当实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率稳定在相应的概率附近 师很好!由于实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率稳定在相应的概率附近，因此我们可以通过多次实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率 “当实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率稳定在相心的概率附近”是否意味着。实验次数越大。就越为靠近?应该说作为一个整体趋势，上述结论是正确的，但也可能会出现这样的情形：增加了几次实验，实验数据与理论概率的差距反而扩大了同学们可从绘制的折线统计图中发现 随堂练习 活动二： 活动课

12、题 利用学生原有的实验数据统计两张牌的牌面数字和为2的频率，进步体会当实验次数很大时，频率的稳定性及其与概率之间的关系 活动方式 小组活动，全班讨论交流 活动步骤 (1)六个同学组成一个小组，根据原来的实验分别汇总其中两人、二人、四人、五人、六人的数据，相应得到实验60次、90次、120次、150次、180次时两张牌的牌面数字和等于2的频率 (2)根据上面的数据绘制相应的统计图表，如折线统计图 (3)根据统计图表估计两张牌的牌面数字和等于2的概率 (活动完成后，讨论、总结) 生由我们组绘制的折线统计图可以发现随着实验次数的增加，实验的频率在处波动而且波动越来越小 生由此可估计两张牌的牌面数字和

13、等于2的概率为 师你能用树状图计算出它的理论概率吗?生可以，如下图： 因此，P(两张牌的牌面数字和为2). 课时小结 本节课通过实验、统计等活动，进一步理解“当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率”这一重要的概率思想 课后作业 习题61 活动与探究 下列说法正确的是( ) A. 某事件发生的概率为，这就是说：在两次重复实验中，必有一次发生 B一个袋子里有100个球，小明摸了8次，每次都只摸到黑球，没摸到白球，结论：袋子里只有黑色的球 C两枚一元的硬币同时抛下，可能出现的情形有：两枚均为正；两枚均为反；一正一反，所以出现一正一反的概率是 D全年级有400名同学，一定会有2人同一天过生日 过程“

14、当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率”并不意味着，实验次数越大，就越为靠近，应该说，作为一个整体趋势，上述结论是正确的，更不能某某事件的概率为，在两次重复试验中就一定有一次发生、因此A不正确，B也不正确而对于C，两枚硬币同时抛下，等可能的情况由树状图可知有四种： 因此，出现一正一反的概率为即，对于D，根据抽屉原理可知是正确的 结果应选D板书设计611 频率与概率 活动一： 活动目的 活动方式 活动步骤：(1)(2)(3)(4)(5)(6) 活动结果：当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率 注：对上述结果的正确理解应该说作为一种整体趋势是正确的 活动二： 活动目的 活动方式：分组、全班交流

15、讨论 活动步骤：(1)(2) 活动结果：同上613 频率与概率(三)教学目标 (一)教学知识点进一步经历用树状图、列表法计算两步随机实验的概率(二)能力训练要求 经历计算理论概率的过程，在活动中进一步发展学生的合作交流意识及反思的习惯 (三)情感与价值观要求 1鼓励思维的多样性，发展创新意识 2鼓励积极参与数学活动，进一步提高学习数学的信心教学重点 进一步经历用树状图、列表法计算随机事件发生的概率教学难点 正确地利用列表法计算随机事件发生的概率知识点 用列表法求概率列表法:指用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式以及某一事件发生的可能的次数和方式,并求出概率的方法.注意: (1)

16、一个事件发生的概率是用这个事件发生的频率来估计的.(2) 列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题.(3) 可能事件E的概率P(E)=事件E发生的次数 各种情况出现的总次数 用树状图法求概率树状图法:指用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式以及某一事件发生的可能的次数和方式,并求出概率的方法.注意: (1) 树状图同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题. (2) 在求可能事件的概率用列表法或树状图法时,应注意各种情况出现的可能性务必相同.(3) 在列表或树状图求概率的过程中，各种情况出现的可能性不能重复,也不能遗漏.类型题:1.有人说:”抛掷两枚普通的

17、正方体骰子,掷得两个6的概率应是的一半,也就是.”这种说法对吗?为什么?掷两枚骰子，所有等可能的情况列表如下：第二点点数第一次点数1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6） 根据上表可知，共有36个等可能的基本事件，掷得两个6只是这些结果中的1种,所以其概率

