历届“希望杯”全国数学邀请赛100题精选(高二)

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1、历届“希望杯”全国数学邀请赛100题精选（高二）题1、已知的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）题2、设，且恒成立，则的最大值为 （ ）A、2 B、3 C、4 D、5 （第十一届高二第一试第7题）题3、设实数满足，则的最大值为 （ ） A、 B、 C、 D、（第十一届高二培训题第5题）题4、对于的一切实数，使不等式都成立的实数的取值范围是 . （第十三届高二培训题第63题）题5、当时,不等式恒成立,则的最大值是_. (第十一届高二培训题第45题)题6、已知，设，那么的大小关系是 （ ）A、 B、 C、 D、 （第八届高二第一试第10题）题7、已知，不等式的解是 .（第三届高二第二试第1

2、3题）题8、不等式 的解集是 ,实数的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)题9、不等式的解集是 （ ）A、 B、C、 D、（第十三届高二第二试第8题）题10、不等式的解集是 . （第十一届高二培训题第41题）题11、使不等式的解是的实数的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、（第十一届高二第一试第6题）题12、已知是正数，并且，求证. (第十届高一培训题第74题)题13、设，是实数，且满足，证明不等式.（第十届高二第二试第22题）题14、已知，并且，求证：. （第一届备选题）题15、求所有的正实数，使得对任意实数都有 （第十一届高二第二试第23题）题16、函数的最小值为 (

3、 ) A、-1 B、1 C、-2 D、2 （第七届高一培训题第2题）题17、已知，且，则的最小值是 （ ）A、5 B、6 C、8 D、9（第十一届高二第二试第9题、高二培训题第14题）题18、设为正实数，为常数，且,则的最小值为_.（第十一届高二培训题第36题）题19、如果，那么的最大值是_ （第八届高二第一试第19题）题20、若，并且，则的取值范围是 （ ）A、 B、 C、 D、（第九届高二第一试第10题）题21、若，且，则的最小值是 .（第一届高二第一试第20题）题22、已知，且，则的最小值是 . (第八届高二培训填空题第6题)题23、设，且，则的最大值是 ，最小值是 （第六届高二培训解答

4、题第2题、第八届高二第一试第23题）题24、若，则的最大值是（第十三届高二培训题第68题）题25、函数的最大值是 （第九届高二培训题第43题）题26、函数的值域是. （第十一届高二培训题第46题）题27、设，则的最小值是 （第九届高二培训题第53题）题28、，则s的整数部分是 （）A、C、D、（第八届高二第二试第题）题 29、求函数的最小值和取最小值时的值 （第十三届高二培训题第81题）题30、函数的最大值是 ,最小值是 .(第十四届高二第二试第16题)题31、已知，求函数的最大值.（第九届高二培训题第61题）题32、已知，且，则的最小值是.（第十届高二培训题第44题）题33、实数，满足方程，

5、则的最大值与最小值的和等于_. （第十届高二第二试第17题）题34、线段AB的端点坐标是A（-1，2），B（2，-2），直线y=kx+3与线段AB相交的充要条件是 （ ）A、 B、 C、且k0 D、（第八届高二培训题第2题）题35、过点且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 .(第十届高二第一试第18题)题36、某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A、B、C、D的数量分别为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A、B、D的数量分别为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A、B、C、D四种原材料分别为80吨、80吨、60吨、70吨

6、.若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元.要想获得最大利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品 吨，期望的最大利润是 百万元. （第十三届高二第一试第25题）题37、点M是圆内圆心以外的一点，则直线与该圆的位置关系是 （ ）（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）相切或相交 （第七届高二第一试第5题）题38、过圆与圆的交点的直线方程是 . （第二届高二第二试第15题）题39、若实数、适合方程，那么代数式的取值范围是 . （第九届高二第一试第17题）题40、圆上任意一点都使不等式成立，则C的取值范围是 （ ）A、 B、 C、 D、 （第七届高二第一试第10题）题41、E、F是椭圆的左、右

