改进遗传算法在投资组合中的应用

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1、摘 要遗传算法来源于对生物系统所进行的计算机模拟。美国密执安大学的Holland专家及其学生受到这种生物模拟技术的启发，发明出了一种基于生物遗传和进化机制的适合于复杂系统优化计算的自适应概率优化技术-遗传算法。证券投资组合优化问题的实质就是有限的资产在具有不同风险收益特性的证券之间的优化配备问题。因此，本文根据上述规定把交易成本和股票的整手买卖引入具有风险偏好的Markowitz组合投资模型，并对证券组合进行分类约束来减少风险，从而构造了具有约束的混合整数非线性规划模型。遗传算法是一类模拟自然界生物进化过程与机制，求解问题的自组织和自适应的人工智能技术。由于其运营简朴和解决问题的有效能力而被广

2、泛应用到众多领域。但是它也容易产生早熟现象以及局部搜索能力比较差，因此对诸多问题而言，基本遗传算法并不是解决问题的最有效措施。因此本文对基本遗传算法的某些算子进行了改善，获得了较满意的成果。本文提出的组合投资模型在求解上存在一定的难度，采用遗传算法求解。在计算机上用Matlab7.0编程实现。核心字：遗传算法；生物模拟；投资组合；交易成本；ABSTRACTGenetic algorithm originated in biological systems through the computer simulations. Holland Michigan University professo

3、r and his students are subject to this biological simulation technology inspired to create a bio-based genetic and evolutionary optimization of complex systems for adaptive probability calculation - genetic algorithm optimization technique. Portfolio Optimization essence of the problem is the limite

4、d assets with different risk and return characteristics of the optimal allocation between the securities issue.Therefore, this paper according to the requirements of the transaction costs and stocks containing whole lot introducing risk appetite Markowitz portfolio model, and classify constraints po

5、rtfolio to reduce risk, which is constructed with constrained mixed-integer nonlinear programming modelGenetic algorithms are a class of simulation of natural biological evolution and mechanisms for solving the problem of self-organization and adaptive artificial intelligence technology. Because of

6、its operational simplicity and ability to solve problems effectively been widely applied to many fields. But it is also prone to premature and relatively poor local search ability, so many problems, the basic genetic algorithm is not the most effective way to solve the problem. This article on some

7、of the basic genetic algorithm has been improved operator to obtain a more satisfactory result.The proposed model for portfolio investment in the solution there is a certain degree of difficulty, using genetic algorithm. On a computer using Matlab7.0 programming.Keyword：genetic algorithm；biological

8、simulations；Investment portfolio；Transaction costs；目 录引 言1第一章 遗传算法概述21.1 遗传算法的形式21.2 遗传算法的运算过程31.3 基本遗传算法的构成31.4 基本遗传算法的形式化定义4第二章 遗传算法的基本实现技术52.1 遗传算法的编码原则52.1.1 二进制编码措施52.1.2 浮点数编码措施：52.2 遗传算法的适应度函数62.2.1 乘幂尺度变换62.2.2 指数尺度变换62.3 遗传算法的选择算子62.3.1 比例选择72.3.2 最优保存方略72.3.3 拟定式采样选择72.4 交叉算子82.4.1 单点交叉82.

9、4.2 算数交叉82.5 变异算子82.5.1 基本位变异82.5.2 均匀变异8第三章 投资组合103.1 投资组合理论的提出103.2 证券组合投资理论103.3 马克威茨的均值方差模型103.3.1 单个资产的收益、风险和资产间的互相关系103.3.2 资产组合的收益和风险123.4 现代投资理论的构成和发展143.5 投资组合的应用14第四章 基于改善遗传算法的有交易成本的组合投资问题164.1 模型的建立与分析164.1.1 股票交易额不可分割及无风险投资164.1.2 交易成本174.1.3 风险偏好184.1.4 分类约束194.1.5 模型描述194.2 模型的遗传算法求解19

10、4.2.1 编码204.2.2 动态惩罚函数204.2.3 选择214.2.4 交叉214.2.5 变异214.2.6 改善遗传算法的过程21第五章 示例分析225.1 数据225.2 基本遗传算法235.3 改善遗传算法分析255.3.1 初始化种群体255.3.2 适应度计算255.3.3 遗传操作255.3.4 成果26第六章 总结与展望 6.1 重要工作总结29 6.2 展望29参照文献：30附录：31致 谢49引 言 遗传算法是一种仿生优化的算法，我们的自然界布满了奇迹，而生命的繁衍生息就是这些奇迹中的奇迹。生命是脆弱的，生命也是顽强的。从远古时代单细胞开始，经历环境变迁的磨砺，生命