18、是,而不是,故题中的说法不对.2.求出掷两枚骰子：(1)“点数和为12点”的概率；(2)“点数和至少是9点”的概率；(3)“两颗骰子点数相同”的慨率；(4)“两颗骰子的点数都是偶数”的概率；(5)“点数和为1点”的概率；(6)“点数和小于13点”的概率解:根据上表可知，共有36个等可能的基本事件，(1)其是点数和为12点的有(66)一种因此“点数和为12点”的概率为；(2)总点数至少是9点的有(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，(5，5)，(5，6)，(4，6)十种情况，因此，“点数和至少是9点”概率为即； (3)两颗骰子的点数相同的有(1，1)

19、(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)六种情况，因此，“两颗骰子点数相同”的概率为即； (4)两颗骰子的点数都为偶数的有(2，2)，(2，4)，(2，6)(2，4)，(4，4)，(6，4)，(2，6)，(4，6)，(6，6)共九种情况因此，“两颗骰子的” (5)点数和为1的情况没有发生，因此，“点数和为1点”的概率为即即0；(6)点数和小于13的情况共有36种，因此，“点数和小于13点”的概率为=13.一枚硬币和一枚骰子一起掷，求： (1)“硬币出现正面，且骰子出现6点”的概率； (2)“硬币出现正面，或骰子出现6点”的概率解:由于硬币出现正面、反面的可能性相同，骰子出现1

20、，2，3，4，5，6点的可能性也相同，一枚硬币与一颗骰子同时掷出现的所有等可能的情况用树状图表示如下： (1)硬币出现正面且骰子出现6点的情况有(正，6)，因此，“硬币出现正面且骰子出现6点”的概率为；(2)硬币出现正面或骰子出现6点的情况有(正，1)，(正，2)，(正，3)，(正，4)，(正，5)，(正，6)(反，6)，因此，“硬币山现正面或骰子出现6点”的概率为.用列表法，可得骰子硬币123456正面（正，1）（正，2）（正，3）（正，4）（正，5）（正，6）反面（反，1）（反，2）（反，3）（反，4）（反，5）（反，6）共有12种等可能情况(1)“硬币出现正面，且骰子出现6点”的概率为；

21、(2“硬币出现正面或骰子出现6点”的概率为.4. 用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏小颖制作了下表，并据此求出游戏者获胜的概率为；红色蓝色红色（红，红）（红，蓝）蓝色（蓝，红）（蓝，蓝）小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了下表，据此求出游戏者获胜的概率也是红色蓝色红色1（红1，红）（红1，蓝）红色2（红2，红）（红2，蓝）蓝色（蓝，红）（蓝，蓝）你认为谁做得对?说说你的理由解:小颖的做法不正确，小亮的做法正确因为左边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不同，因而指针落在两个区域的可能性不同而用列表法求随机事件发生的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相

22、同而小亮的做法把左边转盘中的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，保证了左边转盘中指针落在“蓝色区域”“红色1”“红色2”三个区域的等可能性，因此是正确的5. 掷三枚硬币，求： (1)“至少有一个硬币是正面”的概率； (2)“三枚硬币都是反面”的概率过程画掷三枚硬币的树状图要有两次分叉 从树状图可知共有8个等可能的基本事件并且可知“至少有一枚硬币是正面”共有7个基本事件；“三枚都是反面”有1个基本事件 结果(1)“至少有一枚硬币是正面”的概率为； (2)“三枚都是反面”的概率为基础练习:1. 有两组卡片，第一组三张卡片上都写着A、B、B，第二组五张卡片上都写着A、B、B、D、E。试

23、用列表法求出从每组卡片中各抽取一张，两张都是B的概率。2. 利用下面的转盘做“配紫色”的游戏，求出“配紫色”的概率。3. 小明说：“我投均匀的一枚硬币2次，会出现两次都为反、一正一反和两次都为正三种情况，所以出现一正一反这种情况的概率是”，你觉得他的说法有道理吗？说明你的理由4. 小英和小丽用两个转盘做“配紫色”游戏，配成紫色小英得1分，否则小丽得1分，这个游戏对双方公平吗？（红色+蓝色=紫色，配成紫色者胜）红黄蓝蓝红红黄62 投针实验课时安排 1课时从容说课 通过第1节的学习，学生已认识到当实验次数较大时实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率，但尚未有这方面的体验，义务教育阶