7、焦点，l是椭圆的准线，点，则的最大值是 （ ） A、15 B、30 C、45 D、60 （第十三届高二培训题第21题）题42、椭圆的两焦点是、，M为椭圆上与、不共线的任意一点，I为的内心，延长MI交线段于点N，则的值等于 ( ) A、 B、 C、 D、（第十三届高二培训题第19题）题43、过椭圆左焦点作直线交椭圆于两点，若，且直线与长轴的夹角为，则椭圆的离心率为 （ ） A、 B、 C、 D、 （第十一届高二第一试第8题）题44、如果点A的坐标为(1,1)，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，则的最小值为_. （第十一届高二培训题第66题）题45、设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使，则椭

8、圆离心率的范围是_. （第十二届高二第一试第20题）题46、是椭圆的两个焦点， 是椭圆上任意一点，则的最小值是. （第七届高二第一试第19题）题47、是椭圆的焦点，是椭圆上的一点，且，则的面积是 . （第四届高二第一试第30题）题48、椭圆的内接三角形的最大面积是. （第九届高二第二试第20题）题49、RtABC中，AB=AC，以C点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在边AB上，且椭圆过A，B两点.求这个椭圆的离心率. （第二届高二第二试第21题）题50、设点是椭圆的左焦点，弦过该圆的右焦点，试求的面积的最大值. （第六届高二第二试第21题）题51、Let point M move

9、along the ellipse ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is . (ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)（第十四届高二第二试第18题）题52、已知双曲线关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k的值等于 （ ）A、 B、 C、 D （第十五届高二培训题第19题）题53、是双曲线的左、右焦点，两点在右支上，且与在同一条直线上，则的最小值

10、是_. （第四届高二第二试第15题）题54、方程表示的曲线是 ( )A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线（第十二届高二培训题第23题）题 55、已知，则动点A与点B（1，0）的距离的最小值是_.（第七届高二第一试第23题）题56、抛物线上到直线的距离最小的点的坐标是（第九届高二培训题第27题）题57、在抛物线上恒有两点关于直线对称,则的取值范围是 . (第十五届高二培训题第71题)题58、抛物线的一条弦的倾斜角是,弦长是,那么这种弦都经过一定点,该定点是 （第十三届高二培训题第73题）题59、长为的线段AB的两端在抛物线上滑动，则线段AB的中点M到轴的最短距离等于 . （第13届高二第二

11、试第20题）题60、动圆过定点且与定圆相切，那么动圆的中心的轨迹是 （ ）A、圆 B、圆，或椭圆C、圆，或椭圆，或双曲线 D、圆，或椭圆，或双曲线，或直线（第三届高二第二试第10题）题61、设直线都是平面直角坐标系中椭圆+=的切线，且，、交于点P，则点P的轨迹方程是 （第十二届高二培训题第47题）题62、已知曲线C上任意一点到定点A（1，0）与定直线的距离之和等于5.对于给定的点，在曲线上恰有三对不同的点关于点对称，求的取值范围.（第十二届高二第二试第23题）题63、已知kR，关于x,y的方程y4+4y3+(2x+2kx-kx2)y2+8xy+(4kx2-2kx3)=0表示一组曲线，其中有一条

12、是固定的抛物线，试讨论k值与曲线形状的关系. （第三届高二第二试第21题）题64、已知点和直线，动点到的距离与到的距离之和为4.(1)求点的轨迹;(2)过A作倾斜角为的直线与交于，两点,设，求的解析式.（第十二届高二培训题第78题）题65、已知定点M（-3,0），P和Q分别是y轴及x轴上的动点，且使MPPQ，点N在直线PQ上，分有向线段的比为.（1）求动点N的轨迹C的方程；（2）过点T（-1,0）作直线与轨迹C交于两点A，B，问在x轴上是否存在一点D，使ABD为等边三角形；若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.（第十五届高二培训题第80题）题66、已知异面直线a与b所成角为，P为空间一点，

13、过点P作直线l使l和a，b所成角相等，此等角记为，则直线l的条数构成的集合为 .（第十五届高二培训题第38题）题67、空间给定不共面的四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是 （ ）A、15 B、23 C、26 D、32 （第三届高一第二试第6题）题68、O为空间一点，射线OA、OB、OC交于点O，AOB=BOC=，COA=，则二面角A-OB-C的平面角的余弦函数值是_. （第五届高一第一试第15题）题69、在四面体ABCD中，面BAC、CAD、DAB都是以A为顶点的等腰直角三角形，且腰长