11、经历了从低档到高档、从简朴到复杂的演化之路，不仅延续下来，并且产生了人类这样有思维、有智力的高档生命体。人类找到了生命的最佳构造与形式，她不仅仅可以被动的适应环境，更重要的是它可以通过学习、模拟、与发明、不断提高自己适应环境的能力。 在人类的历史上，通过学习与模拟来增强自身适应能力的例子不胜枚举。模拟飞禽、人类可以飞翔天空；模拟游鱼人类可以横渡海洋；模拟昆虫人类可以纵观千里；模拟大脑，人类发明了影响世界发展的计算机。人类的模拟能力不仅局限于自然现象和其她生命体。自从20世纪后半叶以来，人类正在将其模拟的范畴延伸向人类自身。神经网络是人类对其大脑信息解决机制的模拟，模糊系统是人类对其思维方式的模

12、拟。除了向自身构造的学习以外，人类还可以向其自身演化这一更为宏观的过程学习，来增强自身解决问题的能力，其代表性的措施就是遗传算法。 虽然人们尚未完全揭开遗传与进化的奥秘，既没有完全掌握其机制，也不完全清晰染色体和译码过程的细节，更不完全理解其控制方式，但遗传与进化的如下几种特点却为人们所共识：（1）生物的所有遗产信息都涉及在其染色体中，染色体决定其生物的性状。（2）染色体是由基因及其有规律的排列所构成，遗传和进化过程发生在染色体上。（3）生物的繁衍过程是由其基因的复试过程来完毕的。（4）通过同源染色体之间的交叉或染色体的变异会产生新的物种，是生物呈现出新的性状。（5）对生物适应性好的基因或染色

13、体常常比适应性差的基因或染色体有更多的机会遗传到下一代。 遗传算法是一种更为宏观意义下的仿生算法，她模仿的机制是一切生命与智能的产生与进化过程。她通过模拟达尔文“优胜劣汰、适者生存”的原理鼓励好的构造；通过模拟孟德尔遗传变异理论在迭代过程中保持已有的构造，同步寻找更好的构造。作为一种随机的优化与搜索措施，遗传算法有着其鲜明的特点：（1） 遗传算法的操作对象是一组可行解，而非单个可行解；搜索轨迹有多条，而非单条，因而具有良好的并行性。（2） 遗传算法只需运用目的的取值信息，而无需梯度等高价值信息，因而合用于任何大规模、高度非线性的不持续多峰函数的优化以及无解析体现式的目的函数的优化，具有很强的通

14、用性。（3） 遗传算法择优机制是一种“软”选择，加上其良好的并行性，使她具有良好的全局优化性和稳健性。遗传算法操作的可行解是通过编码化的，目的函数解释为编码个体的适应度，因而具有良好的可操作性与简朴性。第一章 遗传算法概述1.1 遗传算法的形式下述的数学模型是为求解函数最大值的优化问题： Max f(X) (1-1) S.t. XR (1-2) RU (1-3)式中， 决策变量：X=； 目的函数：f(X)； 约束条件：式（1-2）、（1-3）； 基本空间：U； R是U的一种子集； 若X满足式（1-2）、（1-3）则称其为可行解，R为全体X构成的集合，也叫可行解集合。她们之间的关系如图 可行解X

15、 基本空间U 可行解集合R 遗传算法中，将n维决策变量X=用n个记号（i=1,2,.,n）所构成的符号串X来表达： X=X1X2.Xn=X= 把每一种看做一种遗传基因，她的所有也许取值为等位基因，这样，X就可看作是由n个遗传基因所构成的一种染色体。一般状况下，染色体的长度n是固定的，但对于某些问题n也可以是变化的。根据不同的状况，这里的等位基因可以是一组整数，也可以是某一范畴内的实数值，或者是纯正的一种记号。最简朴的等位基因是由0和1这两个整数构成的，相应的染色体就可以表达为一种二进制串。这种编码所构成的排列形式X，对于每一种个体X，要按照一定的规则拟定其适应度。个体的适应度与其相应的个体体现

16、性X的目的函数值有关联，X越接近目的函数的最长处，其适应度最大；反之，其适应度最小。 遗传算法中，决策变量X构成了问题的解空间。对问题最优解的搜索是通过对染色体X的搜索过程来进行的，从而有所有的染色体X就构成了问题的搜索空间。 生物的进化是以集团为主体的。与此相相应遗传算法的运算对象是由M个个体所构成的集合，称为群体。与生物一代一代的自然进化过程相类似，遗传算法的运算过程也是一种反复迭代的过程，第t代群体叫做P（t）,通过一代遗传和进化后，得到第t+1代群体，她们也是由多种个体构成的集合，叫做P（t+1）。这个群体不断地通过遗传和进化操作，并且每次都按照优胜劣汰的规则将适应度较高的个体更多的遗

