大学课程初等数学研究教案

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1、教 案2014-2015学年第一 学期 课 程 名 称： 初等数学应用 专 业 年 级： 初等教育2013级 任 课 教 师： 王剑 教 师 所 在 单 位： 教 育 系 初等数学研究教案-课程简介初等数学研究是初等教育专业的专业课。它是在学生掌握了一定的高等数学理论知识的基础上，继教育学、心理学之后而开设的。本课程从中学数学教学的需要出发，以基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深和拓广，在理论、观点、思想、方法上予以总结提高，并着重解决理论方面的问题。本课程的重点是培养中小学数学教师严谨、系统的初等数学理论和基础知识，训练中小学数学教师的技巧。初等数学研究包括初等代数研究和初等几何研

2、究两部分，是初等教育专业开设的一门综合性的选修课程。根据高等师范学校数学专业的培养目标，通过该课程的学习，使学生了解初等数学的发展过程，初等数学的内容结构，思想方法等。理解初等数学理论知识，提高中学数学教学水平。学习本课程，要求学生更好地掌握并处理中学数学的教材，还必须使学生理解中学数学中用描述的方法引进的一些数学概念怎样给出精确的定义，未作证明的或证明不完整的数学命题怎样做出严格的证明，以及一些广泛应用的数学方法的理论依据。本课程摆脱了中学数学里已有的基础，以及高等数学里已作详尽讨论的知识，按照自己的逻辑系统来阐述初等数学的内容，并进行研究，将避免造成与中学数学或高等数学不必要的重复。对于中

3、学数学中已经解决的问题，将不在展开讨论，已有的知识与技能将作为工具来应用，在高等数学里已讨论过的有关理论，可以直接指导中学数学的，将直接应用，不再讨论。初等数学研究教案-教学大纲一、课程目标和教学要求1、基本课程目标本课程的教学要求分为了解、理解、掌握、运用四个层次。这四个层次的一般涵义表述如下：了解是指对本课程中的基本概念和原理的认知。理解是指对本课程涉及到的概念、定理、法则等的意义的解释。掌握是指运用已理解的概念、定理、法则等去解决新的数学问题。运用是指会用重要的思想和方法去研究、分析、解决初等数学中的问题，形成较强的分析问题和解决问题的能力。2、基本内容和教学要求第一部分初等代数（一）

4、数系教学内容：集合的相关概念、数的概念的扩展、自然数集、整数环、有理数域、近似计算、实数域、复数域教学要求：了解各个数系的构成与扩展，数的运算和数的性质，以及近似计算方法（二） 解析式教学内容：解析式概念及其分类、多项式、分式、根式、指数式与对数式、三角式与反三角式教学要求：理解解析式、多项式、分式、根式、指数式与对数式、三角式与反三角式的概念及性质；熟练地掌握解析式的运算和恒等变形（三） 初等函数教学内容：函数概念、用初等方法讨论函数、基本初等函数教学要求：理解函数的定义方法；掌握求函数的定义域、值域、函数关系的方法；掌握函数的四个性质（奇偶性、单调性、有界性、周期性）；掌握常见基本初等函数

5、的图形特征 （四） 方程和不等式教学内容：方程与方程的同解性、几种特殊类型的代数方程的解法、初等超越方程、方程组；不等式及其性质、证明不等式的常用方法、几个著名的不等式、解不等式(组)、不等式的应用教学要求：理解方程（组）的同解性理论；掌握一些特殊方程的解法。理解不等式的概念及有关性质；掌握证明不等式的常用方法；会解不等式（组）（五） 排列与组合教学内容：加法原理与乘法原理、排列、组合教学要求：理解加法原理与乘法原理，会求排列数和组合数 第二部分初等几何（一）公理化方法与图形的演绎推理教学内容：公理化方法的发展、数学推理和数学证明的方法及其作用教学要求：理解数学中的公理化方法，透彻把握欧几里的

6、公理体系，希尔伯特公理体及其区别掌握数学推理和数学证明的方法（二）几何变换教学内容：变换、变换群以及几何变换的概念，在变换群概念的基础上，分别讨论几种变换及相应的几何学 教学要求：掌握变换群的概念，能利用变换解决几何问题，了解应用几何变换的观点、思想与方法处理中学几何是当今数学课程改革的一个思路。（三）几何的向量结构及坐标法 教学内容：平面与空间向量的三种运算，并讨论向量与坐标系的关系，向量方法在数学中的各种运用。 教学要求：掌握向量的概念、运算及其基本定理，并能在解题中灵活的加以运用，对处理数学课程改革提供一种思路二、课程实施（一）课时安排初等数学研究是专业选修课，系主干课程。一般情况下第八

