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1、（1） 设是一种实的零均值二阶矩过程，其有关函数为，且是一种周期为的函数，即，求方差函数。解：由定义，有：（2） 试证明：如果是一独立增量过程，且，那么它必是一种马尔可夫过程。证明：我们要证明：，有形式上我们有：因此，我们只要能证明在已知条件下，与互相独立即可。由独立增量过程的定义可知，当时，增量与互相独立，由于在条件和下，即有与互相独立。由此可知，在条件下，与互相独立，成果成立。（3） 设随机过程为零初值（）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个，问过程与否为正态过程，为什么？解：任取，则有：由平稳增量和独立增量性，可知并且独立因此是联合正态分布的，由可知是正态过程。（4） 设为为零初值的
2、原则布朗运动过程，问次过程的均方导数过程与否存在？并阐明理由。解：原则布朗运动的有关函数为：如果原则布朗运动是均方可微的，则存在，但是：故不存在，因此原则布朗运动不是均方可微的。（5） 设，是零初值、强度的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均方意义下，与否存在，为什么？解：泊松过程的转移率矩阵为：其有关函数为：，由于在，持续，故均方积分存在。（6） 在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一种循环与否有误差有关，以0表达误差状态，1表达无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：试阐明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为。（7） 设齐次
3、马氏链一步转移概率矩阵如下：（a）写出切普曼柯尔莫哥洛夫方程（CK方程）；（b）求步转移概率矩阵；（c）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？解：（a）略 （b）（c）此链不具遍历性（8） 设，其中为强度为的Poission过程，随机变量与此Poission过程独立，且有如下分布：问：随机过程与否为平稳过程？请阐明理由。由于：故是平稳过程。（9） 设，其中与独立，都服从（a）此过程与否是正态过程？阐明理由。（b）求此过程的有关函数，并阐明过程与否平稳。证明：（a）任取 ，则有：由于与独立，且都服从，因此可得服从正态分布，由上式可知随机向量 服从正态（高斯）分布，因此过程是正态（高斯）过程。（b）
4、由：由于有关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。（10） 设，是零初值、强度的泊松过程。（a）求它的概率转移函数；（b）令，阐明存在，并求它的二阶矩。解：（a） （b）先求有关函数：对任意的，在处持续，故均方持续，因此均方可积，存在。将代入计算积分即可。由，得：（11） 设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。目前不断地随机逐个摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以表达第次取出球后的合计积分，（a），与否齐次马氏链？阐明理由。（b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率
5、和两步转移概率。（c）令，求。解：（a）是齐次马氏链。由于目前的积分只与近来一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。状态空间为：。（b） （c）即求首达概率，注意画状态转移图。（12） 考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是原则正态分布的随机变量。（a）求的均值、方差和有关函数；（b）若与独立，求与的互有关函数。解：（a），（b）（13） 令谐波随机信号： 式中为固定的实数；是内均匀分布的随机变量，考察两种状况：（a）幅值为一固定的正实数；（b）幅值为一与独立，分布密度函数为的随机变量；试问谐波随机信号在两种状况下是平稳的吗？（a）如12题（b
6、）略（14） 设是一强度为的Poission过程，记，试求随机过程的均值和有关函数。解：运用导数过程有关函数与原过程有关函数的关系即可得：（15） 研究下列随机过程的均方持续性，均方可导性和均方可积性。当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和有关函数。（a），其中是互相独立的二阶矩随机变量，均值为，方差为；（b），其中是互相独立的二阶矩随机变量，均值为，方差为。略（16） 求下列随机过程的均值函数和有关函数，从而鉴定其均方持续性和均方可微性。（a），其中是参数为1的Wienner过程。（b）,其中是参数为的Wienner过程。解：（a） 持续，故均方持续，均方可积。（b） 均方持续，均方可积
7、。（17） 讨论Wienner过程和Poission过程的均方持续性、均方可导性和均方可积性。解：略。（18） 设有平稳随机过程，它的有关函数为，其中为常数，求（为常数）的自协方差函数和方差函数。解：略。（19） 设有实平稳随机过程，它的均值为零，有关函数为， 若，求的自协方差函数和方差函数。解：（20） 设和是参数分别为和的时齐Poission过程，证明在的任一达到时间间隔内，恰有个事件发生的概率为：证明：令为的任一达到时间间隔并且，即的分布密度为：由此可知：（21） 设随机振幅、随机相位正弦波过程，其中随机变量和互相独立，且有分布：令： 试求过程的均值函数。解：由定义，随机过程的均值函数为
8、：而由于当时，随机变量的分布密度为：因此有：即： （22） 设有一泊松过程，固定两时刻，且，试证明证明：由于，有其中因此（23） 设为零均值的原则布朗运动，和为两个待定的正常数（），问在什么状况下仍为原则的布朗运动？阐明理由。解：由为原则布朗运动可知为正态过程，由正态分布的性质可知为正态过程，令，则有因此，要使仍为原则的布朗运动，必须，即：（24） 设有无穷多只袋子，各装有红球只，黑球只及白球只。今从第1个袋子随机取一球，放入第2个袋子，再从第2个袋子随机取一球，放入第3个袋子，如此继续。令（a）试求的分布；（b）试证为马氏链，并求一步转移概率。解：（a）的分布为：（b）的一步转移概率为：（2
9、5） 设有随机过程，与是互相独立的正态随机变量，盼望均为0，方差分别为和。证明过程均方可导，并求导过程的有关函数。证明：计算得：由于有关函数的导数为：它是一持续函数，因此过程均方可导，导过程的有关函数由上式给出。（26） 设是初值为零原则布朗运动过程，试求它的概率转移密度函数。解：由原则维纳过程的定理：设为原则维纳过程，则对任意，的联合分布密度为：其中：可知：当时，的联合分布密度为：的分布密度为：因此（27） 设有微分方程，初值为常数，是原则维纳过程，求随机过程在时刻的一维概率密度。解：方程的解：由于为维纳过程，故为正态过程，因此有：故的一维概率密度为：（28） 设给定随机过程及实数，定义随机过程试将的均值函数和自有关函数用过程的一维和二维分布函数来表达。解：由均值函数的定义，有：由自有关函数的定义，有：（29） 设是一种零均值的平稳过程，并且不恒等于一种随机变量，问与否仍为平稳过程，为什么？不是平稳过程（30） 设为平稳过程，其自有关函数是觉得周期的函数，证明：是周期为的平稳过程。证明：由于由切比雪夫不等式有：由有关函数的周期性，可知：对于，有：因此即是周期为的平稳过程。
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