24、段学生的认知水平可以掌握的有关概率模型大致分为三类：第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值一般而言，它是一个纯粹的现实问题；第二类问题虽然存在理论概率，但其理论计算已经超出了义务教育阶段学生的认知水平，学生只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题只是简单的古典概型，理论上容易求出其概率，而本节选取了一个历史上较为著名的投针实验为题材力图让学生通过亲身的实验。统计过程获得用实验方法估计复杂事件发生的概率的体验 对于投针实验，教科书首先提出问题，并引导学生思考能否借助列表或树状图求出该针与平行线相交的概率，力图引起学生的认知冲突，产生实验估计的愿望然后通过“做一做”具体估计其概率因此

25、本节课基本上是一节活动课，因而要注意学生的自主性，实验活动以及实验数据的汇总都可以由学生自己组织完成，同时，也为教师评价学生合作交流的意识和能力、学生的思维水平、学生的动手能力提供了一个很好的机会，此外，在实验过程中，有时针与线是否相交较难判断，学生可能为此发生一些争执，教师可以进行适当的指导，如建议学生忽略这次实验或者认为相交、不相交各计半次等，避免学生过多地停留于此第四课时课 题 62 投针实验教学目标 (一)教学知识点 能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率 (二)能力训练要求 经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生的合作交流的意识和能力 (三)情感与价值观要求 1激发

26、学生实事求是的科学态度 2亲历实验，提高学生学习数学的兴趣教学重点 能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率教学难点 借助大量重复实验去感悟实验频率稳定于理论概率教学方法 小组活动教具准备 大头针，图钉，多媒体演示教学过程 提出质疑，引入新课 师上节课我们介绍了用树状图或列表格的方法计算随机事件的概率也就是计算一些事件的概率就可以在某个试验之前，算出某个结果的概率但这些方法有一个前提条件，是什么? 生要求实验出现的各种结果是等可能的，并且实验出现的结果必须是有限个 师下面我们来看一个例子比如掷一枚图钉，有几种结果?它们是等可能的吗? 生有“朝天”和“倾斜”两个可能结果，但我觉得这两个可能

27、的结果不是等可能的. 师能不能说“朝天”的概率是，“倾斜”的概率也是呢? 生当然不能 师再例如，掷一只墨水笔尖，也有“正”“反”两种可能，但出现的可能性相等吗? 生不相等 师很好一个试验，虽然结果有有限个，但各个结果出现的可能性不相等，这时怎样求某一事件的概率呢? 生只有动手做大量的试验因为我们知道：当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率 师看来，求这些事件发生的概率只有亲自做很多次实验了 讲授新课 活动一：从一定高度落下的图钉，落地后可能钉尖着地，也可能钉帽着地你估计哪种事件发生的概率大? 活动目的：利用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”来估计某一

28、事件发生的概率 活动方式：小组合作交流，全班汇总实验数据，交流研讨 活动工具：形状、大小完全相同的图钉 活动步骤：1分组：每组5人2每组每人做20次实验，根据实验结果，填写下表的表格：实验结果钉尖着地钉帽着地频数频率3根据上表你认为哪种情况的频率较大? 4分别汇总本小组其中两人、三人、四人、五人的实验数据，相应得到实验40次、60次、80次、100次时钉帽着地的频率，填写下表，并绘制折线统计图实验次数20406080100钉帽着地的频数钉帽着地的频率5汇总全班各小组其一个组两个组、三个组、四个组的实验数据，相应得到实验100次、200次、300次、400次时钉帽着地的频率，并绘制折线统计图 6

29、由折线统计图，估计钉帽着地的概率 (注意：图钉必须从一定高度自由落下，保证着地时的随机性；组内同学合作时要进行适当的分工；体现学生的自主性，实验活动以及实验数据的汇总等都可以由学生白行组织完成；教师认真评价学生合作交流的意识和能力，学生的思维水平，学生的动手能力等) 师生共析我们一同来研究一下，掷一枚图钉时，出现“钉帽着地”这一结果的概率 将图钉掷200次，每掷20次，统计一下两个组同学“钉帽着地”这一结果出现的次数，并算出相应的频率，如下表将统计数据(“钉帽着地”的频率)画成折线统计图，看起来更直观实数累计次数出现“顶帽着地”的次数出现“顶帽着地”的频率20945402562.5603050