7、学期开设，安排3/周，有条件时可安排18周,共72课时。具体安排如下： 内 容 课 时 建 议 （一） 数 系 14学时 （二） 解析式 8学时（三） 初等函数 8学时 （四） 方程、不等式 10学时（五） 公理化方法与演绎推理 8学时（六） 几何变换 8学时（七） 几何的向量结构及坐标法 8学时（八） 排列、组合 8学时（二）教学组织形式与教学方法要求本课程以教师课堂讲授为主，并根据具体内容适当采取多媒体、自学和课堂讨论等形式组织教学。重点突出中学数学内容在现代数学理论中的地位，解决学生不会主动地、有意识地从较高观点研究中学数学的难点。提倡和鼓励学生进行专题研究。1. 教学班是主要的教学组织

8、，班级授课制是目前教学的主要组织形式。2. 注意教学方法的灵活性，组织学生课前阅读、课堂表述自己的理解和看法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力和探究意识。3.充分发挥学生的主动性，可适当安排一些讨论课。4.评价教学方法要以实现课程标准规定的教学目标为依据，好的教学方法应有助于学生对教学内容的理解，并能激发学生的学习热情。三、教材选用与教学评价在课程标准的统一要求下，实行多样化，可选用高等教育出版社（普通高校重点教材）的相应教材，也可选用地方特色的教材，还可自编教材。评价依据是本课程标准规定的课程目标、教学内容和要求。该门课程采用期末集中考试的形式进行，具体考试说明如下：1)考试时间：

9、120分钟。2)考试方式、分制与分数解释采用闭卷、笔试的方式，以百分制评分，60分为及格，满分为100分。如果有可能的话，把形成性评价与终结性评价结合起来。3)题型及比例填空题20%；分析解答题40%；证明题40%；4）样题与目标定位示例： A填空题：（着重考查学生对基本理论的理解掌握程度）例：自然数的序数理论是以_为基本概念建立起来的，它着重反映_问题。实数集的主要性质有_ 。B. 分析解答题（着重考查学生运用基本理论解决问题的能力） 例：两个整数的和等于118，且其中一数为11的倍数，另一数为17的倍数。求这两个整数。 C .证明题（着重考查学生的论证能力）例：在ABC中，B900,BC边

10、的中垂线交AB于D,ABC的外接圆在A、C的切线交于E,求证：DE/BC.初等数学研究教案 授课时间 2007.3.6 第 1 次课 授课章节第1章第1节任课教师及职称王剑 讲师教学方法与手段讲授法、探究式课时安排2学时使用教材和主要参考书季素月等编初等数学研究教程 李长明等编初等数学研究余元希等编初等代数研究 朱德祥编初等几何研究 教学目的与要求：引导学生深化对集合概念的理解和运用教学重点，难点：重点：集合的概念、集合的运算难点：笛卡儿积教学内容： 1.1 集 合本节介绍集合的相关概念。根据康托的描述，任给一集合A，对于一事物，它或者是A中的元素，或者不是A中的元素，即“A”与“ A”，两者

11、必居其一且仅居其一，没有第三种可能. 集合的表示法1.列举法运用列举法表示集合必须注意下面两点：（1）元素的无序性.即所列举的元素的次序是无关紧要的.（2）元素的互异性.即所列举的元素应互不相同.2.描述法用确定的条件表示某种事物是否属于这个集合的方法，叫做描述法.一般地，如果用表示变元所具有的某种性质，那么，由具有性质的所有元素组成的集合，可表示为|.为了能直观形象地反映出集合与元集、集合与集合的关系，可用圆、矩形或封闭曲线表示一个集合，区域内部的点表示此集合的元素.如图1-1所示，A=，b，c，B=b，c，e，f.这种形象直观的表示集合的图形叫做维恩（Venn）（或译为文氏）图或欧拉（Eu

12、lar）图.初等数学研究教案给定两集合A、B，如果集合A中每一元素都是集合B的元素，那么，称集合A为集合B的子集，这时也称A被B包含或者B包含A，记为AB或BA.如果AB，但AB，则称A是B的真子集，记为AB或BA.由两个集合相等的定义可得到一个简单而有用的结论：假定A、B是集合，那么A=B当且仅当AB且BA.因此，证明两个集合A、B相等的常用方法是证明A、B互相包含，即（1）任取A，证得B，即有AB；（2）任取B，证得A，即有BA.例1 求证：抛物线y2=4各组相互垂直的切线的交点的轨迹为抛物线的准线= -1.证明 设A、B分别为准线=-1上点集和y2=4各组相互垂直的切线的交点集合，设法证

