高等数学第六版上下册全同济大学出版社

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1、第一章 分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节映射与函数目录 上页 下页 返回 结束 元素 a 属于集合 M,记作元素 a 不属于集合 M,记作一、一、集合集合1.定义及表示法定义及表示法定义定义 1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集,记作 .Ma(或Ma).Ma注注:M 为数集*M表示 M 中排除 0 的集;M表示 M 中排除 0 与负数的集.简称集集简称元元目录 上页 下页 返回

2、结束 表示法表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例例:有限集合naaaA,21niia1自然数集,2,1,0nNn(2)描述法：xM x 所具有的特征例例:整数集合 ZxNx或Nx有理数集qpQ,NZ qp p 与 q 互质实数集合 Rx x 为有理数或无理数开区间 ),(xbabxa闭区间 ,xbabxa目录 上页 下页 返回 结束)(aa ),(xaU ),xbabxa ,(xbabxa无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx点的 邻域邻域a ),(xaUaxa xaxax0其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心 邻域邻域左左 邻域邻域:,),(a

3、a右右 邻域邻域:.),(aa目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集子集,或称 B 包含 A,2.集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2.则称 A.BA若BA,AB 且则称 A 与 B 相等相等,.BA 例如,ZNQZRQ显然有下列关系:;)1(AA;AA BA)2(CB 且CA,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有目录 上页 下页 返回 结束 OyxAcABB定义定义 3.给定两个集合 A,B,并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算:ABBA余集)(ABBABcA其中直积 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABA

4、BBABABx或目录 上页 下页 返回 结束 二、二、映射映射某校学生的集合某校学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合按一定规则入座引例引例1.目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2.xxysinRxRy引例引例3.Oxy1QP1),(22yxyxC11),0(yyY(点集)(点集)CP点向 y 轴投影YQ投影点xysinxy Oxy1x2xxxysin目录 上页 下页 返回 结束 定义定义4.设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射

5、,记作.:YXf元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像像,记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像原像.集合 X 称为映射 f 的定义域定义域;Y 的子集)(XfRfXxxf)(称为 f 的 值域值域.注意注意:1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.XYfxy目录 上页 下页 返回 结束 对映射YXf:若YXf)(,则称 f 为满射满射;XYf)(Xf若,2121xxXxx有)()(21xfxf则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射.XY)(Xff目录 上

6、页 下页 返回 结束 例例1.三角形)(三角形集合海伦公式bcaS面积),0(例例2.如图所示,SxyOxyex),0 x对应阴影部分的面积),0S则在数集),0自身之间定义了一种映射(满射满射)例例3.如图所示,xyO),(yxrcosrx sinry 2),(Ryxf)2,0),0),(r:f则有(满射满射)(满射满射)目录 上页 下页 返回 结束 X(数集 或点集)说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X()Y(数集)f f 称为X 上的泛函X()X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的函数映射又称为算子.名称.例如,目录 上页 下页 返回 结束 定义域三、函数三

7、、函数1.函数的概念函数的概念 定义定义5.设数集,RD则称映射RDf:为定义在D 上的函数,记为Dxxfy,)(称为值域 函数图形函数图形:),(yxC Dx,)(xfy)(DfD自变量因变量xy),(baDabxyODxxfyyDfRf),()(目录 上页 下页 返回 结束 DxfDxxfyyDfRyf),()(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值xxfyarcsin)(,1,1D,)(22Df 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法:解析法、图像法、列表法使表达式或实际问题有意义的自变量集合.定义域值域 xxf)(又如,绝对值函数xyOxy 0,xx0,xx定义域RD值 域),

8、0)(Df对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；Oy211x2目录 上页 下页 返回 结束 例例4.已知函数 1,110,2)(xxxxxfy解解:)(21f及.)(1tf写出 f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域),0D值域),0)(Df21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2txyOxy2xy11目录 上页 下页 返回 结束 2.函数的几种特性函数的几种特性设函数,)(Dxxfy且有区间.DI(1)有界性有界性,Dx,0M使,)(Mxf称)(xf,Ix,0M使,)(Mxf称)(xf说明说明:还可定义有上界、有下界、无界.(2)单调