30、804657.510061611207159.21408057.11609056.318010256.720011356.5从图中可发现，“顶帽着地”的频率开始“摆动”得很厉害，随着试验次数的增加，这个频率就开始比较稳定了，最后大致在56.5左右摆动由此我们可以估计“顶帽着地”的概率约为565，即0.565. 师在数学的历史上，有一个较为著名的投针实验： 平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离为a，向此平面任投一长度为l(la)的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们都不相交 相交和不相交的可能性相同吗?你能通过列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率吗? 生相交和不相交的

31、可能性不相同，由于结果的可能性不同，因此这个事件的概率也不能列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率也必须用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”来估计该针与平行线相交的概率 师很好，我们还是分组活动 活动二：平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离都是a，向此平面任投一长度为l(la)的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们不相交，估计针与平行线相交的概率 活动目的：利用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”，并据此估计针与平行线相交的概率 活动方式：小组交流，全班研讨的方法 活动工具：每组学生要在平面上画有相同距离“的一组平行线，并且有长度都为l的针(la)要

32、求针必须粗细均匀 活动步骤：1分组，两人一组 2取一张白纸，在上面画一组平行线它们之间的距离为2厘米，另外准备一根1厘米长的针在纸下面垫一层柔软的东西，使针落在纸面上时不会弹跳起来 3每组至少完成100次实验，分别记录下其中相交和不相交的次数 4统计全班的实验数据，估计针与平行线相交的概率 (在具体实验的过程中，要求每组学生都确定相同的l和a，而对于针可由教师统一准备这样做是因为如果l和a取不同的值，实验结果是不同的那样全班就无法统计数据为了保证随机性。要求学生从一定的高度随意抛针两个同学适当分工，使学生自主活动，汇总实验数据此外，在实验过程中，有时针与线是否相交较难判断，学生可能为此发生一些

33、争执，教师可以适当地加以指导，如建议学生忽略这次实验或者认为相交、不相交各计半次，等等避免学生过多地停留于此) 师请同学们在用实验获得的数据估计针与平行线相交的概率的同时，用计算器计算实验总次数除以直线与平行线相交的次数，你会有什么惊人的发现? (同学们计算、讨论后回答) 生得到的商好像是的一个近似值而且投掷次数越多，得到的的近似值越精确 师很好!其实这件事绝非偶然请同学们打开书阅读“读一读”投针实验这篇短文介绍了关于投针实验的一些历史资料，以及其概率与之间的关系，据此获得一种估计的值的方法并将其引申为现在广泛使用的蒙特卡洛方法，旨在给学生一定的拓展空间，让学生体会到有些高深的数学中蕴涵的思想

34、极其朴素，从而激发学生的数学学习兴趣 师“读一读”中提到的蒙特卡罗方法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，它将所求解的问题与一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，因此又称为统计模拟法或统计试验法 蒙特卡罗是摩纳哥的一个城市，以赌博闻名于世蒙特卡罗方法借用这一城市的名称，是为了象征性地表明该方法的概率统计特点作为一种计算方法，蒙特卡罗方法是由乌拉姆(SMUlam19091984)和冯诺伊曼(JvonNeumann，19031957)在20世纪40年代为研制核武器的需要而首先提出来的在此之前，该方法的基本思想实际上已被统计学家所采用了 生把总的次数(即相

35、交的与不相交的次数之和)除以相交的次数，得到的商一定是圆周率的近似值，投掷次数越多，得到的近似值越精确，这件事并非偶然，老师，你能告诉我们其中的道理吗? 师当针与直线相交时，必有其上的某1毫米处相交而每1毫米最可能与直线相交的机会是相等的，它的次数应为全针与直线相交的最可能次数k的如果针上某一段长n毫米，那么这一段与直线最可能相交的次数应为，即最可能的相交次数和针的长度成正比 需要指出的是，这个最可能的相交次数只与针的长度成正比，而与针的形状无关例如，我们将10毫米的针弯成两段，一段长x毫米，另一段长为(10-x)毫米，那么这两段的最可能与直线相交的次数分别为和.这样，全针的最可能相交次数仍为

