第四章正常纸张
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1、【精品文档】如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流第四章(正常纸张).精品文档.第四章 力学量的算符表示4.1 设、为矢量算符,其直角坐标系分量为等等。、的标记和矢积定义为等等。试验证下列各式: 与余作东同学讨论得出:其实是个标量,然后再由分开证式左端写成分量形式为其中为Levi-Civita符号,即 ,有两个或三个相同式右端写成分量形式为故得 验证式,以第一分量为例,左端为相等,得证而式右端第一分量为验证式,以第一分量为例,左端为而式右端第一分量为式和有时可以写成下列矢量形式:、对易、对易与间联线表示和取标积。(但是的位置在、之间。)如果、互相对易,上两式就可以写成这正是经典物理中的三重矢
2、积公式4.2 设、为矢量算符,为标量算符,证明证式右端等于 得证式右端等于 得证4.3 以、表示位置和动量算符,为轨道角动量算符,为由、构成的标量算符。证明 证利用对易式以及题4.2式 得证4.4 计算、。解利用对易式【如上题所证的,可以是的函数】即得最后,利用对易式电动力学,郭硕鸿,电子书,p454.5 定义径向动量算符试求其球坐标表达式,并求及。解在经典力学中,径向动量就是动量的径向投影,定义为过渡到量子力学,动量算符为由于和不对易,为了保证径向动量算符是Hermite算符,应取利用,易得利用,容易算出4.6 证明 证选一个分量证明即可,选:利用基本对易式即得因此其次,由于和对易,所以因此
3、4.7 证明 计算或和及的标积【即: 】证利用题4.1证明过的三重积公式 以及等基本对易式,即得当、为Hermite算符,即 容易验证因此,式取共轭,即得 类似地,可证取共轭即得 【对其共轭,【对其共轭,的另一种证明其中等是对易的4.8 证明,进而再证明证【的证明,【其中,此即要证明的第一个公式,其中因而4.9 化简和的证明4.10 证明【的证明,】【曾谨言,量子力学卷一,p191,是三维转动的无穷小算符,而是转动下的标量,所以不要忘记,和对易。因为】4.11 证明 证搞清楚这种形式的实质!【】类似地,可得【的证明,【注意,和对易。】4.12 证明 目标应该向两个存在的三个乘利用公式将两个靠近
4、,这样的好处是和能对易与对易4.13 证明证取分量加以证明因此类似地,可得到分量和分量的公式。4.14 对于任何两个代表不同状态的态矢量余作东同学说,不代表两个本征态,即是两个波函数及(未归一化),试证明下列Schwarz等式:证一令并令由于代表不同状态,所以,?,即所以亦即证二对于任何复数,显然有但因代入上式,即得令4.15 利用Schwarz不等式证明测不准关系式。证对于任何归一化的态矢量和Hermite算符及实参数!,作则为Hermite算符分析式子为实数其中平均值都是都是对态而言。注意均为实数厄米算符在任意状态下的平均值为实数,也可以说厄米算符的本征值为实数。根据上题证明的Schwar
5、z不等式,应有等号成立的条件为代表同一个状态,即由,即得其中由于为Hermite算符,为实数。在式中,取如,取负值;如,取正值。以式代入式即得测不准关系式:等号成立的条件为,即为的本征态。4.16 设为正定曾谨言,量子力学教程第二版,p164,为正定厄米算符,的本征值为非负实数,的Hermite算符,、为任意态矢量,证明证如;或,命题显然成立。一下只讨论及均不为0的情形。由于是正定的,必有对于任何复数,作则由于是正定的,应有,即取代入上式这正是所要证明的。等号成立的条件为或或,即例如(为常数)就属于这种特例。如的本征值谱中不包含0,则式中等号能够成立的条件是,即。4.17 证明:为了保证是Herimite算符,波函数必须满足单值性条件证作为Herimite算符,对于任意两个波函数和,应有(积分范围为全空间)如取,与无关,则,因此即由于被积函数的、部分有任意性,因此必须由于的方向可以任意选择,故上式亦即此即单值性条件。
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