特殊平行四边形：正方形

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1、 正方形题型一：正方形与图形的变换。1.如图，在中，将绕点沿逆时针方向旋转得到线段的长是 ，的度数是 ；2.如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A3cmB4cmC5cmD6cm3如图，已知正方形的边长为3，为边上一点， 以点为中心，把顺时针旋转，得，连接，则的长等于 第（14）题EADBC4已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图4所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_.图4题型二：正方形与面积问题。（1）1.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形

2、与中间一种小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同窗距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（ ）A. B. C. D. 2如图边长为1的两个正方形互相重叠，按住其中一种不动，将另一种绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是 3、大正方形网格是由25个边长为1的小正方形构成，把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一种正方形，那么新正方形的边长是 4、已知正方形ABCD的边长为2，BPC是等边三角形，则CDP的面积是 ，BDP的面积是 。

3、5、 在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，正方形的边长为2，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰与BD上的点F重叠，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF。则EFD的面积为 。6、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为 7、既有若干张边长不相等但都不小于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿450角画线，将正方形提成5部分，则中间阴影部分的面积为 。8、若E,F,G,H分别为正方形ABCD的边上AB、BC、CD、DA上的点，AE=BF=CG=DH=AB/3，则图中阴

4、影部分的面积和正方形ABCD的面积之比 。9、如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同步滑动如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按ABCDA滑动到A止，同步点R从B点出发，沿图中所示方向按BCDAB滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所通过的路线围成的图形的面积为 10、正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积=_.11、芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计。如图1，她在边长为1的正方形ABCD内作等边三角形BCE,并与正方形的对角线交于F、G点，制成如图2的图标。则图标中阴影图形AFEGD的面积=_

5、12、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .（2）1、已知正方形ABCD的边长为4，MN/BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任意取两点P,Q，那么图中的阴影部分的面积是 。2、.如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是cm2BCEADF3、正方形ABCD的面积为1，M为AB的中点，则图中阴影部分的面积为 。4、已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EFCD，垂足为F点.若正方形AE

6、NM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_.题型三：正方形的其他计算BDMNCAO1如图所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则cosOMN的值为( )A B C D1 2如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则BCE的度数是 。3如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF给出下列五个结论：AP =EF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFE=BAP；PD= EC其中对的结论的序号是 4.如图，四边形，都是正方形，边长分别为；五点在同始终线上，则 （用品有的代数式表达）aDCBAM

7、cNEFbGH5.如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D6.如图，正方形ABCD边长为1，动，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为时，点P所在位置为_；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为_（用含自然数n的式子表达） 7若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BFAE，则BM的长为 8如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA7正好与6)0相切于点A (EFA与0除切

8、点外无重叠部分)，延长FA交CD边于点G，则AG的长是 9.如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则AN=; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC近来的n等分点（,且n为整数），则AN=（用品有n的式子表达）10已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点若， 下列结论：；点到直线的距离为；其中对的结论的序号是（ ）A B C D 11、如图，正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点

9、G，连结AG、CF下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中对的结论的是 12、 如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CGAE交BF于点G。下列结论：tanHBE=cotHEB BH=FG .其中对的的序号是（ ）A B C D13、如图5是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表达直角三角形的两直角边（），下列四个说法：，.其中说法对的的是（ ）A B. C. D. 14、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一种

10、正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一种正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；.，根据以上操作，若要得到个小正方形，则需要操作的次数是( ) .第7题图A. 669 B. 670 C.671 D. 67215、如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形（如图（2）；以此下去，则正方形的面积为 16、如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线 A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于

11、点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；依此类推，这样作的第n 个正方形对角线交点Mn的坐标为 .题型四：(1)1.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论2在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED（1）求证：BECDEC；（2）延长BE交AD于F，当BED=120时，求EFD的度数第22题图AFDEBC3.如图，l1、l2、l3、

12、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25。（1）连结EF，证明ABE、FBE、EDF、CDF的面积相等。（2）求h的值。4如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：（1）EAF的大小与否有变化？请阐明理由（2）ECF的周长与否有变化？请阐明理由5、 已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.（1）如图1，当P点在线段

13、AB上时，求PE+PF的值；（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PEPF的值. 6、如图，点E是正方形ABCD内一点，CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F（1）求证：ADEBCE；（5分）（2）求AFB的度数（5分）7、如图，四边形ABCD是正方形，点E,K分别在BC,AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.(1)求证：DE=EG;DEEG；（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（规定：只保存作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是如何的特殊四边形，并证明你的猜想；（4）当时，请直接写出的值.（2

14、）1. 如图，一种含45的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重叠，过E点作EFAE交DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并阐明理由。2如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F （1）证明：BAE=FEC；（2）证明：AGEECF；（3）求AEF的面积3（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择此外的措施证明证明：

15、在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE（下面请你完毕余下的证明过程）图1图2（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN与否还成立？请阐明理由（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）4在正方形ABCD中，E是BC边（不含端点B、C）的中点，P是BC延长线上一点，F是DG的平分线上一点AEF=90,通过思考，小明