36、k，即这个最可能相交次数与针的形状无关当然，将针的形状弯成某种形状后，有时可能在针的某儿处都和直线相交，这时应把每一个交点都记作相交一次 现在将针弯曲成一个圆形假定这时的针的粗细仍是均匀的，且圆的直径等于20毫米，那么每投一次圆环总能和直线相交于两点(正好和两条直线相切也记作两个交点)投掷n次，相交次数为2n次对于10毫米的针，它的最可能相交次数是k次由于圆环的长是20毫米，等于针长的2倍，所以圆环相交次数应是针的最可能的相交次数的2倍，即2n=2k， 由此可得= 课时小结 这节课我们学会了用实验的方法估计一些复杂随机事件发生的概率，并亲自体验到了“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率，并

37、可据此估计某一事件发生的概率”经历实验、统计等活动过程，在活动过程中，同学们都能积极参与到数学活动中去，合作意识和思维能力及思维水平得到了不同程度的提高，认识了蒙特卡罗方法，并用它来估计的近似值 课后作业 1习题63 2继续做投针实验，估算的值 活动与探究 随便说出3个正数，以这3个数为边长一定能围成一个三角形吗?一定能围成一个钝角三角形(其中最大边的平方大于另两边的平方和)吗?估计能围成一个钝角三角形的概率 过程本题仍是利用实验的方法估计随机事件发生的概率，选择该题材的原因是其概率与有关，并与“读一读”中内容相呼应具体操作时，可以几个学生组成合作小组，每人写一个数在纸上，然后同时公布各自的数

38、进行判断 随便说出三个正数，以这三个正数为边不一定能组成一个三角形，如不能以1，3，5三个数为边长组成三角形；当然也不一定能组成一个钝角三角形；能围成一个钝角三角形的概率的估计值因人而异，因实验次数而异事实上，不妨设所取三数为(a，b，c(0c，a2+b21， 1 结果其理论概率为.板书设计62 投针实验活动一：从一定高度落下的图钉，落地后可能钉尖着地，也可能顶帽着地，用实验的方法估计钉帽着地的概率，并在小组中交流活动二：投针试验在平面上画距离为2厘米的平行线，另外准备一根长度为1厘米的粗细均匀的针，用实验的方法估计任投一根针，该针与平行线相交的概率 6.3 生日相同的概率（一）教师寄语：只有

39、时刻把记忆的网张开，才能捕到知识的猎物学习目标： 1经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。2能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。3体会统计、实验、研讨活动的应用价值。学习过程：前置准备：创设情境、激趣揭题情境导入：1.找出班上今天生日的学生，为他过个生日，将课堂气氛浓厚起来。2.导入主题：400个同学中，一定有2个学生的生日相同（可以不同年）吗？300个同学呢？学生为班上过生日的同学唱“生日之歌”，活动后进入主题思考。回答提出的问题。自主学习：联系生活、丰富联想做一做每个同学课外调查10人的生日写在纸条上，从全班的调查结果中随机选取50个被调查的人，

40、看看他们中有没有2个人的生日相同，将全班同学的调查数据集中起来，设计一个方案，估计50人中有2人生日相同的概率。合作交流：想一想（1）50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同，这话正确吗？请与同伴交流。（2）如果你们班50个同学中有2个同学的生日相同，那么能说明50个同学中有2个同学生日相同的概率是1吗？如果你们班没有2个同学生日相同，那么能说明其相应概率是0吗？学生小组合作探究，而后进行小组汇报。归纳总结：1.学习本节课内容，结合具体情况，请你谈一谈它们的实际意义。2.在经历了调查、收集数据和整理的学习过程中，你能否进行合理的估算。3.本节课在小组合作交流中，你在哪些能力上有提高？你的同伴

41、中哪些表现良好的观察和分析能力。例题解析：某口袋里放有编号16的6个球,先从中摸索出一球,将它放回口袋中后,再摸一次,两次摸到的球相同的概率是多少?当堂训练：课本随堂练习 1、课本中考真题：某种“15选5”的彩票的获奖号码是从1-15这15个数字中选择5个数字(可以重复),若彩民所选择的的5个数字与获奖号码相同,即可获得特等奖.小明观察了最近100期获奖号码,发现其中竟有51期有重号(同一期获奖号码中有2个或2个以上的数字相同),66期有连号(同一期获奖号码中有2个或2个以上的数字相邻).他认为,获奖号码中不应该有这么多重号或连号,获奖号码不可能是随机产生的,有失公允.小明的观点有道理吗?重号