13、明A=B.设PB，则P为y2=4的任两垂直切线的交点，这两条切线的切点为（t 12，2t1）、（t2 22tt ，2t2），则切线方程分别是t1y=+t21，t2y=+t22.可求得P点的横坐标=t1t2，由于t1t2=-1，所以PA，即BA.设点Q（-1，m）是集合A内任一点，由不复杂的计算可得，当k0时，过Q点的直线y=k（+1）+m与抛物线相切的充要条件是存在实数k满足方程k2+mk-1=0.由于m2+40，所以方程有两个相异实根k1，k2，且 k1k2=-1，于是过Q点的分别以k1、k2为斜率的两切线垂直，即QB，从而AB.综合上述证明知，A=B.易证集合的包含关系有如下重要性质：（1

14、）AA；（2）若AB，BC，则AC.我们规定：空集是任意集合的子集.这一规定是合理的.事实上，若A是B的子集，则A中任一元素都属于B，也即A中不存在不属于B的元素.空集/ 是没有元素的集合，所以在空集中不存在不属于任意集合A的元素，即空集是任意集合的子集，/ A.由集合相等的判别方法可以证明空集是唯一存在的.集合的运算1. 交集（1）AB=BA（交换律）；（2）（AB）C=A（BC）；（结合律）（3）AB当且仅当AB=A；（4）AA=A（等幂律）；（5）A/ =/ ，AI=A.2. 并集（1）AB=BA（交换律）；（2）（AB）C=A（BC）（结合律）；（3）AB当且仅当AB=B；（4）AA=

15、A（等幂律）；（5）A/ =A；AI=I.（6） A（BC）=（AB）（AC），A（AC）=（AB）（AC）.（7） A（AB）=A，A（AB）=A.初等数学研究教案例2 令A（n）表示n的所有质因数的集合，即A（n）=a|a是质数且a整除n.试证关于A（n）有下列结论成立：（1）若q整除n，则A（q）A（n）；（2）若q、r分别是m、n的公因数和公倍数，则A（q）A（m）A（n），A（m）A（n）A（r）；（3）若q是m、n的最大公因数，则A（q）=A（m）A（n）；（4）若r是m、n的最小公倍数，则A（r）=A（m）A（n）.证明 （1）、（2）显然，下面证明（3）、（4）成立.设质数pA

16、（m）A（n），则p整除m，p整数n，从而p整除它们的最大公因数q，于是pA（q）.所以，A（m）A（n）A（q），再由（2）的结论知，（3）成立.要证明（4）成立，需利用质数的一个性质：如果质数p整除ab，则p整除a或整除b.设r是m、n的最小公倍数，且质数pA（r），则r=ms,r=nt，s、t互质.倘若p不整除m，由p整除ms知，p整除s.由于s、t互质，p 不整除t，但p整除nt，所以p整除n，即pA（m）A（n），A（r）A（m）A（n），由（2）的结论知（4）成立.设A、B是全集I中的子集，则关于集合的补集，有下列等式成立：（1）CI/ =I，CII=/ ；（2）CI（CIA）=A

17、；（3）若AB，则CIBCIA；（4）CI（AB）=CIACIB，（AB）=CIACIB.证明从略.等式（4）就是关于集合的德摩根（D. Morgan）定律.一般地，两个具有固定次序的事物x、y组成的序列叫做序偶（或序对），记为（x，y）显然，在一般情况下，（x，y）（y，x）.集合A、B的笛卡儿积AB是全体序偶（a，b）的集合，其中aA，bB.笛卡儿积可以表述为AB=（a，b）|aA，bB若A=B，则AA习惯记为A2.例3 在平面上建立直角坐标系以后，平面就可以看成是实数集R的笛卡儿积RR=R2.如果A、B分别是x轴、y轴上的两个闭区间，那么AB就是一个矩形区域（见图1-1）.在三维空间中，

18、如果S=x，y| x，yR，x2+y2=1是个单位圆，I=z|zR，1z2是个区间，那么SI就是一个圆柱面（见图1-2）.z Y B AB I SI X A S (X,Y) 图1-1 图1-2笛卡儿积是个集合，它的运算具有下列性质：（1）A（BC）=（AB）（AC）；（2）A（BC）=（AB）（AC）；（3）A/ =/ ； （4）（AB）（CD）=（AC）（BD）.初等数学研究教案复习思考题、作业题：1、 若A=苹果，桔子，香蕉，B=刀，叉，求笛卡儿积AB。2、 证明：A（BC）=（AB）（AC），A（AC）=（AB）（AC）.下次课预习要点考察中学数学的集合基础实施情况及教学效果分析课堂中能

19、很好地完成教学任务，师生互动效果较好，例题的选取从难度和广度可以稍微扩展。学生能更深刻地理解中学数学相关内容的思想和方法，更好地理解数学的统一性。学生能更系统地在现代数学思想的指导下掌握中学数学的理论体系。学生能在高观点下去处理中学数学的相关问题特别是竞赛数学题。学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日初等数学研究教案授课时间 2007.3.8 第 2 次课 授课章节第 1章 第 2节任课教师及职称王剑 讲师教学方法与手段讲授法、探究式课时安排2学时使用教材和主要参考书季素月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何研究 教学目的与要求：引导学生认识