16、展示了一种对的的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，因此在此基本上，同窗们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你觉得小颖的观点对的吗？如果对的，写出证明过程；如果不对的，请阐明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其她条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你觉得小华的观点对的吗？如果对的，写出证明过程；如果不对的，请阐明理由ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3(3)1如图 ，ABCD是正方形G是

17、 BC 上的一点，DEAG于 E，BFAG于 F （1）求证：； （2）求证：ADEFCGB2.如图6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重叠），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重叠），若AF=BF+EF，1=2，请判断线段DE与BF有如何的位置关系，并证明你的结论. 3如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，1=2，3=4（1）证明：ABEDAF；（2）若AGB=30，求EF的长4如图，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DEAG于点E，BFAG于点F. (1) 求证：DE

18、BF = EF(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并阐明理由 (3) 若点G为CB延长线上一点，其他条件不变请你在图中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）(4)正方形与旋转变换1.如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若FAH=45，证明：AG+AE=FH；2.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE求证：CECF；在图1中，若G在AD上，且GCE45，则GEBEGD成立吗？为什么？运用解答中所

19、积累的经验和知识，完毕下题：如图2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC12，E是AB上一点，且DCE45，BE4，求DE的长图2图1B CA G D FE B CA D E 3、 如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重叠），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.（1）求证：ADPEPB；（2）求CBE的度数；（3）当的值等于多少时，PFDBFP？并阐明理由. 4、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；

20、（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论与否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请阐明理由 （3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论与否仍然成立？通过观测你还能得出什么结论？（均不规定证明）DFBACE第24题图FBADCEG第24题图FBADCEG第24题图5、已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF2OA，OE2OD，连结EF，将FOE绕点O逆时针旋转角得到（如图2）.（1） 探究AE与BF的数量关系，并予以证明；（2） 当30时，求证：AOE为直角三角

21、形.6、如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重叠，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G（1）求证：EFEG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其她条件不变（1）中的结论与否仍然成立？若成立，情予以证明；若不成立，请阐明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边通过点B，其她条件不变，若ABa,BCb，求的值 7、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC上一动点，过点P作PFDC于点F，如图1，当点P与点O重叠时，显然有DF=CF。（1）

22、如图2，若点P在线段AO上（不与A、O重叠0，PEPB且PE交CD点E。求证：DF=EF；写出线段PC、PA、CE之间的一种等量关系式，并证明你的结论；（2）若点P在线段CA的延长线上，PEPB且PE交直线CD于点E。请完毕图3并判断（1）中的结论、与否成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）8、在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EGCG.（1）将BEF绕点B逆时针旋转90，如图（2），则线段EG和CG有如何的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将BEF绕点B逆时针旋转180，如图（

23、3），则线段EG和CG又有如何的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.图（1） 图（2） 图（3）(5)1如图，A、B、C三点在同一条直线上AB=2BC，分别以AB,BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN,EC. 求证：FN=EC 2.如图12，B、C、E是同始终线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.（1）观测猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.（2）在图中与否存在通过旋转可以互相重叠的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请阐明理由.3.如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重叠)，P

24、EBC于点E，PFCD于点F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中与否总有BP=DP？若是，请予以证明；若不是，请用反例加以阐明；(3) 试选用正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .图8-2图8-14如图1，已知正方形ABCD是边CD的正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC。 （1）试猜想AE与GC有如何的位置关系，并证明你的结论。 （2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE

25、和GC，你觉得（1）中的结论与否还成立？若成立，给出证明：若不成立，请阐明理由。 5如图10，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AGCE.（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE与否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请阐明理由.（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M. 求证：AGCH；BACDEFGH 图12ABCDEFG图11当AD=4，DG=时，求CH的长.ABCDEFG图10M(6)1在ABC中，BAC=45，ADBC于D，将ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将ACD沿AC所在的直

26、线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M(1)判断四边形AEMF的形状，并予以证明(2)若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积2.问题探究（1）请在图的正方形ABCD内，画出使APB90的一种点P，并阐明理由（2）请在图的正方形ABCD内（含边），画出使APB60的所有的点P，并阐明理由问题解决如图，既有一块矩形钢板ABCD，AB4，BC3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的APB和CPD钢板，且APBCPD60，请你在图中画出符合规定的点P和P，并求出APB的面积（成果保存根号）3.如图1，在正方形中，分别为边上的点，连接交点为（1）如图2，连接，试判断四边形的

27、形状，并证明你的结论；（2）将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一种四边形若正方形的边长为3cm，则图3中阴影部分的面积为_1）DCBAOHGFEEBADCGFH）4.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并阐明理由；EA DB CNM 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.5. 我们把对称中心重叠，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽

28、度相等.一条直线l与方形环的边线有四个交点、小明在探究线段与 的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，运用三角形全等、相似及锐角三角函数等有关知识解决了问题请你参照小明的思路解答下列问题：当直线l与方形环的对边相交时（如图），直线l分别交、于、，小明发现与相等，请你帮她阐明理由；当直线l与方形环的邻边相交时（如图），l分别交、于、，l与的夹角为，你觉得与还相等吗？若 相等，阐明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表达）.6如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。（1