42、的概率大约是多少?利用计算器摸拟试验估计重号的概率.每章后单元测试：一个密码锁的密码由四个数字组成,每个数字都是0-9这十个数字中的一个,只有当四个数字与所设定的密码相同时,才能将锁打开.粗心的小明忘了其中中间的两个数字,他一次就能打开该锁的概率是多少? 6.3 生日相同的概率（二）教师寄语：知识是勤奋的影子，汗珠是勤奋的镜子学习目标： 1经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。2能利用计算器或计算机等进行模拟实验，估计一些复杂的随机事件发生的概率。3形成对某一事件发生的概率的较为全面的理解，初步形成随机观念，发展学生初步的辩证思维能力。学习过程：前置准备：小组交

43、流、设计方案问题提出：通过调查，我们估计了6个人中有2个人生肖相同的概率，要想使这种估计尽可能精确，就需要尽可能多地增加调查对象，而这样做既费时又费力。请同学们想一想，能不能不用调查即可估计出这一概率呢？请你设计出具体地实验方案。学生分四人小组探究问题的结论，设计解决问题的实验方案，而后小组汇报各自的方案。自主学习：阅读与比较：有人说，可以用12个编有号码的、大小相同的球代替12种不同的生肖，这样每个人的生肖都对应着一个球，6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同，因此，可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，记下它的号码，放回去；再从中摸出1个球，记下它的号码，放回

44、去；直至摸到第6个球，记下第6个号码，为一次实验，重复多次实验，即可估计6个人中有2个人生肖相同的概率。探索：（1）你认为这样说法有道理吗？ （2）为什么每次摸出球后都要放回去？概念：上面的方法是用摸球实验代替实际调查，类似这样的实验称为模拟实验。学生为自己设计的方案进行比较，从中比较其合理性。合作交流：用计算器、模拟实验提出问题：除了用大小相同的12个球进行实验外，你还能想出其他方法吗？探索解决问题的方法：可以用计算器产生的随机数进行模拟实验。学生按照课本中的方法先产生一个112之间的整数，并显示在显示器的第二行。注意：不同计算器产生随机数的方法可能不同。做一做两人组成一个小组，利用计算器产

45、生112之间的随机数，并记录下来，每产生6个随机数为一次实验，每组做10次实验，看看有几次实验中存在2个相同的整数，将全班的数据集中起来，估计6个112之间的整数有2个数相同的概率。提问：这一结果与上一课估计一致吗？学生小组合作，共同探究。归纳总结：课堂总结1.用计算器模拟实验和用随机数表模拟实验有什么共同点和不同点？2.用随机数表模拟实验的方法和步骤是什么？3.你在本节课时的表现如何，你周围哪一位同学表现得最好例题解析：老师有5张电影票,现在要将它们随机分给班上的5个同学为了保证公正,你能利用计算器帮老师作出决定吗?当堂训练： 课本随堂练习 1、2课下训练：课本习题6.5 1、2 中考真题：

46、桌子上放有6张扑克牌,全都正面朝下,其中恰有两张是老K.两人做游戏,游戏规则是:随机取2张牌并把它们翻开,若2张牌中没有老K,则红方胜,否则蓝方胜.你愿意充当红方还是蓝方?每章后单元测试： (1)连掷两枚骰子,它们点数相同的概率是多少?(2)在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人,他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人?(3)桌子上放有6张扑克牌,全都正面朝下,其中恰有两张是老K.两人做游戏,游戏规则是:随机取2张牌并把它们翻开,若2张牌中没有老K,则红方胜,否则蓝方胜.你愿意充当红方还是蓝方?相关习

47、题1.袋中装有4只黑球,6只白球,从中任取二只球, 求取出的二只球都是黑球的概率.2.50件产品中有46件合格品与4件废品,从中随机地取出3件,求其中有废品的概率.3.有5位毕业生,其分配去向有5个单位,每个单位对人数没有限制, 求每个单位分到一个毕业生的概率.4.利用计算器产生1-6的随机数(整数),连续两次随机数相同的概率是多少?5.一个密码柜的密码由四个数字组成,每个数字都是0-9这十个数字中的一个, 只有当四个数字与所设定的密码相同时,才能将柜打开,粗心的刘芳忘了其中中间的两个数字,他一次就能打开该锁的概率是多少?6.某种“15选5”的彩票的获奖号码是从1-15这15个数字中选择5个数

