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1、题型七题型七 几何图形探究题几何图形探究题类型一类型一 几何图形旋转探究几何图形旋转探究类型二类型二 几何图形动点探究几何图形动点探究类型三类型三 几何图形背景变换探究几何图形背景变换探究类型一类型一 几何图形旋转探究几何图形旋转探究典例精讲例 1 如如图图，等边，等边ABC中，中，CE平分平分ACB，D 为为BC边上一点，且边上一点，且DECD，连接，连接BE.(1)(1)若若CE4，BC6 ，求线段，求线段BE的长；的长；(2)(2)如图如图，取，取BE中点中点P，连接，连接AP、PD、AD，求证：，求证：APPD且且AP PD；(3)(3)如图如图，把图，把图中的中的CDE 绕点绕点 C
2、 顺时针旋转任顺时针旋转任33意角度，然后连接意角度，然后连接BE，点，点P为为BE中点，连接中点，连接AP，PD，AD，问第，问第(2)问中的结论还成立吗？若成立，问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由请证明；若不成立，请说明理由(1)【思维教练思维教练】已知已知CE、BC的值的值，且且CE平分平分ACB，要求要求BE的长，则想到过点的长，则想到过点E作作BC的垂线构造直角三角形，的垂线构造直角三角形，运用勾股定理即可求解运用勾股定理即可求解解解：如解图如解图，过点过点E作作EGBC于于G，ABC是等边三角形是等边三角形，ACB60，CE平分平分ACB，例例1题解图题解图B
3、CE30，在在RtCEG中中，CE4，ECG30，EG2，CG2 ，BGBCCG4 ，在在RtBEG中，由勾股定理得中，由勾股定理得BE =.3322BGEG22(4 3)22 13例例1题解图题解图(2)【思维教练思维教练】要证要证APPD且且APPD，则只需证则只需证明明PAD30，APD90，ADP60，进进而可想到构造全等三角形，可延长而可想到构造全等三角形，可延长DP到到H，使使PHPD，连接连接AH，BH，证明证明AHD为等边三角形，便为等边三角形，便可利用等边三角形的性质求解可利用等边三角形的性质求解证明证明：如解图如解图，延长，延长DP到到H，使使PHPD，连连接接AH，BH，
4、P是是BE的中点，的中点，BPPE，在在BPH和和EPD中中，BPHEPD(SAS)，例例1 1题解图题解图PHPDHPBDPEBPEP PHBPDE，BHDE，BHDE，BHDEDC，HBDBDE180，BDE60，DBH120，HBA60，在在ABH和和ACD中中例例1 1题解图题解图HBDCHBADCAABAC ABHACD(SAS)，AHAD，HABDAC，HADBAC60，AHD是等边三角形是等边三角形，又又DPHP，APPD且且AP PD.3例例1 1题解图题解图(3)【思维教练】【思维教练】辅助线作法同辅助线作法同(2)(2)，延长延长DP到到M，使使DPPM，连接连接BM，AM
5、，证明证明AMD为为等边三角形即可进而只需证得等边三角形即可进而只需证得AMAD，MAD60即可，想到即可，想到AM、AD分别在分别在AMB和和ADC中，且中，且ABAC，则只需证明则只需证明AMBADC即可，再结合已知即可，再结合已知P为为BE、MD中点中点，CDDE，延长，延长ED交交BC于于N，便可求证便可求证 解解：成立成立 证明：如解图证明：如解图，延长延长DP到到M，使得使得PMPD，连连 接接AM、BM，延长延长ED交交BC于于N，在在BPM和和EPD中中，BPMEPD(SAS)，BMED,MBPDEP，例例1 1题解图题解图BPPEBPMEPDPMPD BMEDCD，BMDE，
6、MBNENC.又又NDC180CDE60，ACN60，则则NDCACN60，DNC180ACNACDNDC60ACD；MBNABCABM60ABM，ABMACD，在在ABM和和ACD中中，例例1 1题解图题解图 ABAC ABMACD BMCDABMACD(SAS)，AMAD，BAMCAD，MADBAC60，AMD是等边三角形，是等边三角形，又又DPPM，APPD且且AP PD.3例例1 1题解图题解图类型二类型二 几何图形动点探究几何图形动点探究典例精讲例 2 在等腰在等腰RtABC中，中，ABAC，BAC90，点，点D是斜边是斜边BC的中点，点的中点，点E是线段是线段AB上一上一动动点点(
7、点点E不与不与A、B重合重合)，连接，连接DE，作，作DFDE交交AC于点于点F，连接，连接EF.(1)如图如图，如果，如果BC4，当，当E是线段是线段AB的中点时，的中点时，求线段求线段EF的长；的长；(2)如图如图，求证：，求证：BC (AEAF)；(3)如图如图，点，点M是线段是线段EF的中点，连接的中点，连接AM，在，在线段线段AB上是否存在点上是否存在点E，使得，使得BC4AM？若存在，？若存在，求求EAM的度数；若不存在，请说明理由的度数；若不存在，请说明理由2(1)【思维教练】要求【思维教练】要求EF的长，已知点的长，已知点D、E分别为分别为BC、AB的中点，且的中点，且FDE9