29、）设AE=时，EGF的面积为，求有关的函数关系式，并写出自变量的取值范畴；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。7 (第22题)数学课上，李教师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？通过思考，小明展示了一种对的的解题思路：过作直线平行于交，分别于，如图，则可得：，由于，因此.可求出和的值，进而可求得与的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你觉得小东的这个结论对的吗？如果对的，请予以证明；如果不对的，请阐明理由.8(1)如图1,在正方

30、形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,AOF90.求证：BECF. (2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH90, EF4.求GH的长. (3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,FOH90,EF4. 直接写出下列两题的答案： 如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形构成,求GH的长；如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形构成,求GH的长(用n的代数式表达).9正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一种动点，PEBC于E

31、，PFDC于F. (1)当点P与点O重叠时(如图)，猜想AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论； (2)当点P在线段DB上 (不与点D、O、B重叠)时(如图)，探究(1)中的结论与否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请阐明理由； (3)当点P在DB的长延长线上时，请将图补充完整，并判断(1)中的结论与否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.10如图，将正方形沿图中虚线（其中xy）剪成四块图形，用这四块图形恰能拼成一种矩形（非正方形）(1）画出拼成的矩形的简图；(2）求的值11三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，她们商量将牧场划分为三块分别

32、看守，划分的原则是：每个人看守的牧场面积相等；在每个区域内，各选定一种看守点，并保证在有状况时她们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等按照这一原则，她们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场提成三块相等的矩形，人们分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场提成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有状况时三个人所需走的最大距离相等请回答：(1）牧童B的划分方案中，牧童 (填A、B或C）在有

33、状况时所需走的最大距离较远；（3分）(2）牧童C的划分方案与否符合她们商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）（5分）12.问题解决如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，图（1）ABCDEFMN重叠），压平后得到折痕当时，求的值措施指引：为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2类比归纳在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 （用含的式子表达）联系拓广图（2）NABCDEFM 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重叠），压平后得到折痕设则的值等于 （用含的式子表达）13在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点

34、、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.(1）求边在旋转过程中所扫过的面积；(2）旋转过程中，当和平行时，求正方形 旋转的度数；（3）设的周长为，在旋转正方形的过OABCMN程中，值与否有变化？请证明你的结论.14如图（十二），直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）(1）求两点的坐标；(2）用含的代数式表达的面积；(3）觉得对角线作矩形，记和重叠部分的面积为，OMAPNylmxBO

35、MAPNylmxBEPF图十二当时，试探究与之间的函数关系式；在直线的运动过程中，当为什么值时，为面积的？15、在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为不小于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不涉及原点O），顶点C、D都在第一象限（1）当BAO=45时，求点P的坐标;(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上如何运动，点P都在AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试拟定h的取值范畴，并阐明理由16、正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的负半轴上，交轴正半

36、轴于交轴负半轴于，抛物过三点(1）求抛物线的解析式；（3分）(2）是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，若，则判断四边形的形状；（3分）(3）在射线上与否存在动点，在射线上与否存在动点，使得且，若存在，请予以严格证明，若不存在，请阐明理由（4分）OyxBEADCF17、正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，(1）证明：；(2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；(3）当点运动到什么位置时，求此时的值DMABCN18、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角

37、三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不规定证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090）， 试用含的代数式表达HAE； 求证：HE=HG； 四边形EFGH是什么四边形？并阐明理由 （第23题图2）（第23题图3）（第23题图1）19、如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、（0，0，0）（1）求证：=；l1l2l3l4h1h2h3ABCD（2

38、）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=；（3）若，当变化时，阐明正方形ABCD的面积S随的变化状况l1l2l3l4h1h2h3ABCDEFG1423 20、 如图，小慧同窗吧一种正三角形纸片（即OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重叠，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O通过上述两次旋转达到O2处）.小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所通过的

39、路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.小慧进行类比研究：如图，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重叠，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90，按上述措施通过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题：若正方形纸片OABC按上述措施通过3次旋转，求顶点O通过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；

40、若正方形OABC按上述措施通过5次旋转，求顶点O通过的路程；问题：正方形纸片OABC按上述措施通过多少次旋转，顶点O通过的路程是？请你解答上述两个问题.21、 探究问题：措施感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF=45，连接EF，求证DE+BF=EF感悟解题措施，并完毕下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重叠，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1=2，ABG=D=90,ABG+ABF=90+90=180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF=45 2+3=BAD-EAF=90-45=451=2， 1+3=45即GAF=_

41、又AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故DE+BF=EF （第25题）措施迁移：如图，将沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF=DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想 问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必阐明理由）（第25题）22、情境观测将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD，如图1所示.将ACD的顶点A与点A重叠，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A)、B在同一条直线上，如图2所示观测图2可知：与BC相等的线段是 ，CAC= 图1 图2问题探究如图3，ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.图3拓展延伸如图4，ABC中，AGBC于点G，分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并阐明理由.图4