高考数学大一轮复习-14.1几何证明选讲教师用书-理-苏教版

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1、14.1几何证明选讲1平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等(2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的相应线段成比例2相似三角形的鉴定与性质(1)相似三角形的鉴定定理两角相应相等的两个三角形相似；两边相应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边相应成比例的两个三角形相似(2)相似三角形的性质定理相似三角形的相应线段的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方3直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的

2、乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积4圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数(3)切线的鉴定与性质定理切线的鉴定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线切线的性质定理圆的切线垂直于通过切点的半径(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等(5)弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半(6)相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点提成的两条线段长的积相等(7)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(8)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条

3、切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项(9)圆内接四边形的性质与鉴定定理圆内接四边形鉴定定理()如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；()如果四边形的一种外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆圆内接四边形性质定理()圆内接四边形的对角互补；()圆内接四边形的外角等于它的内角的对角1(广东)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则_.答案9解析在平行四边形ABCD中，由于EB2AE，因此，故3.由于AECD，因此AEFCDF，因此()29.2.如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，点E，F分别为

4、线段AB、AD的中点，则EF_.答案3(湖北)如图，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交O于C，D两点若QC1，CD3，则PB_.答案4解析由切割线定理得QA2QCQD4，解得QA2.由切线长定理得PBPA2QA4.4如图所示，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_答案解析设O的半径为r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延长PO交O于点C，则PCPOr3r.设PO交O于点D，则PD3r.由圆的割线定理知，PAPBPDPC，13(3r)(3r)，9r23，r.题型一相似三角形的鉴定及性质例1如图，已知在ABC中，

5、点D是BC边上的中点，且ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的长(1)证明DEBC，D是BC边上的中点，EBEC，BECD，又ADAC，ADCACD，ABCFCD.(2)解过点A作AMBC，垂足为点M，ABCFCD，BC2CD，()24，又SFCD5，SABC20，又SABCBCAM10AM20，解得AM4，又DEAM，DMDC，BMBDDM5，解得DE.思维升华(1)三角形相似的证明措施诸多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的措施一般的思考程序：先找两对内角相应相等；若只有一种角相应相等，再鉴定这个角

6、的两邻边与否相应成比例；若无角相应相等，就要证明三边相应成比例(2)证明等积式的一般措施是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需运用相似三角形的性质证明如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，DECA，且交BA的延长线于E，求证：EDCDEABD.证明在梯形ABCD中，ABDC，ABCDCB.又BCBC，ABCDCB.BACBDC，ACED，ADBC，EBACBDC，EADABCDCB，EADDCB.，即EDCDEABD.题型二直角三角形的射影定理例2如图，在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC.解在ABC中，设AC为x，ABAC，AFBC.又F

7、C1，根据射影定理，得AC2FCBC，即BCx2.再由射影定理，得AF2BFFC(BCFC)FC，即AF2x21，AF.在BDC中，过D作DEBC于E.BDDC1，BEECx2.又AFBC，DEAF，DE.在RtDEC中，DE2EC2DC2，即()2(x2)212，1.整顿得x64，x，即AC.思维升华(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的措施如图所示，在ABC中，CAB90，ADBC于D，BE是ABC的平分线，交AD于F，求证：.证明由三角形的内角平分线定理得，在ABD中，在ABC中，在RtAB

8、C中，由射影定理知，AB2BDBC，即.由得：，由得：.题型三圆的切线的鉴定与性质例3如图，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB，且AD2，AE6.(1)判断直线AC与BDE的外接圆的位置关系；(2)求EC的长解(1)取BD的中点O，连结OE.BE平分ABC，CBEOBE.又OBOE，OBEBEO，CBEBEO，BCOE.C90，OEAC，直线AC是BDE的外接圆的切线，即直线AC与BDE的外接圆相切(2)设BDE的外接圆的半径为r.在AOE中，OA2OE2AE2，即(r2)2r262，解得r2，OA2OE，A30，AOE60.CBEOBE30，ECBEr

9、23.思维升华证明直线是圆的切线的措施：若已知直线通过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径(广东改编)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BCCD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB6，ED2，求BC的长解C为BD中点，且ACBC，故ABD为等腰三角形ABAD6，因此AE4，DE2.又，因此AC2AEAD4624，AC2，在ABC中，BC2.题型四与圆有关的比例线段例4(课标全国)如图，P是O外一点，PA是

10、切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.证明(1)连结AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA.由于PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，因此DACBAD，从而.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.由于PAPDDC，因此DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，因此ADDE2PB2.思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几种核心内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等(2)相交弦定理、切割线定理重要用于与圆