14、为.过D作截面DEF交面ABC于EF，若EFBC，且将四面体的体积二等分，则面DEF与面BCD的夹角等于. （第十三届高二第二试第19题）DABECFGP题70、如图，四边形是矩形，面，其中.若在上存在一点，使得.试求的范围，及有且只有一个满足条件的点时，二面角的大小. (第十四届高二培训题第78题)题71、ABC是边长为1的正三角形，PA平面ABC，且PA=，A点关于平面PBC的对称点为A，求直线AC与AB所成角的余弦值. （第九届高一第二试第22题）题72、已知正方体的棱长为，它的体对角线和与它不共面的面对角线之间的最小距离等于_. (第十五届高二培训题第49题)题73、点在所在的平面外，

15、则到平面的距离的最大值是_.（第二届高一第一试第30题）ABCDEFGHP题74、如图，ABCD-EFGH是单位正方体，P是AF上的动点，则GP+PB的最小值是 （第十二届高一第一试第20题）题75、以四个全等的正三角形为面拼合成的空间图形叫正四面体.正三角形边长叫正四面体的棱长.设正四面体棱长为1.求互为异面的正三角形的中线（所在直线）间的距离.（可使用下面的结论：正四面体ABCD中，A到面BCD的距离为d，面BCD的面积为S，则四面体ABCD的体积V=）（第八届高一培训解答题第3题）题76、四面体中，分别在棱上，且则两点到过的平面的距离之比为_.（第十届高一培训题第38题）题77、在棱长为

16、的正四面体内任取一点，到四面体四个面的距离分别记为，则. （第三届高二第一试第16题）题78、某水准仪是封闭的正四面体,体内装有水,当正四面体的一个面放置于水平地面时, 体内水面高度为体高的，现将它倒置，此时水的高度是体高的 （第十一届高一第一试第20题）题79、正四面体，点、分别在棱，上，且.过、三点的平面将四面体分成两部分，这两部分的体积比为（取较小部分与较大部分的体积之比） （第十三届高二培训题第75题）题80、正四面体的侧面三角形的高线中，其“垂足”不在同一侧面上的任意两条所成角的余弦值是 （ ） （第十二届高二第二试第3题）题81、过正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、BC的中点

17、E、F作一个截面，使截面与底面ABCD所成的角为450，则此截面的形状为 （ ）A、 三角形或五边形 B、三角形或六边形 C、六边形 D、三角形或四边形（第六届高一第二试第5题）题82、正方体中，为的中点，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是 （ ）A、 B、 C、 D、 (第十五届高二第二试第9题)题83、多面体表面上三个或三个以上平面的公共点称为多面体的顶点，用一个平面截一个n棱柱，截去一个三棱锥，剩下的多面体顶点的数目是 （ ）A、 B、 C、 D、（第四届高一第二试第10题）题84、在长方体中，, 过的截面的面积为，求的最小值，并指出当取最小值时截面的位置（即指出截面与有关棱的交点的位

18、置）. （第五届高一第二试第22题）题85、从凸四边形的对角线交点作该四边形所在平面的垂线段，使，若.当最小时，的形状是.（第十四届高二培训题第67题）ACBEDBB1A1C1题86、正三棱柱ABCA1B1C1底面的边长和高都是2cm，过AB 作一个截面，截面与底面ABC成600角，则截面的面积是 .（第六届高一第一试第30题）题87、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是AA1的中点，则BC1与CD所成的角是 ，面BCD与面CDB1所成二面角等于 .（第十一届高二第一试第22题）A1BCA1B1C1PQM题88、如图，设是直三棱柱，分别是，的中点.点在上且.如果，则与所成的角

19、等于（ ）A、 B、 C、 D、（第十三届高二第一试第题）题89、在三棱锥中，两两垂直，则 （ ）、一定是锐角 、一定不是锐角、一定是钝角 、一定是直角（第八届高二培训题第3题）题90、图1是以4个腰长为1的等腰直角三角形为侧面的棱锥，其中的四个直角是 ，求棱锥的高. （第十届高一第二试第22题）题91、三棱锥中，为底面内的一点，则的余弦值为_.（第九届高一第二试第20题）题92、有一个侧棱都是的三棱锥，顶点处的三个面角中，有两个都是，另一个是.将该棱锥的体积表示成的函数并求出当取什么值时，达到最大或最小.（第二届高一第二试第21题）题93、设为正三棱锥的底面内的任意一点，过引底面的垂线与这棱