17、传到下一代，这样最后会在群体中得到一种优良的个体X，它所相应的体现性X将达到或接近问题的最优解。 染色体的变异和染色体之间的交叉是生物的进化的必经之路。将这个过程推而广之应用到最优解搜索过程中便是遗传算法最基本的思想，在群体P（t）上作用遗传算子，进行如下某些遗传操作，群体P（t+1）由此产生。(1) 选择：有规则的对每个个体的适应度进行排列，从中挑取较好的个体遗传到下一代。(2) 交叉：对群体中随机搭配的每一对个体，以某一概率互换她们的部分染色体。(3)变异：对群体中的每一种个体，以某一概率变化某一种或某某些基因座上的基因值为其她的等位基因。1.2 遗传算法的运算过程下图为遗传算法的运营过程

18、示意图 遗传空间 解集合个体评价解码 群体P（t+1）变异运算交叉运算选择运算解空间 群体P（t） 1.3 基本遗传算法的构成（1） 染色体编码措施： 在基本遗传算法中群体中的个体用固定长度的二进制符号串来表达，二值符号集0,1构成了其等位基因。初始群体中各个个体的基因值可用均匀的随机数来生成。如： X=101101(2) 个体适应度评价：在基本遗传算法中，个体适应度越高的个体遗传到下一代的机会越多。这里规定所有个体的适应度必须为正数或零。对不同种类的问题，目的函数值按照不同的规则转换成个体适应度值。(3) 遗传算子：基本遗传算子是最基本的某些算子涉及比例选择算子；单点交叉算子；基本位变异算子

19、。（4）运营参数：基本遗传算法4个需要提前设定运营参数：M：群体大小，一般取为20-100.T：终结进化代数，一般取为100-500.：交叉概率，一般取为0.4-0.99。：变异概率，一般取为0.0001-0.1；1.4基本遗传算法的形式化定义基本遗传算法可定义为一种8元组： SGA=(C,E,M,T) 式中 C-个体的编码措施； E-个体评价适应度函数 -初始群体； M-群体大小； -选择算子； -交叉算子； -变异算子； T-遗传运算终结条件。Procedure SGABegin Initialize P(0); t=0; While(t 0000000000000001=1 - 1111

20、111111111111= - 则二进制编码的编码精度为： 假设某一种体编码是： 则相应的解码公式： 2.1.2浮点数编码措施： 浮点数编码措施，是指用某一范畴内的一种浮点数来表达个体的每个基因值，决策变量的个数与个体的编码长度相似。由于这种编码措施使用的是决策变量的真实值，因此浮点数编码措施也叫做真值编码措施。 在浮点数编码措施中，必须保证基因值在给定的限制范畴之内，遗传算法中所使用交叉、变异等遗传算子也必须保证其运算成果所产生的新个体的基因值也在这个范畴内。浮点数编码措施有如下几种长处：（1） 适合在遗传算法中表达范畴较大的数；（2） 适合于精度规定较高的遗传算法；（3） 便于较大空间的遗

21、传搜索；（4） 改善了遗传算法的计算复杂性，提高了运算效率；（5） 便与遗传算法与典型优化算法的混合使用；（6） 便于设计针对问题的专门知识性遗传算子；（7） 便于解决复杂的决策变量约束条件。2.2遗传算法的适应度函数下一步的有关搜索信息通过所求问题的目的函数值来得到，目的函数值最重要的作用就是通过它来评价个体的适应度。评价个体适应度的一般过程是： 个体编码串解码 个体的体现性 个体的目的函数值 个体的适应度 最优化问题由如下两大类构成，一类为求目的函数的全局最大值，另一类为求目的函数的全局最小值。对于求最大值的问题，做下述转换： f(X) + , if f(X) + 0F(X)= 0, if

22、 f(X) + f(X)F(X)= 0, if = f(X)式中，为一种合适的相对较大的数。 2.2.1乘幂尺度变换乘幂尺度变换的公式为： 新的适应度是原适应度的k乘幂。所求解的问题决定幂指数k，并且在算法的执行过程中为了使尺度变换满足一定的伸缩规定需要不断对其校正。2.2.2指数尺度变换指数尺度变换的公式为： 新的适应度是原有适应度的某个指数。 式中系数决定了选择的强制性，越小，原有适应度较高的个体的新适应度就越与其她个体的新适应度相差较大，亦即越增长了该个体的强制性。2.3遗传算法的选择算子下面列出几种常用的选择算子操作措施。2.3.1比例选择比例选择措施的基本思想是：适应度越大的个体被选