11、有关的比例线段的计算与证明解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等有关知识的综合应用如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2PAPC；(2)若O的半径为2，OAOM，求MN的长(1)证明连结ON，则ONPN，且OBN为等腰三角形，则OBNONB，PMNOMB90OBN，PNM90ONB，PMNPNM，PMPN.根据切割线定理，有PN2PAPC，PM2PAPC.(2)解OM2，在RtBOM中，BM4.延长BO交O于点D，连结DN.由条件易知BOMBND，于是，即，BN6.MNBNBM642.与圆有

12、关的几何证明问题典例：(10分)如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.思维点拨(1)连结AF，运用平行关系构造平行四边形可得结论；(2)先证BCD和GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可规范解答证明(1)由于D，E分别为AB，AC的中点，因此DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，因此CFBDAD.而CFAD，连结AF，因此四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.5分由于CFAB，因此BCAF，故CDBC.6分(2)由于FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，因此GBBD

13、，因此BGDBDG.8分由BCCD知CBDCDB，又由于DGBEFCDBC，因此BCDGBD.10分解决与圆有关的比例线段的常用思路：(1)运用圆的有关定理；(2)运用相似三角形；(3)运用平行线分线段成比例定理及推论；(4)运用面积关系等温馨提示(1)解决几何证明问题需用多种鉴定定理、性质定理、推理和既有的结论，要熟悉多种图形的特性，运用好平行、垂直、相似、全等的关系，合适添加辅助线和辅助图形，这些知识均有助于问题的解决(2)证明等积式时，一般转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似此外也可运用平行线分线段成比例定理来证明(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要根据，解题时应根

14、据需要添加辅助线构造所需要的角(4)圆内接四边形的性质也要纯熟掌握，运用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似发明了条件.措施与技巧1证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形与否相似，若不相似，则进行线段替代或等比替代2圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比由于圆幂定理波及圆中线段的数量计算，因此应注意代数法在解题中的应用失误与防备1在应用平行截割定理时，一定要注意相应线段成比例2在解决相似三角形时，一定要注意相应角和相应边，否则容易出错.A组专项基本训练(时间：50分钟)1如图，ABC中，BFAC于点F，CEAB于点E

15、，BF和CE相交于点P，求证：(1)BPECPF；(2)EFPBCP.证明(1)BFAC于点F，CEAB于点E，BFCCEB90.又CPFBPE，CPFBPE.(2)由(1)得CPFBPE，.又EPFBPC，EFPBCP.2.如图，ABC中，BAC90，ADBC交BC于点D，若E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F，求证：.证明E是RtADC斜边AC的中点，AEECDE.EDCECD，又EDCBDF，EDCCBDF.又ADBC且BAC90，BADC，BADBDF，DBFADF.又RtABDRtCBA，因此.3(江苏)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点证明：OCBD

16、.证明由于B，C是圆O上的两点，因此OBOC.故OCBB.又由于C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故B，D为同弧所对的两个圆周角，因此BD.因此OCBD.4(江苏)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC通过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD.证明连结OD.由于AB和BC分别与圆O相切于点D，C，因此ADOACB90.又由于AA，因此RtADORtACB.因此.又BC2OC2OD，故AC2AD.5.如图所示，平行四边形ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DECD.(1)求证：ABFCEB；(2)若DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积(1)证明四边形ABCD

17、是平行四边形，AC，ABCD.ABFCEB.ABFCEB.(2)解四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD.DEFCEB，DEFABF.DECD，()2，()2.SDEF2，SCEB18，SABF8.S四边形BCDFSCEBSDEF16.S四边形ABCDS四边形BCDFSABF16824.6(课标全国)如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形证明(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，因此DCBE，由已知CBCE得CBEE，故DE.(2)如图，设B

18、C的中点为N，连结MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.因此ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，因此ADE为等边三角形B组专项能力提高(时间：30分钟)1.如图所示，在RtABC中，ACB90，M是BC的中点，CNAM，垂足是N，求证：ABBMAMBN.证明CM2MNAM，又M是BC的中点，BM2MNAM，又BMNAMB，AMBBMN，ABBMAMBN.2.如图所示，在ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AEBF2DEAF.证明过点D作AB的平行线DM交AC于点M

19、，交FC于点N.在BCF中，D是BC的中点，DNBF，DNBF.DNAF，AFEDNE，.又DNBF，即AEBF2DEAF.3(辽宁)如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连结AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.证明(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF；又EFAB，得FEBEBF，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，因此BCBF.同理可证，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故E

20、F2AFBF，因此EF2ADBC.4(辽宁)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连结DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.证明(1)由于PDPG，因此PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA.又由于PGDEGA，故DBAEGA，因此DBABADEGABAD，从而BDAPFA.由于AFEP，因此PFA90，于是BDA90，故AB是直径(2)连结BC，DC.由于ACBD，因此，因此ABCBAD，又由于DCBDAB因此ABCDCB因此DCAB.又由于ABEP，因此DCEP，即DCE为直角于是ED为直径由(1)得AB也是直径因此ABED.