9、性单调性为有界函数.在 I 上有界.,Dx使若对任意正数 M,均存在,)(Mxf则称 f(x)无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界,)(,Mxf),(,xfM 当时，2121,xxIxx,)()(21xfxf若称)(xf为 I 上的,)()(21xfxf若称)(xf为 I 上的单调增函数;单调减函数.1x2xxyO(见 P11)目录 上页 下页 返回 结束(3)奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若,)()(xfxf则称 f(x)为偶函数;若,)()(xfxf则称 f(x)为奇函数.说明说明:若)(xf在 x=0 有定义,.0)0(f)(xf为奇函数奇函数时,xyOxx则当必有例如,2ee)

10、(xxxfyxch 偶函数xyOxexexych双曲余弦 记目录 上页 下页 返回 结束 又如,奇函数xsh双曲正弦 记再如,xxychsh奇函数xth双曲正切 记说明:给定 ),(),(llxxf则 2)()(2)()()(xfxfxfxfxf偶函数偶函数 奇函数奇函数 Oyx11xythxyOxexexysh2ee)(xxxfyxxxxeeee目录 上页 下页 返回 结束(4)周期性周期性,0,lDx且,Dlx)()(xflxf则称)(xf为周期函数,xO2y2若称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 周期为2注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数Cxf)(狄利克雷函数)(

11、xfx 为有理数x 为无理数,1,0t)(tf22O目录 上页 下页 返回 结束 3.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数)(:DfDf为单射,则存在一新映射习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数.,其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增,)(1存在xfy且也单调递增 性质:,)(:1DDff使,)(,)(1xyfDfy其中,)(yxf目录 上页 下页 返回 结束 2)函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称.例如,),(,exyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数,它们都单调递增,其图

12、形关于直线xy 对称.指数函数xyO)(xfy)(1xfyxy),(abQ),(baP目录 上页 下页 返回 结束 gR(2)复合函数 fDuufy),(,),(DxxgufgDR 且则Dxxgfy,)(设有函数链称为由,确定的复合函数,u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 fgDR 不可少.例如,函数链:,arcsinuy,cosxu,cosarcsinxy xR但可定义复合函数21xu时,虽不能在自然域 R下构成复合函数,可定义复合函数 1,1,)1arcsin(2xxy当改DgfDfyux目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数.例如,0,uuy可定义复合函数:,

13、2cotxy,)12(,2(kkxZk02cot,22xkxk时),2,1,0(,cotkkvvu),(,2xxv约定约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.目录 上页 下页 返回 结束 4.初等函数初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,2xy y0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P17 P20)目录 上页 下页 返回 结

14、束 非初等函数举例:符号函数xysgn当 x 0,1当 x=0,0当 x 0,1xyO11取整函数xy 当Znnxn,1,nxyO412321目录 上页 下页 返回 结束 设函数,1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf x 换为 f(x)1)(,)(xfxf0 x0,49xx1)13(3x10,13xx1,xx例例5.)(xff求解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求y的反函数及其定义域.解解:01x当时,2xy 则1,0(,yyx10 x当时,xyln则0,(,eyxy21 x当时,1e2xy则e2,2(,ln12yxy反函数y1,0(,xx0,(,exxe2

15、,2(,ln12xx定义域为e2,2(1,(21,e210 ,ln01,12xxxxxx212e211,1,0(,0,(,e2,2(yOx目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构 作业作业 P21 4(5),(8),(10);6;8;9;13;16;17;18 2.函数的定义及函数的二要素第二节 目录 上页 下页 返回 结束 且备用题备用题0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 证明)(xf证证:令,1xt 则,1tx t ctfbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxaxbabcxf),()(xfxf显然,0)0(f又)(xf故0 x时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设目录 上页 下页 返回 结束 2.设函数),(,)(xxfy的图形与,ax 均对称,求证)(xfy 是周期函数.)(baby证证:由)(xaf)(xf的对称性知),(xaf)(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)(axaf)2(xaf)2(bxabf)2(bxabf)(2abxf故)(xf是周期函数,周期为)(2abT