23、中的概率就越大。但由于它的操作带有随机性，因此它的选择误差比较大。设群体大小为M，个体i的适应度，则个体i被选中的概率为： （i=1,2,.M） 由上式可见，适应度越高的个体被选中的概率越大。2.3.2最优保存方略 在遗传算法的运营过程中，新的个体在对个体进行交叉、变异等遗传操作过程中产生。虽然在群体的进化过程中会产生出越来越多的优良个体，但选择、交叉、变异等遗传操作的随机性也许破坏掉目前群体中适应度最佳的个体。这样的现象对于求解最优解显然是不利的，由于它会减少目前群体的平均适应度，并且对遗传算法的运营效率、收敛性均有不利的影响。因此，适应度最佳的个体应当尽量保存到下一代群体中。为此，可以使用

24、最优保存方略模型来进行优胜劣汰操作。最优保存方略进化模型的具体操作过程是：（1） 找出目前群体中适应度最高的个体和适应度最低的个体。（2） 若目前群体中最佳个体的适应度比总的迄今为止的最佳个体适应度还要高，则以目前群体中的最佳个体作为新的迄今为止的最佳个体。（3） 用迄今为止的最佳个体替代掉目前群体中的最差个体。 最优保存方略可作为其她选择操作的一部分。它可以保证到目前为止所得到的最优个体不会被遗传运算所破坏，它是遗传算法操作的一种重要保证条件。2.3.3拟定式采样选择 拟定式采样选择措施的基本思想是按照一种拟定的方式来进行操作。其具体基本过程是：(1)计算群体中各个个体在下一代群体中的盼望生

25、存数目： （i=1,2,.,M）(2)用的整数部分拟定各个相应个体在下一代群体中的生存数目。其中表达取不不小于x的最大的整数。由该步共可拟定出下一代群体中的 个个体。(3)按照的小数部分对个体进行降序排序，顺序取前M- 个个体加入到下一代群体中。至此可完全拟定出下一代群体中的M个个体。 这种选择操作方式可保证适应度较大的某些个体一定可以被保存在下一代群体中，并且操作也比较简朴。2.4交叉算子 单点交叉算子是最常用的交叉算子。但单点交叉操作又有一定的局限性。下面简介几种适合于二进制编码个体或浮点数编码个体的交叉算子。2.4.1单点交叉 单点交叉是指在个体编码串中随机设立一种交叉点，然后在该点互相

26、互换两个配对个体的部分染色体。单点交叉的重要特点是：若邻接基因座之间的关系能提供较好的个体性状和较高的个体适应度的话，则这种单点交叉操作破坏这种个体性状和减少个体适应度的也许是最小。2.4.2算数交叉算数交叉是指对两个浮点数编码所构成的个体进行线性组合而产生出两个新的个体。假设在两个个体、之间进行算数交叉，则交叉运算所产生的两个个体是: 式中，为一参数，它可以是一种常数，此时所进行的交叉运算称为均匀算数交叉；她可以是一种进化代数所决定的变量，此时所进行的交叉运算称为非对称均匀算术交叉。2.5变异算子 最简朴的变异算子是基本位变异算子。但它并不能满足所有问题的求解规定，需要开发出别的算子以满足需

27、求。下面列出某些比较常用的变异算子。2.5.1基本位变异 基本位变异操作是指对个体编码串中某一位或某几位基因座上的基因值做变异运算这些位置以变异概率随机指定的。在基本位变异操作中只有编码串的个别几种基因座上的基因值被变化，并且变异发生的概率也比较小，因此其发挥的作用比较慢，作用的效果也不明显。2.5.2均匀变异 均匀变异操作是指分别符合某一范畴均匀分布的随机数，以某一较小的概率来替代个体编码串中各个基因座上的原有基因值。均匀变异的具体操作过程是：（1） 依次指定个体编码串中的每个基因座为变异点。（2） 对每一种变异点，以变异概率从相应基因的取值范畴内取一随机数来替代原有基因值。假设有一种体为，

28、若为变异点，其取值范畴为，在该点对个体X进行均匀变异操作后，可得到一种新的个体，其中变异点的新基因值是： 式中，r为0,1范畴内符合均匀概率分布的一种随机数。 均匀分布操作特别适合应用于遗传算法的初期运营阶段，它使得搜索点可以在整个搜索空间内自由移动，从而可以增长群体的多样性，使得算法解决更多的模式。第三章 投资组合3.1投资组合理论的提出证券投资的目的是为了获得收益，但同步投资者也不得不承当风险。由于一般的状况是预期收益越高的证券风险越大。那么，能否找到合适的措施去避免或减少投资中的风险呢?回答是肯定的，这就是采用分散投资也就是组合投资的方式。即俗话说的：“不要把所有的鸡蛋放在一种篮子里”。