48、字( 可以重复),若彩民所选择的5个数字恰与获获号码相同,即可获得特等奖, 小明观察了最近100期获奖号码,发现其中竟有51期有重号(同一期获奖号码中有2个或2 个以上的数字相同),66期有连号(同一期获奖号码中有2个或2个以上的数字相邻). 他认为获奖号码中不应该有这么多重号和连号,获奖号码可能不是随机产生的,有失公正. 小明的观点有道理吗?重号的概率大约是多少?利用计算器模拟实验估计重号的概率. 答案:1. 3.0.0384 4.略5-6略.池塘里有多少条鱼 学科：数学 年级：九年级上 教材版本：北师大版课题名称：池塘里有多少条鱼 教材所在页：第170173页一、 简介本节课的主题：以现实

49、生活中估计某个种群的数量为背景，让学生结合具体情境，通过小组实验收集数据，体会抽样的必要性及用样本估计总体的思想，进一步体会概率与统计之间的关系。关键信息：1、教材作为出发点，作为素材来呈现，依据数学课程标准，创造性的开发、使用教材。如：暑假里，小明到叔叔的鱼塘参观游玩，叔叔请小明帮他估计鱼塘里鱼的数目，你能帮小明出个主意吗？以实际生活中的问题为例，引起学生的研究兴趣，显现数学与生活的紧密联系。2、以实验操作汇总数据作为培养学生实验意识的主要途径。分组准备实验材料，若干个大小、形状相同黑白两种颜色的小球（或围棋，跳棋） ，保证实验的随机性，黑球8个，白球数量不限，；创设“组间竞赛”，充分发挥组

50、内同学团队精神，在做中学。为学生营造一个生动活泼、自由发挥的教学环境，争做合作者、组织者，尽力满足学生探究新知、体验新知的需求。二、学习者分析：1、学生的年龄特点和认知特点：初中三年级的学生，在前两年数学知识的学习过程中，已经形成了良好的学习习惯，具备了一定的数学思想，敢于面对数学活动中的困难，能通过观察、实验探索数学活动，积极参与对数学问题的讨论，能从交流中获益。教材“池塘里有多少条鱼”主要通过实验获得数据，分析数据得到实验频率（或样本中某个比值的平均数），以此来估计理论概率。不同的学生会从中实验和交流中获得不同的心得。因此以这种教材内容设置使学生对提出问题、理解问题、和解决问题的应用意识方

51、面有所发展。此外，同学们参与实验是饶有兴趣的，但在实验过程中几乎都会碰到各种问题和困难，学生要在实验过程中，学会从实际出发，通过认真踏实的探究，实事求是地求得结论，并且养成尊重他人的想法和成果的正确态度。同时，不断追求的进取精神、严谨的科学态度、克服困难的意志品质等，也都需要在实验中获得锻炼和发展。2、在学习本课之前应具备的基本知识和技能：学生能够理解抽样调查在现实生活统计中的作用；事件发生的频率与概率之间的关系，能用实验或模拟实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。3、学习者对即将学习的内容已经具备的水平：通过实验活动，在活动中进一步交流合作，获得事件发生的频率，知道大量重复实验时频率可

52、作为事件发生概率的估计值 ；或可用多次抽样求样本中某个量的平均数来估计此量在总体中所占得比值。三、 教学/学习目标及其对应的课程标准：(一)知识与技能1、结合具体情境，初步感受统计推断的合理性。2、进一步体会概率与统计之间的关系，通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。（二）过程与方法1、 给予学生较大的思维空间，让学生亲自参与问题的探讨，获得一定的方案。2、 通过小组实验，收集数据，寻求从不同角度解决问题的方法，学会在与他人交流中获益。（三）情感、态度1、 通过身边熟悉的事例池塘里鱼的数目的探索研究，使学生体会数学与社会的密切联系，了解数学的价值。2、 在解决一系列有趣且富有挑

