多属性决策问题multiattributedecisionmakingproblem)

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1、第十章多属性决策问题（Multi-attributeDecision-makingProblem）即:有限方案多目标决策问题主要参考文献:68，112，15210.1概述MC彳MAMOY=yiii1inyij=fj(xi)ijjiy1xy111xyii1xmym1mm1yjy1jyijymjyny1nyinymn一、决策矩阵（属性矩阵、属性值表）方案集X=x1,x2,xm方案x的属性向量i当目标函数为f时,j各方的属性值可列成表（或称为决策矩阵）:例:学校扩建学校序号费用（万元）平均就读距离km1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例：表10.1研究生院试评估

2、的部分原始数据人均专著（本从）y生师比y2科研经费（万元/年）y3逾期毕业率（%）y410.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.2二、数据预处理数据的预处理(又称规范化)主要有如下三种作用。首先，属性值有多种类型。有些指标的属性值越大越好，如科研成果数、科研经费等是效益型；有些指标的值越小越好，称作成本型。另有一些指标的属性值既非效益型又非成本型。例如研究生院的生师比，一个指导教师指导4至6名研究生既可保证教师满工作量，也能使导师有充分的科研时间和对研究生的指导时间，生师比值过高，学生的培养质量难以保证；比值过低；教师

3、的工作量不饱满。这几类属性放在同一表中不便于直接从数值大小来判断方案的优劣，因此需要对属性表中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越优的值在变换后的属性表中的值越大。其次是非量纲化。多目标评估的困难之一是指标间不可公度，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位(量纲)。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不同。在用各种多目标评估方法进行评价时，需要排除量纲的选用对评估结果的影响，这就是非量纲化，亦即设法消去(而不是简单删去)量纲，仅用数值的大小来反映属性值的优劣。第三是归一化。原属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，如总经费即使以万元为单位，其数量级往往在千(103)、万

4、(104)间，而生均在学期间发表的论文、专著的数量、生均获奖成果的数量级在个位(100)或小数(101)之间，为了直观，更为了便于采用各种多目标评估方法进行比较，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数均变换到0，1区间上。此外，还可在数据预处理时用非线性变换或其他办法来解决或部分解决目标间的不完全补偿性。常用的数据预处理方法有下列几种。(1)线性变换效益型属性：z=y/ymax(10-1)ijijj变换后的属性值最差不为0，最佳为1成本型属性z=1-y/ymax(10-2)ijijj变换后的属性值最佳不为1，最差为0或z=ymin/y(10-2)ijjij变换后的属性值最差不为0，最佳为1,

5、且是非线性变换表10.2表10.1经线性变换后的属性值*Zi（yi）Z3（y3）z（y4）44丿Z（y）44丿10.03571.00000.00000.255320.07140.80000.53190.545530.21430.25200.36170.400040.10710.60000.17020.307751.00000.05680.74471.0000(2)标准0-1变换效益型：zijy-yminjj1maxymijj(10.3)成本型:zijymaxymaxymijj(10.4)特点：每一属性，最佳值为1，最差值为0，而且变换后的差值是线性的.*Zi(yi)Z3(y3)z(y4)44丿

6、10.00001.00000.000020.03700.78800.714230.18520.20700.485740.07410.57590.228651.00000.00001.0000表10.3表10.1经标准0-1变换后的属性值(3)最优值为给定区间时的变换若yij1-(y0j-yij)/(y0j-yj)jijjjzij11-(y-y*j)/(yj”-y*j)ijjjj其中,yj为无法容忍下限,yj”为无法容忍上限若y0yijy0jy0j=i且j=2且j=n均满足时，方案X被接受ijji主要缺点：目标间不能补偿，例研究生录取时教委规定的单科分数线.逻辑和法（Disjunctive或门）

7、规定y*j=l,2,n若yy*j=1或2或n时方案X被接受。往往作为上法的补充.jijji这些方法用于初始方案过的预选,不能用于方案排序ordering次序，优先序也不能用于方案分等Ranking量化优先程度. 10.2加权和法一、引言多目标决策的特点:目标间的矛盾性,各属性值不可公度.这二难点不可公度虽可通过属性矩阵的规范化得到部分解决,但前述规范化过程不能反映目标的重要性权：目标重要性的度量,即衡量目标重要性的手段.权的三重含义:决策人对目标的重视程度;各目标属性值的差异程度; 各目标属性值的可靠程度;权应综合反映三种因素的作用.通过权，将多目标决策问题化为单目标求解.1. 二、字典序法与