20、和理解集合与中学数学的关系主要体现在集合思想的渗透和集合语言的使用上。教学难点与重点：重点：集合语言在中学数学中的应用难点：运用集合语言解决问题教学内容：2 集合与中学数学本节研究集合在中学数学体系中的基础作用。（一）概念与集合中学数学中许多概念的形成，要通过集合的交、并、补运算来进行.例如，有理数集Q=负有理数0正有理数；实数集=有理数无理数；虚数集=CR；正方形=菱形矩形，等等.从逻辑角度而言，我们常用的“属加种差”的概念定义方式，实质上是从属概念的外延集合A中区分出具有“种差”性质的子集B，于是B=x|xA且，其中是“种差性质”. 例如，矩形=x|x有一直角并且x平行四边形.但是，有时候

21、会出现这样的情形：用不同的特征性质去定义同一个概念，这时就需要证明两个性质的等价性.换句话说，即要证明满足这两个性质的元素所构成的集合相等.比如，在平行四边形范围中要证明矩形“有一直角”的性质等价于“具有相等的对角线”的性质，只须证明x|x有一直角且x平行四边形=x|x平行四边形且x的对角线相等.（二） 集合与方程、不等式方程和不等式的有关内容在中学代数中占较大比例，用集合语言来解释、描述方程（或不等式）的某些概念，既揭示本质又简单明了.例 解不等式4.解 x|4x|x316且x3x|x19x|x3x|3x19.初等数学研究教案例如：解方程（或方程组）、解不等式（或不等式组），与集合的运算有关

22、，在解形如f1（x）f2（x）fn（x）=0的方程时，若记Mi为fi（x）=0的解集（1in），A为f1（x）f2（x）fn（x）的允许值集合，则原方程的解集T=A（M1M2Mn）若已知两个变量的方程f（x，y）=0、g（x，y）=0的解集分别是M1、M2,则方程组的解集T=M1M2，在坐标平面上表现为两曲线f（x，y）=0，g（x，y）=0的交点的集合，如果方程中，F（x，y）=0、G（x，y）=0的解集M1、M2不等于M1、M2，但M1M2=M1M2，那么，这两个方程组同解.例如，方程组 与 同解，尽管方程xy6与x2+y213表示不同的曲线.（三） 运用集合语言解决问题例题 某数学竞赛只

23、出了A、B、C三道题，有25个学生参加，每人至少能解出一道解.在没有解出A题的学生中，解出B题的学生人数是解出C题的人数的两倍；只能解出A题的人数比其余解出A题的人数多1；在只能解出一题的学生中，有一半不能解出A题.试求只能解出B题的学生数.解 如图1-8所示. 设X、Y、Z分别为只解出A、B、C题的人数；V、U、W分别为只解出A、B，B、C，A、C两题的人数，T为同时解出三题的人数.由条件知， 图1-8所以，25=X+Y+Z+W+V+T+U =X+X+X-1+U即3X+U=26.因为X=Y+Z，Y=2Z+U，所以9Z+4U=26，9Z26，Z2.当Z=1时，4U=17不可能.当Z=2时，U=

24、2，Y=6，X=8，代入原题合乎题意，所以，只解出B题的学生有6人.初等数学研究教案复习思考题、作业题：运用集合语言解决： 一个船夫（F）要把一只狼（W）、一头羊（G）和一篮白菜（C）从河的左岸运到右岸，由于船小，除船夫外，每次只能运一样东西.当然，狼和羊、羊和白菜不能在无人监视的情况下放在一起，问船夫怎样才能达到目的？下次课预习要点命题及其演算实施情况及教学效果分析课堂中能很好地完成教学任务，师生互动效果较好，例题的选取从难度和广度可以稍微扩展。学生能更深刻地理解中学数学相关内容的思想和方法，更好地理解数学的统一性。学生能更系统地在现代数学思想的指导下掌握中学数学的理论体系。学生能在高观点下

25、去处理中学数学的相关问题特别是竞赛数学题。学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日初等数学研究教案授课时间 2007.3.13 第 3 次课 授课章节第 1章 第 3 节任课教师及职称王剑 讲师教学方法与手段讲授法、探究式课时安排2学时使用教材和主要参考书季素月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究 余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何研究教学目的与要求：帮助学生理解命题的概念、分类及表示方法，熟练掌握命题的演算规则。教学难点与重点：重点：命题的演算。难点：符合命题的四种形式，及他们的真假定义。教学内容： 3 命题及其演算 本节介绍数理逻辑的基本知识。定义1 给定命题p，用联结词“