29、将投资对象分散到什么限度，如何进行合理搭配，才干达到高收益低风险的最佳配合，从而使投资者的效用最大化，这正是组合投资理论一方面要回答的问题。组合投资理论的来源。可追溯到1952年，美国经济学家马柯维茨在金融杂志上刊登了一篇论文资产组合的选择。在这篇论文中，她运用一套系统分析的措施展示了如何采用组合投资的方式发明投资的新领域，使在一定的风险水平下，获得最大也许的预期收益。马柯维茨分别用盼望收益率和收益率的方差来衡量投资的预期收益水平和风险，建立均值方差模型来论述如果全盘考虑上述两个问题。1959年她又出版了同名专著，具体论述了“资产组合”的基本原理，从而奠定了现代组合投资理论的基本。 投资组合理

30、论中马科维兹的均值-方差模型为人们提供了证券投资决策的理论基本。然而这种措施所面临的最大问题是其计算量太大。3.2证券组合投资理论马柯维茨资产组合理论觉得，若在具有相似回报率的两个证券之间进行选择的话，任何投资者都会选择风险小的。这同步也表白投资者若要追求高回报必然要承当高风险。同样，出于避风险的因素，投资者一般持有多样化投资组合。马柯维茨从对回报和风险的定量出发，建立了一种投资组合的分析模型，其要点为：（1）投资组合的两个有关特性是盼望回报率及其方差。（2）投资将选择在给定风险水平下盼望回报率最大的投资组合，或在给定盼望回报率水平下风险最低的投资组合。（3）对每种证券的盼望回报率、方差和与其

31、她证券的协方差进行估计和挑选，并进行数学规划(Mathematical Programming)，以拟定各证券在投资者资金中的比重。马柯维茨的证券组合理论作为一种投资措施，归纳起来共有三个环节： 一是想够买最佳证券组合的投资者先要拟定一系列的证券作为考虑对象； 二是对这些证券的前景进行分析，即进行基本分析和技术分析，对所考虑的所有证券的收益率、方差和协方差做出估计； 三是要找出投资者的最佳证券组合。3.3马克威茨的均值方差模型3.3.1单个资产的收益、风险和资产间的互相关系1、预期收益预期收益率是多种也许的收益率按其发生的概率进行加权平均而得到的收益率。2、风险及其度量（1）定义：风险指收益（

32、或价格）的不拟定性，也就是收益（或价格）对其盼望值（或均值）的偏离。（2）度量：一般用收益率的方差或原则差来表达。方差：原则差：3、资产之间的互相关系协方差和有关系数（1）协方差： 协方差测度的是两个风险资产收益的互相影响的方向与限度。正的协方差意味着两个资产的收益同向变动；而负的协方差则表白它们朝相反的方向变动。（2）协方差的估计 ：（3）有关系数： 完全正有关； 完全负有关； 不有关； 不完全有关3.3.2资产组合的收益和风险 设投资者选择了n 种证券作为投资对象,第i 种证券收益率为 , 为第 i种证券的预期收益率，为投资者投向第 i 种证券的投资比例系数, 为投资组合的收益率，为投资组

33、合收益率的盼望值，投资组合收益率的方差，则有 非系统风险 系统风险3.4现代投资理论的构成和发展 APT模型、行为金融理论、资本资产定价模型、投资组合理论以及有效市场理论等部分共同构成了现代投资组合理论的框架。这些理论及模型的浮现变化了过去重要依赖基本分析的老式投资管理实践，使现代投资管理日益朝着系统化、组合化、科学化的方向发展。 1952年3月，美国经济学者哈里马考威茨刊登了证券组合选择，作为现代证券组合管理理论的开端。马克威茨通过均值方差模型对风险和收益进行了量化，提出了拟定最佳资产组合的基本模型。由于这个模型规定计算所有资产的协方差矩阵，因此其在实践中的应用品有很大的局限性。 1963年

34、，威廉夏普的研究极大地推动了投资组合理论的实际应用，其基于对协方差矩阵加以简化估计的夏普单因素模型。 上个世纪60年代，夏普、林特和莫森分别在1964、1965和1966年提出资本资产定价模型。该模型不仅提供了评价收益-风险互相转换特性的可运作框架，也为投资组合分析、基金绩效评价提供了重要的理论基本。 1976年，针对CAPM模型所存在的不可检查性的缺陷，罗斯提出了一种替代性的资本资产定价模型，即APT模型。该模型直接导致了多指数投资组合分析措施在投资实践上的广泛应用。3.5投资组合的应用投资组合理论为投资组合的分析和有效投资组合的构建做出了重要奉献，其对现代投资管理实践的影响重要表目前如下4

35、个方面： 1马考威茨初次对风险和收益这两个投资管理中的基本性概念进行了精确的定义，从此，同步考虑风险和收益就作为描述合理投资目的缺一不可的两个要件(参数)。 在马考威茨之前，投资顾问和基金经理尽管也会顾及风险因素，但由于不能对风险加以有效的衡量，也就只能将注意力放在投资的收益方面。马考威茨用投资回报的盼望值(均值)表达投资收益(率)，用方差(或原则差)表达收益的风险，解决了对资产的风险衡量问题，并觉得典型的投资者是风险回避者，她们在追求高预期收益的同步会尽量回避风险。据此马考威茨提供了以均值一方差分析为基本的最大化效用的一整套组合投资理论。 2投资组合理论有关分散投资的合理性的论述为基金管理业