8、0，可想到运用中位可想到运用中位线的知识，只需证明线的知识，只需证明F为为AC的中点即可的中点即可证明证明：点点D、E分别是分别是BC、AB的中点的中点，DEAC，又又DFDE，FDEAFD90，BAC90，DFAB，点点F是是AC的中点的中点，EF是是ABC的中位线的中位线，EF BC2.12(2)(2)【思维教练】要证【思维教练】要证BC (AEAF)，观察图形观察图形可得，可得，BC AC，则只需证得则只需证得AECF即可，已知即可，已知D为为BC中点，想到连接中点，想到连接AD，证明证明ADECDF即可即可22解解：如解图如解图，连接，连接AD，点点D是等腰是等腰RtABC斜边的中点斜
9、边的中点，AD BCCD，EAD BAC45，ADBADC90，1212例例2题解图题解图C45，EADC，ADEADF90，CDFADF90，ADECDF，在在ADE和和CDF中中，EADC ADECDF ADCDADECDF，AEFC，BC AC (FCAF)(AEAF)222例例2题解图题解图（3）【思维教练思维教练】假设存在点假设存在点E，使使BC4AM，进而进而求出满足等号成立的情况，从而可求出求出满足等号成立的情况，从而可求出EAM的值的值解解：在线段在线段AB上存在点上存在点E，使得使得BC4AM.如解图如解图，连接，连接AD、DM，BC4AM，BC2AD，AD2AM，在在RtE
10、AF和和RtEDF中，中，M是是EF的中点的中点，AMDM EF，12例例2 2题解图题解图AMDMAD，2AMAD，即即4AMBC，显然只有显然只有AM和和AD共线时共线时，2AMAD，4AMBC才成立才成立，此时此时EAM45.例例2 2题解图题解图类型三类型三 几何图形背景变换探究几何图形背景变换探究典例精讲例3(2016重庆一中半期考试重庆一中半期考试)在在ABC中，中，ABAC，D为射线为射线BC上一点，上一点，DBDA，E为射线为射线AD上一点，且上一点，且AECD，连接，连接BE.(1)如图如图，若，若ADB120，AC ，求，求DE的长；的长；(2)如图如图，若，若BE2CD，
11、连接，连接CE并延长，交并延长，交AB于点于点F，求证：求证：CE2EF；3(3)如图如图，若，若BEAD，垂足为点，垂足为点E，求证：，求证：AE2 BE2 AD2.1414(1)【思维教练】要求【思维教练】要求DE的长，需知的长，需知AD与与AE的长，的长，已知已知ADB120，ABAC，DBDA，可判定可判定ACD为直角三角形，结合已知为直角三角形，结合已知AECD，AC ，利用三角函数可求得利用三角函数可求得AD与与AE的长，进而的长，进而可得可得DE的长的长3解解：DBDA，ADB120，DBADAB30，ADC60，又又ABAC，CDBA30，CAD90，ADACtan301，CD
12、 2，AECD，AE2.DEAEAD1.sin30AD(2)(2)【思维教练】要证【思维教练】要证CE2EF，只需得到一条线只需得到一条线段等于段等于CE且正好等于且正好等于EF的的2 2倍即可倍即可证明证明：如解图如解图，过点，过点A作作 AGBC交交CF延长线于延长线于点点G，DBDA，ABAC，2ABC，ABCACB.2ACB.又又AECD，ABECAD，BEAD.例例3题解图题解图BE2CD，AD2CD2AE.即即AEDE.AGBC，GDCE，GAECDE，AGEDCE，GECE，AGDCAE，即即AGE为等腰三角形为等腰三角形，AGBC，1ABC，2ABC，12，F为为GE的中点的中
13、点，CEGE2EF.例例3题解图题解图（3）【思维教练】由所证结论是三条边的平方和【思维教练】由所证结论是三条边的平方和关系可联想到用勾股定理，结合关系可联想到用勾股定理，结合 BE2(BE)2可可知要取知要取BE的中点的中点M，而此时在而此时在RtAME中只有当中只有当AM AD时，关系式才成立，从而只需证明时，关系式才成立，从而只需证明AM AD即可，进而想到延长即可，进而想到延长AM至至N，使使M为为AN中中点，即证明点，即证明ANAD即可即可12141212证明：证明：取取BE中点中点M，延长延长AM至点至点N，使使MNAM，连连接接BN、EN，如解图如解图，四边形四边形ABNE为平行四边形为平行四边形，AEBN，1D.ABAC，DBDA，ABCACBBAD，又又BAC180ABCACB，D180BADABD，例例3 3题解图题解图BACD1.ABN1ABC，ACDBACABC，ABNACD.BNAECD，ABAC，ABNACD，ADAN2AM.BEAD，AE2ME2AM2，即即AE2(BE)2(AN)2，AE2 BE2 AD2.14121414例例3 3题解图题解图
数学 第二部分题型七 几何图形探究题