26、非”构成的复合命题“非p”叫做命题p的否定式（或称为非命题），记为p.其真值定义如下：p p1 00 1例1 p：我是个工人.p：并非“我是个工人”=我不是一个工人.p：2+2=4.p：2+24.p：我每天写大字.p：我并没有每天写大字.定义2 给定两个命题p、q，用联结词“且”构成的复合命题“p且q”叫做p、q的合取式（或称做联言命题），记为pq.其真值定义如下：p q pq1 1 11 0 00 1 00 0 0初等数学研究教案例2 p：28是7的倍数.q：28是4的倍数.pq：28是7和4的倍数.由两个命题“39”、“912”组成的合取式“39且912”的真命题，通常把它简单地记作“39

27、12”.因此，数的双重不等式是两个不等式的合取.定义3 给定两个命题p、q，用联结词“或”构成的复合命题“p或q”叫做p、q的析取式（或称为选言命题），记做“pq”，其真值定义如下：p q pq1 1 11 0 10 1 10 0 0定义4 给定两个命题p、q，用联结词“若则”构成的复合命题“若p则q”叫做p、q的蕴涵式（或称假言命题），记为“pq”.其中p称为前件，q称为后件，蕴涵式的真值定义如下：p q pq1 1 11 0 00 1 10 0 1例3 小红的爸爸对小红作了一个许诺：如果小红数学得满分（p）；那么他替她买一条连衣裙（q），于是，就有四种可能发生.（1）小红数学得满分，爸爸买

28、了一条连衣裙（p真q真）.（2）小红数学得满分，但爸爸没有买连衣裙（p真q假）.（3）小红数学没有得满分，爸爸仍然买了条连衣裙（p假q真）.（4）小红数学没有得满分，爸爸没有买连衣裙（p假q假）.毫无疑问，情况（1）说明爸爸遵守了诺言，所以，“pq”真，在（3）、（4）情况下，由于小红没有得5分，所以不管爸爸有没有买连衣裙，都不能说爸爸违背了诺言，“pq”仍然真.只有情况（2）说明爸爸没有信守诺言，“pq”假.实际上，“pq”是真命题意味着两点：前件p假，则后件q可能真也可能假；倘若前件p真，则后件一定真.复合命题的4种基本形式，分别用4个逻辑联结词由命题p或q组成.在这基础上，可以进一步运用

29、真值联结词构成新的更复杂的命题.任何一个复合命题都有相应的真值，其真值可以通过真值表加以计算.例4求出下列公式的值：（1）（pq）pq;（2）(ppq)解 公式的真值表如下：初等数学研究教案 （1）p q pq （pq）p （pq）pq 1 1 1 1 11 0 0 0 10 1 1 0 10 0 1 0 1（2）p q pq ppq (ppq) 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0同一律 在同一思维过程中，对于同一对象的每一思想（概念或判断）都必须保持其同一性和确定性，用公式表示为pp.矛盾律 在同一思维过程中，一个命题不能既真又假，或者说，两个相互

30、矛盾的命题不能同时为真，用公式表示为（pp）.排中律 在同一思维过程中，一个命题或者真或者假，两者必居其一，或者说，两个相互矛盾的命题一真一假、一假一真，用公式表示为pp.一些基本的等价命题（利用真值表不难验证其正确性）.（1）（交换律）pq=qp，pq=qp.（2）（结合律）（pq）r=p（qr），（pq）r=p（qr）.（3）（分配律）p（qr）=pqpr，pqr=（pq）（pr）.（4）（双重否定律）p=p.（5）（德摩根律）（pq）= pq，（pq）= pq.（6）pq= pq，（pq）=pq.例5 写出下列命题的否定式（1）28能被4整除，又能被7整除；（2）10或者-10；（3）若

31、63，则107.解 （1）令p表示命题“28被4整除”，q表示命题“28被7整除”.那么原命题为“pq”，其否定为 （pq）= pq.这表示28不能被4整除或者28不能被7整除.（2）原命题改写为（10）（-10），其否定为（10（-10）=（10）（-10）.即10并且-10.（3）令p表示命题“63”，q表示命题“107，原命题是蕴含式“pq”，其否定为（pq）pq.即63，但是107.初等数学研究教案复习思考题、作业题：1、求证：（1）pqr（pr）（qr）；（2）p（qr）=（pq）（pr）. 2、证明：若x3+y3=2，则x+y2. 3、证明：如果a2能被2整除，则a能被2整除.4、

32、当n、a是正整数时，证明或者是正整数，或者是无理数.下次课预习要点简要了解数学扩充的历史实施情况及教学效果分析课堂中能很好地完成教学任务，师生互动效果较好，例题的选取从难度和广度可以稍微扩展。学生能更深刻地理解中学数学相关内容的思想和方法，更好地理解数学的统一性。学生能更系统地在现代数学思想的指导下掌握中学数学的理论体系。学生能在高观点下去处理中学数学的相关问题特别是竞赛数学题。学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日初等数学研究教案授课时间 2007.3.15 第 4 次课 授课章节第 1章 第 4 节任课教师及职称王剑 讲师教学方法与手段讲授法、探究式课时安排2学时使用教材和主要参考书季素