53、战性的问题的过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的遗志，积极参与数学活动，主动与他人合作交流，发展思维能力，鼓励学生大胆尝试，获得一些研究问题的方法和经验，进一步丰富数学学习的成功体验，激发学生学习数学的热情。四、 教育理念和教学方式：1、教师是学生主体活动的组织者、指导者：在本节的备课和教学过程中，积极引导学生动手实践，自主探索；并与学生积极互动、共同发展。注重培养学生的独立性和自主性，引导学生质疑、实验、探究，在实践中学习，促进学生在教师指导下主动地、富有个性的学习。尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，作学生健康心理、健康品德的促进者、催化剂。

54、通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适，自我选择。认知心理学认为：学习过程是认知结构逐渐形成、完善、丰富和发展的不断建构的过程。学生作为探索问题、发现新知的主体，在教师导向性信息的诱导下主动探究，激发调动学生的求知欲和参与欲，促进学生真正成为主体。 在概率知识的探究教学中，常常需要学生分组观察、实验、讨论和意见综合等合作学习。教师在教学过程中参与师生合作交流，使学生看到问题的不同侧面，对自己和他人的观点进行反思和批判，从而构建起新的和更深层次的理解。同时，使学生发挥自主性和协作性两个积极性，共同获得实验探究的结论。2、采用“问题情景建立模型解析、应用与拓展”的模式展开教学。充分利用现实情景，尽

55、可能增加教学过程的趣味性、实践性，利用多媒体课件和实物模型等丰富学生的学习资源，使学生积极参与小组实验，强调学生的动手操作和主动参与，通过小组实验、统计分析数据，以合作学习促自主探究。3、教学评价方式：（1）注重对学生从事实验活动及数据处理活动的评价，主要评价学参与程度、活动过程中的思维特征及与同学的合作与交流等情况。（2）注重了解学生在活动过程中表现出来的直观经验的合理性和局限性，重视对学生发现问题、解决问题能力的评价。（3）注重评价的主体和方式要多样化，评价时应结合评价内容与学生特点加以选择。教师在日常教学中应多观察学生，特别要观察学生在小组中的表现，学生有创意的想法和实践活动作业，经历的

56、数据整理过程和写出的实验结果汇总，即自己对本章知识的小结，均可放入个人成长记录袋，及时记录学生的成长过程。五、 教学媒体和教学技术选用：本次教学需要教具模型、实物教具和多媒体课件的辅助。教具模型包括黑白两种大小形状相同的小球（自备）及黑白颜色大小形状相同的棋子或小球（学生制作，其中黑球8个）。教具模型、多媒体课件分别在本课的引入、做一做、想一想、感悟与收获等环节中得到应用，它们的使用可以更好的帮助学生分析试验方法，汇总数据，统计试验结果。使学生的学习资源更为丰富，帮助学生更好的体会事件发生概率的意义。六、 教学和活动过程：（一）教学准备阶段：1、准备黑白小球（或棋子），其中黑球8个，要求形状大

57、小都相同及相关多媒体课件以辅助教学 2、学生分组准备实验用的两种颜色的棋子（形状大小相同），让学生在准备时意识到实验的随机性。 （二）整个教学过程叙述：本节课主要为数学教学活动，教材池塘里有多少条鱼共一课时，需45分钟。 需要对学生根据能力分组，分六组每组6人。设组长1名，中心发言人1名，其他人可适时补充，组长主要负责本组同学学习分工合作及处理问题。本节课首先提出一个及为现实的问题情境：估计池塘里鱼的数目，引起学生的兴趣，但是此问题对学生有较高的思维要求，因此引导鼓励学生回顾摸球游戏，借助准备的材料实际模拟操作、，先动手、后思考，问题的难点处理利用多媒体逐步过渡。具体教学过程设计如下，大体分为五个板块来完成：第一板块：1、多媒体展示一幅优美的图片：一群鱼在池塘里游弋 小明假期到叔叔的鱼塘参观游玩，叔叔告诉他春季放养了一批鱼苗，还有两个月就收获了，现在想知道池塘里鱼的大概数目，你能帮助小明解决这个问题吗？ 【说明：以情境引入课题，使学生初步感知数学与生活的紧密联系。给学生较大的思维空间，让学生对此问题展开讨论。】2、引导学生解决一个较简单的问题： 我现在口袋里有8个黑球和若干个白球，如果不允许打开袋子看，也