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1、4.3简单线性规划的应用第三章 不等式1.掌握简单线性规划解题的基本步骤.2.了解实际线性规划中的整数解求法.3.会求一些简单的非线性函数的最值.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一用线性规划解决问题的过程1.寻找约束条件，2.建立目标函数，3.画出可行域，4.求出最优解.知识点二非线性约束条件思考类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(xa)2(yb)2r2的可行域.答案梳理梳理约束条件不是 不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件.二元一次知识点三非线性目标函数思考在问题“若x、y满足 求z 的最大值”中，你能仿照目标函数zaxby的几何意义来解释z 的
2、几何意义吗？z 的几何意义是可行域内的点(x，y)与点(1,1)连线的斜率.答案梳理梳理下表是一些常见的非线性目标函数.目标函数目标函数变形几何意义最优解求法zaxby(ab0)y 是平移直线y ，使_ _在y轴上的截距 在y轴上的截距最大(或最小)(xa)2(yb)2令m(xa)2(yb)2，则目标函数为()2点 与点 _距离的_改变圆(xa)2(yb)2r2的半径，寻求可行域最先(或最后)与圆的_ 点 与定点 _连线的_绕定点(a，b)旋转直线，寻求与可行域最先(或最后)相交时的直线_(x，y)(a，b)平方交点(x，y)(a，b)斜率斜率题型探究类型一实际生活中的线性规划问题例例1某企业
3、生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，求该企业每天可获得的最大利润.解答 甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128设该企业每天生产甲、乙各x、y吨，则有其可行域如图，其中A(2,3)，设企业每天可获利润为z3x4y，易知A为最优解，zmax324318.跟踪训练跟踪训练1预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？解答设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数
4、zxy，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为O 为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，由图形可知，目标函数zxy在可行域内经过点B 时取得最大值，但注意到xN，yN，故取故买桌子25张，椅子37把是最好的选择.类型二非线性目标函数的最值问题命题角度命题角度1斜率型目标函数斜率型目标函数例例2已知实数x，y满足约束条件试求z 的最大值和最小值.解答故z的几何意义是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率，因此 的最值是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率的最值，如图所示，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又B(0,2)，C(1,0)，zmaxkMB3，zminkMC .z的最大值为3，
5、最小值为 .引申探究引申探究1.把目标函数改为z ，求z的取值范围.解答由图易知，kNCkkNB，2.把目标函数改为z，求z的取值范围.解答反思与感悟对于形如 的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题.跟踪训练跟踪训练2实数x，y满足 则z 的取值范围是答案解析A.1,0 B.(，0C.1，)D.1,1)作出可行域，如图所示，的几何意义是点(x，y)与点(0,1)连线l的斜率kl，当直线l过B(1,0)时kl最小，最小为1.又直线l不能与直线xy0平行，kl1.综上，k1,1).命题角度命题角度2两点间距离型目标函数两点间距离型目标函数例例3已知x，y满足约束条件试求zx2y2的最
6、大值和最小值.zx2y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小.解答反思与感悟当斜率k、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用.跟踪训练跟踪训练3变量x、y满足约束条件解答(1)设z ，求z的最小值；作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由约束条件解答(2)设zx2y2，求z的取值范围；zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dminOC ，dmaxOB ，即2z29.(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围.zx2y26x4y13
7、(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到点(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax8.所以16z64.解答当堂训练1.已知点P(x，y)的坐标满足约束条件 则x2y2的最大值为1234答案解析A.B.8C.16 D.10画出不等式组对应的可行域如图所示，12342.毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为_元.1234答案解析船型每只船限载人数租金(元/只)大船512小船38116设该班租了x只大船
8、，y只小船，则有1234可行域为如图阴影部分中的整点，设该班所付租金为z元，则故取(9,1)，zmin1298116元.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界).z可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1,1)连线的斜率.由图可知z的最大值为kAB3.3.若x、y满足约束条件 则z 的最大值是_.1234答案解析3实数x，y满足的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，12344.已知实数x，y满足约束条件 则zx2y2的最小值为_.答案解析则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin .规律与方法1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)应结合可行域与目标函数微调.3.对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x2y2是点(x，y)到点(0,0)的距离的平方，而非距离.本课结束
数学 第三章 不等式 4.3 简单线性规划的应用 北师大版必修5