33、月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何研究 教学目的与要求：引导学生掌握数系扩充的必要性及数系扩充的必须遵循的四个原则。教学难点与重点：重点：数系扩充的方法难点：数系扩充必须遵循的原则教学内容： 4 数系扩充概述本节研究数系发展的原则和方法。若从数学学科本身发展的需要来看，扩充的必要性常从两方面来说明：（1）某一运算的逆运算在原有数集中不能完全实施；（2）某一方程在原有数集中无解. 数的扩充方法一般有两种.一种是在已建立的数系A中添加一类新数的集合，构成扩集B，例如，在非负有理数集Q+0基础上添加负有理数集Q，构成有理数集Q=Q+0Q-.另一种

34、方法是先用旧数集A中的数为材料构成一个新数集B，然后指出新数集B中某一真子集与A相等（严格讲，是B的某个真子集与A同构），复数系的建立就是采用这一种方法.从数集A扩充为数集B，不论采用哪一种方法，都必须遵循下列原则：（1）A B，即集A集B的真子集；（2）集A中已定义的元素之间的基本关系和运算，在集B中也有相应的定义，并且集B中的定义，对于B的子集A中的元素来说，与原来A中的定义一致；（3）在A中无解的某类方程，在集B中有解；（4）B是满足上述三个原则的A的所有扩充中的最小扩充。由于“某一运算的逆运算在原由数集中不能完全实施”，“某一方程在原有数集中无解”，使得数集扩充有着必要性。数集的过冲有

35、 “添加新元素法”和 “构造法” 两种。从数集A扩充到数集B，不论采用哪一种方法都必须遵循四个原则。初等数学研究教案复习思考题、作业题：自由选择一本数学史教材，理解数对于整个数学理论的重要性，写出一篇简短的论文。下次课预习要点自然数学的基本理论实施情况及教学效果分析课堂中能很好地完成教学任务，师生互动效果较好，例题的选取从难度和广度可以稍微扩展。学生能更深刻地理解中学数学相关内容的思想和方法，更好地理解数学的统一性。学生能更系统地在现代数学思想的指导下掌握中学数学的理论体系。学生能在高观点下去处理中学数学的相关问题特别是竞赛数学题。学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日初等数学研究教案授课时

36、间 2007.3.20 第 5 次课 授课章节第1 章 第 5 节任课教师及职称王剑 讲师教学方法与手段讲授法、探究式课时安排2学时使用教材和主要参考书季素月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何研究教学目的与要求：使学生理解和掌握自然数的序数理论，并能掌握和灵活地运用数学归纳法解题。教学难点与重点：重点：自然数的序数理论。难点：自然数的公理系统。教学内容：5 自然数本节研究自然数的序数理论。定义1 非空集合N中的元素叫做自然数,如果N的元素之间有一个基本关系“后继”(b后继于a,记为b=a)，并满足下列公理：（1）1N，1不是N中任何元素的后继

37、元素；（2）对N中任何元素a，有唯一的aN；（3）对N中任何元a，如果a1，则a必后继于N中某一元素b；（4）（归纳公理）如果MN，且1M；若aM，则aM.那么，M= N.这个系统称为皮亚诺公理系统.定理1 自然数的加法满足结合律与交换律.即对任何a、b、cN，有（1）a+（b+c）=（a+b）+c；（2）a+b=b+a.证明 （1）设a、b是给定的两个自然数，令集合M=c|a+（b+c）=（a+b）+c.由于（a+b）+1=（a+b）=a+b=a+（b+1），所以1M.若cM，即（a+b）+c=a+（b+c），则a+（b+c）=a+（b+c）=（a+（b+c）=（a+b）+c）=（a+b）+

38、c.于是，cM.初等数学研究教案根据归纳公理，M=N.再由a、b的任意性知a+（b+c）=（a+b）+c成立.（2）先证对任意的aN，1+a=a+1成立.设集合M=a|a+1=1+a.因1+1=1+1，所以1M.若aM，即有a+1=1+a，于是a+1=（a+1）+1=（1+a）+1=1+（a+1）=1+a.这表明aM.由归纳公理，M=N，即对所有自然数a，1+a=a+1成立.再证a+b=b+a成立.令集合M=b|a+b=b+a.由上述证明知1M.若bM，则a+b=a+（b+1）=（a+b）+1=（b+a）+1 =1+（b+a）=（1+b）+a=（b+1）+a=b+a.即bM，于是M= N，则a

