航天器轨道2

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1、第四章第四章 航天器轨道航天器轨道(2)(2)航天遥感系统航天遥感系统 FOR B46 BY JIANG GANGWU开普勒第一定律（轨道定律开普勒第一定律（轨道定律,1609,1609年年)：每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。个焦点中。开普勒第二定律（面积定律开普勒第二定律（面积定律,1609,1609年年)：从太阳到行星所联接的直线在相等时间内扫过同等的面积。从太阳到行星所联接的直线在相等时间内扫过同等的面积。开普勒第三定律（周期定律开普勒第三定律（周期定律,1618,1618年）：年）：所有的行星轨道的半长轴

2、的三次方跟公转周期的二次方的比所有的行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。值都相等。Review开普勒行星运动三大定律开普勒行星运动三大定律(1571-1630)Keplers Laws were based on Observation FOR B46 BY JIANG GANGWUNewtons Laws of GravityNewtons Second Law(1643-1727)+Keplers Laws(1571-1630)Review FOR B46 BY JIANG GANGWU牛顿定律牛顿定律是是开普勒定律开普勒定律的理论发展的理论发展开普勒定律开普勒定律是是

3、牛顿定律牛顿定律的推论的推论(1571-1630)(1643-1727)Review FOR B46 BY JIANG GANGWU第四章第四章 航天器轨道航天器轨道4.0 开普勒定律与牛顿定律开普勒定律与牛顿定律4.1 常用坐标系及其相互转换常用坐标系及其相互转换4.2 二体问题二体问题 4.3 轨道根数轨道根数4.4 星地空间几何星地空间几何4.5 受摄运动受摄运动 4.6 轨道类型轨道类型4.7 轨道机动轨道机动4.8 轨道设计轨道设计 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题Two-Body Problem?特指：特指：在地球中心引力场中航天器的轨道运动问

4、题。在地球中心引力场中航天器的轨道运动问题。几点假设：几点假设：（1）航天器的运动是被动的，即对它未施加任何控制力；）航天器的运动是被动的，即对它未施加任何控制力；（2）地球是均匀圆球体，它对航天器的引力是指向地心的；）地球是均匀圆球体，它对航天器的引力是指向地心的；（3）除地球以外，其它天体对航天器的引力忽略不计；）除地球以外，其它天体对航天器的引力忽略不计；（4）大气阻力、太阳光压等可以忽略不计。）大气阻力、太阳光压等可以忽略不计。二体问题有解析解二体问题有解析解Kepler轨道轨道 FOR B46 BY JIANG GANGWUMotion Equation2 2 二体问题二体问题XYZ

5、MEmr 2.1 运动方程限制性二体问题的基本方程限制性二体问题的基本方程 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题Comments二体问题的运动方程是一个二阶常微分方程组解该方程组可得六个积分常数六个积分常数(六个轨道根数六个轨道根数)2.1 运动方程 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.2 Kepler轨道的三个常量（1）H：动量矩常矢量动量矩常矢量The Orbit is Confined to a Plane.(Orbital Plane)FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.2

6、 Kepler轨道的三个常量（1）H：动量矩常矢量动量矩常矢量开普勒第二定律开普勒第二定律面积定律面积定律开普勒第二定律开普勒第二定律 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.2 Kepler轨道的三个常量（2）E：能量常量：能量常量机械能守恒定律：机械能守恒定律：在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。？左式：右式：FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.2 Kepler轨道的三个常量（3）L：Laplace常矢量常矢量L L 位于轨道面上位于轨道面上 FO

7、R B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.2 Kepler轨道的三个常量（3）L：Laplace常矢量常矢量 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.2 Kepler轨道的三个常量（3）L：Laplace常矢量常矢量 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.2 Kepler轨道的三个常量两个关系式两个关系式:H：动量矩常矢量动量矩常矢量E：能量：能量常量常量L：Laplace常矢量常矢量5个独立量 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题H：动量矩常矢量动量矩常矢

8、量H 确定了轨道平面在空确定了轨道平面在空间的方位。间的方位。：升交点赤经升交点赤经 i：轨道倾角轨道倾角iXYZOHN 2.2 Kepler轨道的三个常量 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题L：Laplace常矢量常矢量L （e e）确定了轨道在轨道平确定了轨道在轨道平面内的指向和轨道的形状面内的指向和轨道的形状（偏心率）（偏心率）2.2 Kepler轨道的三个常量轨道的大小呢？轨道的大小呢？FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.2 Kepler轨道的三个常量轨道的大小呢？轨道的大小呢？FOR B46 BY JIANG

9、 GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.2 Kepler轨道的三个常量H：动量矩常矢量动量矩常矢量确定轨道平面在空间的方位E：能量：能量常量常量确定轨道的大小（长半轴）L：Laplace常矢量常矢量确定轨道在轨道平面内的指向和轨道偏心率 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.3 轨道方程 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.3 轨道方程 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.3 轨道方程 p：半通径半通径 e：偏心率偏心率从形式上：从形式上：圆锥曲线圆锥曲线 FOR B46

