空间向量与立体几何专题(含答案)

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1、高考专项复习空间向量与立体几何一、近年考情分析与广东命题走势纵观07-10广东试题，我们可以发现，此部分内容波及试题数及分值为：考点题号和分值试题特点多面体及简朴多面体的概念、性质第5题（5分）第6题（5分）结合三视图中的数据求空间几何体的表面积或体积空间点、线、面的位置关系第12题（5分）第5 题（5分）运用定理或举反例判断有关线面关系命题的真假空间距离和角第19题（14分）第20题（14分）第18题（14分）第18题（14分）先考察简朴线面位置关系，重要是平行和垂直，背面部分才考察空间中的距离和角。几何法要按照“一作二证三计算”的环节来完毕，也可用空间向量解决。空间向量第10题（5分）空间

2、向量的基本运算立体几何的复习要牢固树立如下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面垂直(或平行)，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)二、广东考题剖析及热点题型讲析热点1 空间几何体的构造、三视图、直观图1（广东5）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED2（广东6）如图1,ABC为正三角形,AA/BB/CC,CC平面ABC且3AA=BB=CC=AB,则多面体ABC-ABC的正视图(也称主视图)是 ( D

3、 )3.【陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.2 B.1 C. D.【答案】B 本题考察立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,因此其体积为.4.【全国卷2理数】已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】本试题重要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为a，则高因此体积，设，则，当y取最值时，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.5如下图所示，四边形OABC是上底为2下底为6，底角为45度的等腰梯形，由斜二侧画法，画出这个梯形的直观图OABC，在直观图中梯形的高为（ C

4、 ）A、 B、1 C、 D、6.（全国新卷理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一种球面上，则该球的表面积为(A) (B) (C) (D) 【答案】B 解析：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知，因此球的半径满足：，故热点2 点线面的位置关系空间点、线、面位置关系是立体几何中的重要关系，在高考中，选择题、填空题几乎年年考，且常以棱柱、棱锥、和正方体为背景，重要考察平面的基本性质、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考核对图形的辨认、理解和加工能力。1.（广东5）给定下列四个命题：若一种平面内的两条直线与另一种平面都平行，那么这两个平面互相平行；若一种平面通过

5、另一种平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；垂直于同始终线的两条直线互相平行；若两个平面垂直，那么一种平面内与它们的交线不垂直的直线与另一种平面也不垂直其中，为真命题的是( D )和 和 .和 和2图4.（12）如果一种凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所拟定的直线共有_条，这些直线中共有对异面直线，则；f(n)=_(答案用数字或n的解析式表达) 答案：;8;n(n-2)。3.【浙江理数】设，是两条不同的直线，是一种平面，则下列命题对的的是（ ）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B4【宁波市二模】已知表达两个互相垂直的平面，表达一对异面直线，则 的一种充足条件是（ ）

6、A. B. C. D. 【答案】D 依题意，a ,则a平行或在内，由于b，则，选择D.5.（上海春15）若空间三条直线a、b、c满足，则直线a与c（）（A）一定平行；（B）一定相交；（C）一定是异面直线； （D）平行、相交、是异面直线均有也许答案：D解析：由直线的位置关系可知也许平行，可以相交，也可以异面，故选D。6.（江西卷11）如图，M是正方体的棱的中点，给出下列命题过M点有且只有一条直线与直线、都相交；过M点有且只有一条直线与直线、都垂直；过M点有且只有一种平面与直线、都相交；过M点有且只有一种平面与直线、都平行. 其中真命题是：A B C D 【答案】C【解析】考察立体几何图形中相交平

7、行垂直性质7.（北京卷16）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=,CE=EF=1（）求证：AF/平面BDE；（）求证：CF平面BDF;空间中的角和距离空间角涉及异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角，对这三种角，重要理解它们的概念和范畴，在论证的基本上转化为平面角来表达，再用解三角形的措施来解，也可以通过建立坐标系后运用空间向量措施求解。用空间向量解决立体几何问题的必备知识：(1)设直线AB是平面的斜线，向量n为平面的一种法向量，则直线AB与平面所成角的正弦值等于|cos，n|；(2)设二面角的两个半平面，的一种法向量分别是n1，n2，则二面

8、角的余弦的绝对值等于|cosn1，n2|；具体符号是正是负看二面角的大小(3)设AB，CD是两条异面直线，则它们所成角的余弦值等于|cos，|(4)设A是平面外一点，O是平面内任意一点，n为平面的一种法向量，则点A到平面的距离是：d；(5)设AB，CD是两条异面直线，且n，n，则这两条异面直线之间的距离是：d；(6)设P为直线AB外一点，则点P到直线AB的距离是：d.1.（广东卷理10）若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1)满足条件()(2)=-2,则= .【解析】，解得2. 如图，正方体ABCD中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为