39、+b=b+a成立.定义3 自然数的乘法是指这样的对应：对于每一对自然数a、b，有且仅有一个自然数（记为ab）与之对应，且具有下述性质：（1）a1=a；（2）ab=ab+a.这里a、b称为乘数，ab称为a、b的积.定理2 自然数的乘法满足右分配律，即对N中任何a、b、c，有（a+b）c=ac+bc.证明 令集合M=c|（a+b）c=ac+bc.因为（a+b）1=a+b=a1+b1，所以1M.假定cM，就有（a+b）c=ac+bc，于是（a+b）c=（a+b）c+（a+b）=（ac+bc）+（a+b） =（ac+a）+（bc+b）=ac+bc，这说明cM，按归纳公理得M= N.定理3 自然数的乘法

40、满足右分配律.定理4 自然数的乘法满足结合律，即对任意的自然数a、b、c，有a（bc）=（ab）c仿照定理1的（2）的证明可证得.根据定理1-4，代数结构（N，+），（N，）都是半群.定义4 设a、bN，如果存在xN，使b+x=a，则称x为a减去b的差，记作a-b，a叫做被减数，b叫做减数，求两数差的运算叫做减法.减法是加法的逆运算，在自然数集中，由于方程b+x=a不总是有解，所以减法也不是总能实施的.定义5 设a、bN，如果存在xN，使bx=a，则称x是a除以b的商，记作a/b.这里a叫做被除数，b叫做除数，求两数商的运算叫做除法.初等数学研究教案复习思考题、作业题：1、证明：自然数的乘法满

41、足右分配律.2、证明：自然数的乘法满足结合律，即对任意的自然数a、b、c，有a（bc）=（ab）c.下次课预习要点自然数性质的进一步研究实施情况及教学效果分析课堂中能很好地完成教学任务，师生互动效果较好，例题的选取从难度和广度可以稍微扩展。学生能更深刻地理解中学数学相关内容的思想和方法，更好地理解数学的统一性。学生能更系统地在现代数学思想的指导下掌握中学数学的理论体系。学生能在高观点下去处理中学数学的相关问题特别是竞赛数学题。学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日初等数学研究教案授课时间 2007.3.22 第 6 次课 授课章节第1 章 第 5 节任课教师及职称王剑 讲师教学方法与手段讲授

42、法、探究式课时安排2学时使用教材和主要参考书季素月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何研究 教学目的与要求：掌握自然数的性质和数学归纳法的理论依据教学难点与重点：重点：数学归纳法的原理难点：应用数学归纳法解决问题教学内容：本节继续研究自然数的序数理论。定义6 设a、bN，如果存在一个自然数k，使a=b+k，就说a大于b，记为ab；或说b小于a，记为ba.定理5 自然数集中的关系“”满足下列性质：（1）（反自反性）aa， aN.（2）（传递性）若ab，bc，则ac.（3）（全序性）对于N中任两个数a、b，下列情况有且仅有一种成立；ab，a=b，b

43、a.反自反性，传递性证明从略.现证明全序性.证明 先证明三种可能中至多有一个成立.假设ab，a=b同时成立，就有kN，使a=b+k，由a=b得b=b+k，矛盾.同理ba与ab不能同时成立，ba与a=b也不能同时成立.再证ab，a=b，ba中至少有一个成立.取定a，对b运用归纳.当b=1时，若a=1，则a=b；若a1，则存在cN，使a=c=c+1，于是a1=b，即ab成立.假设ab，a=b，ba中总有一个成立，考虑a与b的顺序关系.当ba时，存lN，使b=a+l，b=（a+l）=a+l，ba；当a=b时，b=b+1=a+1，ba；当ab时，存在kN，使a=b+k.若k=1，则a=b；若k1，则存

44、在sN，使k=1+s，于是a=b+k=b+（1+s）=（b+1）+s=b+s，ab.定理6 自然数集中的顺序关系“”满足加法和乘法的保序性.即（1）若ab，则a+cb+c；初等数学研究教案（2）若ab，则acbc.定理7 在自然数集中，消去律成立.即（1）若a+c=b+c，则a=b；（2）若ac=bc，则a=b.自然数的顺序关系“”还具有其他性质；定理8 在自然数集N中，1是最小数，即对于任何自然数a，a1.仿照定理5 的证明，请同学写出定理6、7、8的证明。定理9 （自然数的离散性）任两个相邻的自然数a与a之间，不存在自然数b，使得aba.证明 若ba，则存在kN，使b=a+k.因k1，所以

45、a+ka+1，即ba，矛盾，故ab不可能成立.定理10 （阿基米德性质）对任意自然数a、b，必有自然数n，使nab.提示： 取nb即可.定理11 （最小数原理）N的任何一个非空子集必有最小数.证明 用反证法.设非空集合AN，但A没有最小数.令所有小于A中任何一个数的自然数组成的集合为M.因为1是自然数集N的最小数，而A没有最小数，所以1A，这说明1M.假设mM，现在设法证明mM.事实上，如果m M，则存在a1A，使a1m.又因A中没有最小数，故存在a2A，使a2a1m，于是a2m，与mM矛盾.所以M= N.因为A非空，A中至少有一数t，且tN=M，由集M的定义知tt，矛盾，所以集A有最小数.归