10、BY JIANG GANGWU圆锥曲线轨道偏心率e半长轴 a圆轨道e=0a=b=Radius椭圆轨道0 e 10 b a 1a 02 2 二体问题二体问题 2.3 轨道方程KeplerKepler第一定律第一定律 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性1.椭圆轨道的参数椭圆轨道的参数 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性1.椭圆轨道的参数椭圆轨道的参数 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题KeplerKepler第三定律第三定律1.椭圆轨道

11、的参数椭圆轨道的参数 2.4 椭圆轨道的基本特性?FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性2.椭圆轨道能量特性椭圆轨道能量特性 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性3.椭圆轨道的速度及其分量椭圆轨道的速度及其分量活力公式活力公式 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性4.沿椭圆轨道运行的时间历程沿椭圆轨道运行的时间历程 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性

12、4.沿椭圆轨道运行的时间历程沿椭圆轨道运行的时间历程：过近地点的时刻：过近地点的时刻 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性4.沿椭圆轨道运行的时间历程沿椭圆轨道运行的时间历程偏心距：偏心距：E：偏近点角：偏近点角 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性4.沿椭圆轨道运行的时间历程沿椭圆轨道运行的时间历程 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性4.沿椭圆轨道运行的时间历程沿椭圆轨道运行的时间历程 FOR B46 BY

13、 JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性4.沿椭圆轨道运行的时间历程沿椭圆轨道运行的时间历程 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性4.沿椭圆轨道运行的时间历程沿椭圆轨道运行的时间历程 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性4.沿椭圆轨道运行的时间历程沿椭圆轨道运行的时间历程KeplerKepler方程方程平近点角 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性4.沿椭圆轨道运行的时间历

14、程沿椭圆轨道运行的时间历程关于平均运动角速度关于平均运动角速度 n：n 为常数为常数E=0 2，航天器运行一圈航天器运行一圈（一个周期一个周期T），），t=tp tp+T，n=2/T关于平近点角关于平近点角 M：)(pttnM由由 M 的定义和的定义和 n 的意义知，的意义知，M 是时间的线是时间的线性函数，且在一个周期内，从性函数，且在一个周期内，从 0 变到变到 2)(sinpttnEeE FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性4.沿椭圆轨道运行的时间历程沿椭圆轨道运行的时间历程关于三种关于三种近点角近点角 f f、E E、MM

15、：三种近点角的变化范围相同，从 0 变到 2。它们都描述航天器位置随时间的变化 真近点角 f 和偏近点角 E 有明确的几何意义，而平近点角 M 没有明确的几何意义平近点角 M 是时间的线性函数，而真近点角f 和偏近点角 E 都是时间的非线性函数 在航天器轨道求解（轨道预报）时，首先确定平近点角 M，然后解开普勒方程确定偏近点角 E，最后确定航天器的位置（或真近点角 f）FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性EOrfS关于近点角关于近点角 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性

16、EOrfSiXYZOfaPrSEquatorialPlaneOrbitCelestialSphere关于近点角与纬度幅角关于近点角与纬度幅角 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性关于开普勒方程关于开普勒方程：把航天器在轨道上的位置与时间联系起来把航天器在轨道上的位置与时间联系起来求解任意时刻航天器在轨道上的位置，只有求解求解任意时刻航天器在轨道上的位置，只有求解开普勒方程开普勒方程 开普勒方程是超越方程，只能采用迭代方式求解开普勒方程是超越方程，只能采用迭代方式求解 MttnEeEp)(sin关于开普勒方程的求解（牛顿法）关于开普勒

17、方程的求解（牛顿法）：0sin)(MEeEEfiiiiiiiiEeMEeEEEfEfEEcos1sin)()(1 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性4.沿椭圆轨道运行的时间历程沿椭圆轨道运行的时间历程 FOR B46 BY JIANG GANGWU2 2 二体问题二体问题 2.4 椭圆轨道的基本特性4.沿椭圆轨道运行的时间历程沿椭圆轨道运行的时间历程（1）轨道）轨道预报。预报。已知轨道根数，求某时刻已知轨道根数，求某时刻t对应的对应的f：（2）轨道）轨道确定。确定。已知某时刻已知某时刻t对应的对应的f，求，求tp：FOR B46

18、BY JIANG GANGWU小结小结1.Kepler轨道的三个常量2.Kepler轨道方程3.椭圆轨道的参数 （1）形状（长、短半轴；偏心率）（2）速度 （3）活力公式4.Kepler三大定律5.Kepler方程 FOR B46 BY JIANG GANGWU练习思考题练习思考题3.证明开普勒第三定律。4.推导活力公式：1.点P在坐标系O-XYZ中的坐标为（10，10，10），将坐标系O-XYZ依次绕X,Y,Z轴逆时针旋转30、45、60得到一个新坐标系O-XYZ。计算P点在新坐标系中的坐标（精确到小数点后3位数字）。2.推导Kepler轨道的三个常量。5.推导开普勒方程。FOR B46 BY JIANG GANGWUThats all下课下课