36、的存在提供了重要的理论根据。在马考威茨之前，尽管人们很早就对分散投资可以减少风险有一定的结识，但从未在理论上形成系统化的结识。 投资组合的方差公式阐明投资组合的方差并不是组合中各个证券方差的简朴线性组合，而是在很大限度上取决于证券之间的有关关系。单个证券自身的收益和原则 差指标对投资者也许并不具有吸引力，但如果它与投资组合中的证券有关性小甚至是负有关，它就会被纳入组合。当组合中的证券数量较多时，投资组合的方差的大 小在很大限度上更多地取决于证券之间的协方差，单个证券的方差则会居于次要地位。因此投资组合的方差公式对分散投资的合理性不仅提供了理论上的解释，并且 提供了有效分散投资的实际指引。 3马

37、考威茨提出的“有效投资组合”的概念，使基金经理从过去始终关注于对单个证券的分析转向了对构建有效投资组合的注重。自50年代初，马考威茨刊登其出名的论文以来，投资管理已从过去专注于选股转为对分散投资和组合中资产之间的互相关系上来。事实上投资组合理论已将投资管理的概念扩展为组合管理。从而也就使投资管理的实践发生了革命性的变化。 4 马考威茨的投资组合理论已被广泛应用到了投资组合中各重要资产类型的最优配备的活动中，并被实践证明是行之有效的。 第四章 基于改善遗传算法的有交易成本的组合投资问题Markowitz觉得应当用证券的盼望收益率来表达证券收益，用证券的收益率的方差(原则差)表达风险这就是组合证券

38、投资模型的核心。Markowitz提出的预期效用极大化中的资产选择的原则是：当收益率条件固定期，追求最小的风险；在风险条件固定期，追求最大收益率。假设市场上有N种风险资产，表达第i种资产的收益率， 表达在第i种资产上的投资比例；两资产收益率的协方差记为以 ，i, j=1，N。 代表资产组合的盼望收益率。 Markowitz的组合投资模型 为 =1注：必须在一定的假设下Markowitz模型才得以成立；Markowitz假设：1)存在无风险利率，并对每个投资者来说无风险利率都是相似的。2)投资者对股票的种类没有辨别。3)投资者在证券交易过程中没有交易成本。4)所有的投资者都是理性的投资者，她们服

39、从不满足假设和回避风险假设，并以盼望收益和方差(或原则差)来评价证券及其组合。5)股票份额可以无限分割，投资者可以购买1股甚至05股。 在Markowitz看来整个投资过程的重心应当放在风险上，因此不能把所有的资金都压在一种股票上。中国市场还处在比较年轻的阶段，它尚有许多不完善地方，同步为了控制风险尚有许多限制性的规定，上述的某些假设必将影响这个领域中某些研究的可操作性。因此在本章我们将分析其中的某些假设并给出相应的解决措施。4.1 模型的建立与分析4.1.1股票交易额不可分割及无风险投资中国股市目前股票交易最低额为一手（100股），需要的最低金额和每笔交易必须是一手的整数倍。在这种状况下，模

40、型的参数表达每个证券的投资比例不是太以便，在这里我们定义的参数变量i的证券投资诸多，很显然她们是整数且是非负整数。除了投资者，总投资，由于投资符合整只手，一般有剩余资金的浮现，将导致闲置资金投入的资金，如果这些不属于，但如果你觉得无风险的投资，剩余资金存入银行或购买无风险证券也产生收入。考虑上述因素模型转化为如下形式( ):为第i种证券的市场价格;第i种证券的收益率;投资手数;第i，j种证券收益率的协方差;既定收益;无风险投资资金; M 投资总额;其中相应与模型(P1)， 的条件发生了变化，等式约束表达在拟定了总投资额M的状况下，当对第i种风险证券投资 手后，剩余资金 用于无风险投资；由于 的

41、意义发生了变化，不等式约束表达总收益要足够大；目的函数表达用组合收益的方差作为风险度量。4.1.2交易成本在投资活动中，每一次交易的发生，投资人都要按一定的比例向交易所和证券经纪人缴纳相应的费用，如手续费、税款和佣金等尽管交易成本比例很小也不能频繁交易简朴起见，在这里我们只考虑离散形式组合投资模型在证券市场，假定每一笔交易无论买入或卖出都要付出交易额倍的交易成本设Pio是第i种证券在0时刻的价格 ， 是第i种证券在1时刻的价格假设在0时刻买入一单位证券i，需资金 ；在1时刻卖出这一单位证券时可获资金 ，则在这段时间内，考虑交易成本的投资收益为若记为第i种证券根据市场价格计算的收益率，则第i种资