46、纳公理与最小数原理是等价的.数学归纳法的两种基本形式的依据就是归纳公理与最小数原理.定理12 （数学归纳法第一基本形式）设f（n）是一个与自然数有关的命题，如果（1）f（l）成立；（2）若f（k）成立，则f（k）成立.那么，f（n）对一切自然数n都成立.证明 令M=n|f（n）是真命题，nN，由归纳公理以及条件（1）、（2）知M= N.定理13 （数学归纳法第二基本形式）设f（n）是一个与自然数有关的命题，如果（1）f（1）成立；（2）假设f（m）对所有小于k（k1）的自然数m都成立，f（k）也成立.那么，f（n）对一切自然数n都成立.证明 假设符合上述条件（1）、（2）的f（n）对某些自然数

47、并不成立，则M=n|f（n）不是真命题是非空集合，因而M有最小数n0，n01.因为n0是f（n）不成立的最小数，对于小于n0的一切数f（n）都成立，由（2）知f（n0）也成立，即n0M，矛盾.利用集合论的知识来定义自然数的加法、乘法和顺序关系。1. 若集合A、B之间能建立一个一一对应关系，则称A、B等价，一切等价集合的共同特征叫做基数.不能与其任一真子集等价的集合叫做有限集，有限集的基数叫做自然数.2. 设有限集合A、B的基数分别是a、b.（1）如果A与B等价，则称a等于b，记为a=b；（2）如果A与B的一个真子集等价，则称a小于b，记为ab；（3）如果A的一个真子集与B等价，则称b小于a，记

48、为ba.3. 设两个有限集A、B的基数分别为a、b，且AB=，如果C=AB，则称C的基数c是a、b的和，记为c=a+b，求两数和的运算叫做加法.设b个等价集合A1、A2、Ab的基数都是a，且AiAj（1ijb，如果C=A1A2Ab.则称C的基数c是a、b的积，记为ab.求两数积的运算叫做乘法.容易证明，自然数的加法、乘法运算律都成立.初等数学研究教案复习思考题、作业题：1、用最小自然数原理证明归纳公理。2、用归纳公理证明最小自然数原理。下次课预习要点整数和有理数的理论体系的构建实施情况及教学效果分析课堂中能很好地完成教学任务，师生互动效果较好，例题的选取从难度和广度可以稍微扩展。学生能更深刻地

49、理解中学数学相关内容的思想和方法，更好地理解数学的统一性。学生能更系统地在现代数学思想的指导下掌握中学数学的理论体系。学生能在高观点下去处理中学数学的相关问题特别是竞赛数学题。学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日初等数学研究教案授课时间 2007.3.27 第 7 次课 授课章节第1 章 第 6 节任课教师及职称王剑 讲师教学方法与手段讲授法、探究式课时安排2学时使用教材和主要参考书季素月等编初等数学研究教程李长明等编初等数学研究余元希等编著初等代数研究 朱德祥编著初等几何研究教学目的与要求：理解并熟练掌握整数的构造理论。教学难点与重点：重点：整数的定义及运算。难点：整数的运算。教学内容：

50、6 整数和有理数本节研究整数的构造及其性质。6.1.1 整数的定义及运算定义1 两序偶(a,b)、（c,d）相等,当且仅当a=c、b=d.定义2 设(a,b),(c,d)NN,如果a+d=b+c,则称(a,b)等价于(c,d),记为(a,b)(c,d).定理1 NN中关系“”是个等价关系,即关系“”满足（1）（反身性）（a，b）（a，b）；（2）（对称性）若（a，b）（c，d），则（c，d）（a，b）；（3）（传递性）若（a，b）（c，d），（c，d）（e，f），则（a，b）（e，f）.这里只证（3），（1）、（2）留给学生完成.证明 （a，b）（c，d），（c，d）（e，f），a+d=b+c

51、，c+f=d+e.于是，a+d+f=b+c+f=b+d+e，由消去律，得a+f=b+e，（a，b）（e，f），（3）得证.NN中与（a，b）等价的一切序偶组成的集合叫做（a，b）的等价类，记为a，b. 定义3 NN中序偶的等价类叫做整数.一切整数的集合叫做整数集，记为Z.由定义2、定义3可知，两整数a，b、c、d相等，当且仅当a+d=b+c.特别地，有a+m，b+m=a，b，mN.定义4 Z中加法、乘法规定如下：a，b+c，d=a+c，b+d.a，bc，d= 例1 设a，b=a，b，c，d= c，d，求证：（1）a，b+ c，d= a，b+ c，d，ac+bd，ad+bc.（2）a，bc，d = a，b c，d.初等数学研