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1、第三章 导数及其应用3.1 变化率与导数（1）教材分析导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具.在本章,我们将运用丰富的背景与大量实例,学习导数的基本概念与思想措施;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，初步感受导数在解决数学问题与实际问题中的作用.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的教材这样解决的因素，一方面是由于极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限结识的基本上学习因此，让学生通过学习导数这个特殊
2、的极限去体会极限的思想，这为此后学习极限提供了结识基本另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数以便学生学习和研究函数基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的学时分派 本节课的教学内容选自人教社一般高中课程原则实验教科书（A版）数学选修11第三章第一节的变化率与导数，导数的概念是第2学时，重要解说导数的概念及运用定义求导数.教学目的重点: 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的
3、探求，抽象概括出函数导数的概念难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念知识点：导数的概念.能力点：掌握运用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本环节教育点：通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验自主探究点：通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程.考试点：运用导数的概念求导数.易错易混点：对的理解，但.拓展点：导数的几何意义.教具准备 多媒体课件和三角板课堂模式 学案导学一、引入新课师生活动：教师：请说出函数从x1到
4、x2的平均变化率公式学生：教师：如果用x1与增量x表达，平均变化率的公式是如何的？学生： 教师：高台跳水的例子中，在时间段里的平均速度是零，而事实上运动员并不是静止的这阐明平均速度不能精确反映她在这段时间里运动状态.学生：在教师的讲述中思考用什么量来反映运动员的运动状态提问：用一种什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？学生：体会并明确瞬时速度的作用提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，规定物体在的瞬时速度，应当怎么解决？【设计意图】让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表达瞬时速度.【设计阐明】应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为
5、下一阶段实验活动作铺垫. 二、探究新知已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数，完毕下列表格中秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观测平均速度的变化趋势 时，在内， 时，在内， 0.01-13.1490.01-13.0510.001-13.10490.001-13.09510.0001-13.100490.0001-13.099510.00001-13.1000490.00001-13.0999510.000001-13.10000490.000001-13.0999951师：观测以上表格，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？将成果投影，引导同窗们一起观测.在学生观测的基本上指出：当
6、趋近于时，平均速度都趋近于一种拟定的常数，这个常数就是瞬时速度 设计意图 让学生通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程给学生充足的感性材料, 使学生从感性上获得求瞬时速度的措施培养学生归纳、概括能力.师:你觉得通过实验所得成果（常数）就是瞬时速度吗？这个数据究竟是精确值还是近似值？启发学生归纳出结论：时，平均速度所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是一种精确值，它与变量无关，只与时刻有关 设计意图 使学生结识到平均速度当时间间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一种具体的极限模型 一般地,函数在处的瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作或
7、,即=. 三、理解新知求函数在点处的导数的环节大体分为如下三步：第一步，求函数增量；第二步，求平均变化率；第三步，求平均变化率的极限，即导数 设计意图为精确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1求在点处的导数 解:,.注意:括号别忘了写.变式训练: 求在点处的导数.解:,即. 设计意图通过变式训练,便于学生全面的结识运用定义求导数的环节, 提高理解、运用知识的能力例2 已知,求.解:,即.变式训练: 已知,求.解:,. 设计意图 由一种问题引申为一类问题，提高学生的解题能力同步,便于学生发现不同题目解题过程的 区别与联系,有助于学生用联系的观点看问题五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了
8、哪些知识，波及到哪些数学思想措施？学生作答：1知识：导数的概念.2思想：特殊与一般、化归的思想教师总结: 本节课学习了导数的概念，导数的概念表白：当自变量的增量趋向于零时，函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思想求导数的环节大体分为如下三步：第一步，求函数增量；第二步，求平均变化率并化简；第三步，求平均变化率的极限，即导数 设计意图 加强对学生学习措施的指引六、布置作业 1阅读教材P7476；2.书面作业 必做题： P79 习题3.1 A组 1,2,3,4,5.选做题：1.如果质点A按照规律运动，则在时的瞬时速度为 .2.设函数可导，则 .3. 设函数
9、，若，则 .4.函数在处的导数等于 .5.质点M按规律做直线运动(位移单位:cm，时间单位：s)，求质点M在时的瞬时速度，并与运用匀变速直线运动速度公式求得的成果进行比较. 答案:1. 18 2. 3. 3 4. 0 5. 瞬时速度为,用两种措施求得的成果相似.课外思考:函数在一点处的导数有什么几何意义吗?设计意图设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生可以运用导数的概念，解决简朴的数学问题；课外思考的安排，是让学生深刻思考、领悟导数的意义，为下节课的学习做铺垫 七、教后反思 1.“以学生为本”的教育观是教学设计的主线指引思想.学生通过“经历”、“体会”、“感受”，最后形成概念的学习过程，充足体现了学生为本的现代教育观.2.作业的布置尽量满足多样化的学习需求,做到因材施教,但在具体实行中,分寸的把握需视状况而定.八、板书设计3.1.2 导数的概念引例: 高台跳水导数的概念: 一般地,函数在处的瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作或,即=.例1.变式：例2变式：小结：
优秀教案21-变化率与导数