9、（ B ）A. B. C. D. 3. 如图，长方体ABCD中，AC与BD的交点为M，设，则下列向量中与相等的向量是（ A ）A. B. C. D. 4.【全国卷1文数】正方体-中，与平面所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.【答案】D1（广东19）（本小题满分14分）如图6所示，等腰三角形ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EFAB，现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE，记BE=x，V（x）表达四棱锥P-ACEF的体积。 （1）求V(x)的体现式； （2）当x为什么值时，V(x)获得最大值？ （3）当V（x）获得最大值时，求异面

10、直线AC与PF所成角的余弦值。19:解（1）由折起的过程可知，PE平面ABC，V(x)=（）（2），因此时， ，V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)获得最大值；（3）过F作MF/AC交AD与M,则，PM=，在PFM中， ，异面直线AC与PF所成角的余弦值为；2（广东卷20）（本小题满分14分）FCPGEAB图5D如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，垂直底面，分别是上的点，且，过点作的平行线交于（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积解：（1）在中，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即为觉得直角的直角三

11、角形。设点到面的距离为,由有,即 ，;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）时,即,的面积3（广东卷理18）（本小题满分分）如图，已知正方体的棱长为，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影（）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（）证明：直线；（）求异面直线所成角的正弦值解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，.（2）觉得坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，则，即，又，平面.（3），则，设异面直线所成角为，则.4（广东卷理18）（本小题满分14分）如图5，是

12、半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=a，FE=a.(1) 证明：EBFD；(2) 已知点Q，R分别为线段FE，FB上的点，使得FQ=FE，FR=FB，求平面BED与平面RQD所成的二面角的正弦值。（1）证明： 连结，由于是半径为的半圆，为直径，点为的中点，因此。在中，。在中，为等腰三角形，且点是底边的中点，故。在中，所觉得，且。由于，且，因此平面，而平面，。由于，且，因此平面，而平面，。（2）设平面与平面RQD的交线为.由，知.而平面，平面，而平面平面= ，.由（1）知，平面，平面，而平面，是平面与平面所成二面角的平面角在

13、中，在中，由知，由余弦定理得，由正弦定理得，即，。故平面与平面所成二面角的正弦值为。5.（福建卷理18）如图，圆柱内有一种三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆的直径。（）证明：平面平面；（）设。在圆柱内随机选用一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。（）当点在圆周上运动时，求的最大值；（）记平面与平面所成的角为（090）。当取最大值时，求的值。【命题意图】本小题重要考察直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基本知识，考察空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考察数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。【解析】（）由于平面ABC，平面ABC

14、，因此，由于AB是圆O直径，因此，又，因此平面，而平面，因此平面平面。（）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为=，又由于，因此=，当且仅当时等号成立，从而，而圆柱的体积，故=当且仅当，即时等号成立，因此的最大值是。（ii）由（i）可知，取最大值时，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），由于平面，因此是平面的一种法向量，设平面的法向量，由，故，获得平面的一种法向量为，由于，因此。6. 13.（江苏卷16）如图，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC，BCD=900(1) 求

15、证：PCBC(2) 求点A到平面PBC的距离解析 本小题重要考察直线与平面、平面与平面的位置关系，考察几何体的体积，考察空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。（1）证明：由于PD平面ABCD，BC平面ABCD，因此PDBC。由BCD=900，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，因此BC平面PCD。由于PC平面PCD，故PCBC。（2）（措施一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC平面PCD，因此平面PBC平面PCD于PC，由

16、于PD=DC，PF=FC，因此DFPC，因此DF平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。（措施二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。由于ABDC，BCD=900，因此ABC=900。从而AB=2，BC=1，得的面积。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。由于PD平面ABCD，DC平面ABCD，因此PDDC。又PD=DC=1，因此。由PCBC，BC=1，得的面积。由，得，故点A到平面PBC的距离等于。7.（浙江卷理20）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻

17、折，使与重叠，求线段的长。解析：本题重要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基本知识，空间向量的应用，同事考察空间想象能力和运算求解能力。（）解：取线段EF的中点H，连结，由于=及H是EF的中点，因此,又由于平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一种法向量， -2x+2y+2z=0因此 6x=0.取，则。又平面的一种法向量，故。因此二面角的余弦值为（）解：设则， 由于翻折后，与重叠，因此， 故， ，得， 经检查，此时点在线段上，因此。措施二：（）解：取线段的中点,的中点,连结。 由于=及是的中点，因此又由于平面平面，因此平面,又平面,故，又由于、是、的中点，易知，因此，于是面，所觉得二面角的平面角，在中，=，=2，=因此.故二面角的余弦值为。（）解：设, 由于翻折后，与重叠，因此， 而， 得，经检查，此时点在线段上，因此。