42、产的实际收益 为若选定N种证券进行投资，为在第i种资产上的投资手数(每手=100股)，pi为第i种资产的价格，则实际组合收益：实际组合风险为此时模型转化为P3模型P3与模型P2的不同之处在于考虑交易成本后，总的收益与风险都发生了变化。4.1.3风险偏好根据经济学的观点，每个理性投资者的投资规定是风险尽量小，面收益尽量大，即她们服从不满足假设和回避风险假设如果我们同步考虑组合的收益和风险，采用多目的单目的化的措施，目的函数可以变为：其中表达投资组合的收益，表达投资组合的风险，是风险厌恶系数，表达投资者对风险的态度显然，越小，表达投资者越不能接受风险当=0表达投资者完全规避风险，风险是她在投资过程

43、中考虑的唯一因素相反，当=1是表达投资者追求高收益，而完全忽视投资风险那么考虑具有风险偏好的模型为P4： i=1,N模型P3与模型P4应当具有相似的有效边界和最优解。4.1.4分类约束老式的组合投资模型对证券组合的种类没有作过多的分析。一般证券收益较高时其风险也较大，风险较小时其相应收益率也较小。事实上，就证券组合投资而言，大概有三种类型的组合：高风险组合，即选择销路好，预期赚钱超过公司平均收益的股票，如电力、制药、高科技公司等。中档风险组合，即选择某些债券和公用事业和成熟工业的股票，如汽车、化工、钢铁公司等。低风险组合，即选择政府债券和某些高质量的股票，收益不高但可靠。按照分散化原则，在证券

44、的选择上，既要考虑风险较小收益率较低的证券，如工艺成熟但将来发展机会相对较少的公司的股票，又要考虑风险较大收益率较高的证券，如迅速堀起的具有强大发展潜力的公司发行的股票。我们按照分散化原则选择证券种类，拟定不同类型证券的投资比例，可以合理构成证券组合达到合适增长收益和减少风险的目的，因此采用分类约束有很强的实际意义。 令Tk，k=1，m)为m种资产类型集合，它们彼此独立，即 ，那么对于属于第k种类型的资产，它们的投资比例应满足下式4.1.5模型描述通过上面的特性，可建立具有交易成本和分类约束并考虑投资人偏好的混合整数非线性规划模型P如下： k=1,m i=1,N其中，根据实际问题或者经验，我们

45、可以给出投资总额M，风险厌恶系数，以及交易成本系数，我们还懂得多种股票的价格张Pi，无风险证券的收益率r0，多种股票的收益率ri和协方差也可以通过样本均值和样本协方差估计得到。4.2 模型的遗传算法求解下面采用遗传上算法对模型进行求解，遗传算法第一次是出Holland在她的博士论文中提出，遗传算法是一种从适者生存概念和自然中抽象出来的基因算法与老式的优化技术比较，遗传算法的特点在于4：1）遗传算法的工作对象不是决策变量自身，而是将有关变量进编码所得的码，即位串：2）老式的寻优技术都是从一种初如点出发，再逐渐迭代以求最优解。遗传算法则否则，它是从点的一种群体出发通过代代相传求得满意解；3）遗传算

46、法只充足运用适应度函数（目的函数）的信息而完全不依托其他补充知识；4）遗传算法的操作规则是概率性而拟定性的。自从Holland提出遗传算法后来，出于遗传算法不同于老式的最优化措施，有其灵活性和易变性，在基本的遗传算法中，变异、选择、交叉、平行计算被改善发展来加速措施的收敛和措施的有效性，遗传操作重要有三种：1）选择算子（Selection/reprodution）:选择算子从群体中按某一概率成对选择个体，某个体被选择的概率与期 适应度值成正比，最一般的实现措施是轮盘算法（roulet tewheel）模型。2）交叉算子（CRossover）：交叉算子将被选中的两个个体的基因链按概率是一种系统参

47、数。3）按照个体适应值的大小，从种群中选出适应值较大的某些个体构成交配池；4）由交叉和变异这两个遗传算子对交配池中的个体进行操作，并形成新一代的种群；5）反复执行步聚24，直至满足收敛为止。4.2.1 编码原则遗传算法是以二进制字符串作为染色体的编码方式，在实际工程应用中，当设计变量较多且规定精度较高时，会导致染色体位数过长，占用更多的内存，且运算速度明显下降，因此这里采用改善的遗传算法编码措施。由于证券组合问题的可行解是实向量，记,这里即为多种证券的投资比例，因此可直接将这个向量看作长度为的染色体。4.2.2 动态惩罚函数 惩罚函数通过对不可行解施加某种惩罚，通过不断迭代后，使解群逐渐收敛于