20、锥的三个侧面所在平面分别交于三点，若正三棱锥的高为2.试求的长.（第十二届高一培训题第81题）题94、There are two travel projects from Beijing to Santiago, Chile: (A)Flying westward(向西) to New York, then flying southward to Santiago; (B) Flying southward from Beijing to Friemander, Australia , then flying westward to Santiago. The geographic posit

21、ions of these four cities may be approximately considered as: Beijing (1200 east longitude, 400 north latitude ), New York (700 west longitude , 400 north latitude ), Friemander (1200 east longitude, 300 south latitude) , Santiago(700 west longitude , 300 south latitude ).Suppose that the air lines

22、go along the spherical distance , then the project of the shorter distance is _. （第十三届高二第一试第20题）ABCDP题95、如图所示，矩形中，为上的任一点，以所在直线为轴，将旋转而成一个旋转体，求旋转体表面积的最大值，并指出当表面积最大时点位置. （第十一届高一培训题第79题）题96、ABCD是一个正方形，M为AB上一点，N为BC上一点，且AM=BN.连DM、DN分别交对角线AC于点P、Q，剪掉MNB.求证：以DM、DN为折痕，将DA与DC重合，可以构成一个三棱锥的侧面.以线段AP、PQ、QC为边恰可构成一个

23、内角为600的三角形.（第一届高一第二试第五题）题97、正的边长为，用任意直线截与两边交于，将沿折起作成二面角，由此可形成四棱锥，求此四棱锥的最大体积，并证明之.（第十二届高二培训题第77题）题98、给定一个三角形纸片（如图），你能否用它为原料剪拼成一个正三棱柱（正三棱柱的全面积等于原三角形的面积）？说明你的方法.这里“剪拼”的意思是：依直线剪裁，边对边拼接. （第十四届高二第二试第22题）题99 设在空间给出了20个点.其中某些点涂黄色，其余点涂红色.已知在任何一个平面上的同种颜色的点不会超过三个.求证：存在一个四面体，它的四个顶点同色，并且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点. （第一届高一

24、第二试第四题）题100、用四个边长分别为， 的锐角三角形可以拼成一个四面体.把拼成的任何一个四面体的各棱用红、黄、蓝三色染色，每条棱染一色，每种色染两条棱，考虑一切经过这样染色的四面体，如果经过适当转动，两个染色四面体完全重合，并且重合的对应棱同色时，称这样的两个四面体是同一染色类.问：所有这样的染色四面体可分为几种染色类？ （第四届高一第2试第22题）参考答案：1、 2、C 3、D 4、 5、2 6、D 7、或8、 9、A 10、，3 11、B 1214、略 15、 16、B17、D 18、 19、 20、C 21、 22、9 23、， 24、16025、1 26、 27、702 28、B

25、29、时, 取得最小值12 30、，231、 32、18 33、24 34、D 35、3 36、 37、C 38、，其中为参数 39、 40、C 41、B 42、B 43、B 44、 45、46、1 47、 48、 49、 50、 51、译文：点M是椭圆上一点，点F是椭圆的右焦点，点P（6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是3，此时点M的坐标是（，2）. 52、B 53、 54、C 55、1 56、 57、58、（1，0） 59、 60、D 61、 62、 6365、略 66、67、D 68、 69、 70、， 71、0 72、73、 74、 75、或 76、 77、 78、 79、80

26、、C 81、B 82、B 83、B 84、 85、当时，是平行四边形，当时，是梯形 86、 87、900，88、A 89、A 90、 91、 92、当时，最大 93、694、译文:从北京前往智利的圣地亚哥,有两种旅行方案可供选择.方案(A):由北京向西飞抵纽约，再向南飞抵圣地亚哥; 方案(B):由北京向南飞抵澳大利亚的弗里曼特尔,再向西飞抵圣地亚哥.上述4个城市的地理位置可近似看作:北京(东经1200,北纬400),纽约(西经700,北纬400), 弗里曼特尔(东经1200,南纬300), 圣地亚哥(西经700,南纬300). 假设飞机航线都是球面距离,那么飞行距离较短的方案是A.95、，此时与或重合 96、略 97、9899、略 100、考虑到按逆时针方向排布的四面体，共有种.