48、可行的极值点目前该措施是遗传算法中求解约束优化问题的一种常用措施惩罚函数法的核心问题是对不可行解的惩罚函数的选用如果获得过大，有也许使算法过早收敛于非极值点；而获得过小，叉也许使算法的收敛性能很差采用动态惩罚函数法，即随着逐渐收敛到最优解，惩罚因子是不断变化的它的实质是：4.2.3 选择 选择措施采用比例选择和最优性选择相结合，比例选择根据每个适应值占总适应值的比例来产生新一代，最优性措施为下一代保持最优染色体，能克服采样带来的随机误差，比例选择过程描述如下：第1步：对每个染色体 计算累积概率 ；第2步：在0，1区间内产生随机数;第3步：如果,选择第1个染色体；否则选择满足的第个染色体;第4步

49、反复第2步至第3步以获得个下一代的染色体。对于每一轮选择过程中应用最优性选择算法的环节如下：第1步：找出目前群体中适应度最高的个体和适应度最低的个体。第2步：若目前群体中最佳个体的适应度比总的迄今为止的最佳个体适应度还要高，则以目前群体中的最佳个体作为新的迄今为止的最佳个体。第3步：用迄今为止的最佳个体替代掉目前群体中的最差个体。4.2.4 交叉在0，1区间内产生随机数，如果，其中为交叉概率，则选择目前的染色体作为父代进行杂交，反复该过程次，对于每个染色体对杂交操作将产生下面2个后裔；这里，其中是0，1区间内取到的随机数。4.2.5 变异采用均匀变异，变异概率 定义了执行变异操作的盼望染色体数

50、，对每个染色体在0，1区间内产生一种随机数，如果，则选择染色体进行变异，对于选出的后裔，再随机选择出其无素来进行变异，产生的后裔为其中是在。4.2.6 改善遗传算法的过程Stepl输入参数H、最大迭代次数G；Step2从搜索空间中随机产生H个染色体，并对其进行可行化；Step3通过选择、交叉、变异，更新染色体，并记录最佳的染色体；Step4计算每个染色体的适应值，采用比例选择方略来选择下一代染色体；Step5反复step3和step4，共G次；Step6记录最佳的染色体，作为问题的最优解。第五章 示例分析5.1数据示例选用了上证中有代表性的6种股票进行证券组合投资分析，她们的股票代码分别为60

51、0104，600001，600009，600005，600057并在选用16个周的周收益率作为它们的实际收益率，具体数据见表(一)表(一)续表(一)每股价格以11月3日收盘价为准，表(二) 根据上述数据计算出每只股票的盼望收益率和原则差和它们之间的协方差，下表列出这六只股票的平均收益率R和风险有关阵，见表(三)。表(三)为了对前一章提出的模型进行分析，我们把参数设立如下：总投资额：300,000元；交易成本系数：0.0075；风险偏好系数：0.5；无风险投资收益率：0.005；分类约束为：其中,i=1,6分别表达在每只股票上的投资手数，为用于无风险投资资金。5.2基本遗传算法一方面采用基本遗传

52、算法求解设定运营参数如下：群体大小： M=100;交叉概率：Pc=0.9;变异概率：；迭代次数：K=110;随机产生初始解； 如下图，在解的进化过程中，群体中个体适应度的最大值和平均值虽然又上下波动的状况，但总的来说却是呈现一种上升的趋势运用基本遗传算法求得的解为：49，208，10，40，0，3，30562。明显它是不可行解。通过度析觉得浮现这种状况重要是由于算法的搜索能力没能达到规定和惩罚因子的选择不是很合适，但对于这种问题拟定惩罚函数非常困难，由于这时既要考虑如何度量解对约束条件不满足的限度，又要考虑遗传算法在计算效率上的规定。如果惩罚函数的强度不够，运营过程中部分个体有也许破坏约束条件

53、，因此无法保证遗传运算所得到的个体一定是一种可行解；但如果惩罚函数的强度过大，又会导致个体的适应度无太大差距。削弱了个体之间的竞争力，从而会对遗传算法的运营效率产生悲观的影响。例如当我们把惩罚因子的强度加强时将会导致如下图所式的情形。虽然此时的最优解为可行解： 54，146，6，58，1，5,48018但由于问题的约束条件比较严格，只依托交叉算子和变异算子在搜索空间中生成新个体的能力就比较差，虽然可以生成某些新的个体，群体的多样性也会有较大限度的减少，从而对遗传算法的运营带来不利的影响5.3改善遗传算法分析群体大小： M=100;迭代次数：K=110;随机产生初始解；Pc，Pm均采用自适应算法拟定；5.3.1初始化种群体由于二进编码不适合解决