8、一般加权和法字典序法ww时的加权和法12即某个目标特别重要,实质上是单目标决策,最重要目标的属性值相同时，再比较第二重要的属性,如此继续.2. 一般加权和法加权和法的求解步骤很简单：Zi=1,，m;j=1,，n.属性表规范化，得j_wj=l,，n.确定各指标的权系数j_c=wz的大小排出方案i（i=l,m）的优劣根据指标1.1jjji加权和法，包括评分打点，由于其简单、明了（直观），是人们最经常使用的多目标评价方法。采用加权和法的关键在于确定指标体系并设定各最低层指标的权系数：有了指标体系就可以设法利用统计数据或专家打分给出属性值表；有了权系数，具体的计算和排序就十分简单了。正因为此，以往的各

9、种实际评估过程中总要把相当大的精力和时间用在确定指标体系和设定权上。加权和法常常被人们不适当地使用，这是因为许多人并不清楚：使用加权和法意味着承认如下假设：立的个属性都是相互价值独指标体系为树状结构，即每个优劣与属属性值大小小成比例輕每个属性的边际价值是线性的劣属上匕恥、，、差都可用其他属性来补偿。事实上，这些假设往往都不成立。首先属指标体系通常是网状的，即至少有-个下级指标同时与二个或二个以上的上级指标相关联，也就是说某个属性可同时反映两个上级目标达到的程度。其次属属性的边际价值的线性常常是局部的属甚至有最优值为给定区间或点的情况存在；属性间的价值独立性条件也极难满足属至少是极难验证其满足。

10、至于属性间的可补偿性通常只是部分的、有条件的。因此属使用加权和法要十分小心。不过属对网状指标体系属可以用层次分析法中的权重设定和网状指标的权重递推法设定最低层权重(见下节)。当属性的边际价值函数为非线性时可以用适当的数学方法进行数据预处理；属性间的不完全补偿性也可通过适当处理属例如用逻辑乘法预先删除具有不可补偿属性的方案等。只要认识到加权和法本身存在的种种局限性并采取相应的补救措施属则加权和法仍不失为一种简明而有效的多目标评价方法。1. 三、确定权的常用方法最小平方误差法见教材第174页.与主观慨率中的方法类似.本征向量法w/w11w/w21w/w12w/w22w/w“1 nw/w2 n广w1

11、w2Aw=w/wn2w/wnnw/wn1=nw即(A-nI)w=0如A的估计不够准确，则A中元素的小的摄动意味本征值的摄动，从而1. Aw=九wmax由此可求得w四、层次分析法AHP由决策人利用P177之表10.2构造矩阵A;用本征向量法求九wmax矩阵A的一致性检验：n345678910RI0.580.91.121.241.321.411.451.49九03.1164.075.456.627.798.9910.1611.34CI=ii,同阶矩阵的随机性指标(RandomIndex)maxiii,致性比率(ConsistanceRate)maxn一1CR=CI/RICR0.1(即九max大于同

12、阶矩阵相应的九0)时不能通过一致性检验，应该重新估计矩阵A.maxCR1，判定方案总体优劣A则xAxikv1/AxYxik其它xxA(xAx)ikik第二步计算排队指标值比x优的方案个数记为q.ii比x差的方案个数记为pii的排队指标值：V=P.-qiii第三步按V的大小排定方案的优劣次序i缺点：因无决策矩阵，不能反映优先程度例：y1y2x1loo1x2i1.01设w1=0.4w2=0.6A=1.2o=0A。(x2Ax)=1.5A所以x2Ax,这与加权和法的结果大相径庭凡是属性值均能定量来表示的，不宜用此法10.5ELECTRE法国人：B.Roy提出的一、级别高于关系(OutrankingRe

13、lation)定义给定决策人的偏好次序和属性矩阵yj当人们有理由相信x优于x”称x的级别高于x”,记作xSx”Notes:ii,理由：同基于相对位置的方案排队法2.定义：(P193定义10.2)给定方案集X,x,X隹X，当且仅当X中存在U1，u2，.,Uj；气，v2,，vk；jn1,k1,使xSx”(或者xSu,uSU，uSx”)且x”Sx(或者x”Sv,vSv，vSx)则称112j112kX”与x级别无差异，记作xSX”。二、级别高于关系的性质：1. 弱传递性：xSx且y(x)y(X”)nxsx”00或y(x)y(x)且xSx”nxSx”00自反性XSXXSXS是对称的允许不可比性级别高于关

14、系的构造以决策矩阵为基础(不作规范化)第一步：设定各属性的权w第二步：进行和谐性检验(ConcordanceTest)1.构造指示集(属性序号分类)不失一般性,假设各属性值愈大愈优.J+(x,x)=j|1jy(x)ikjijk八(x,x)=j|1jn,y(x)=y(x)ikjijk八(x,x)=j|1jn,y(x)vy(x)1. ikjijk计算和谐性指数I=(Yw+Ywn)/YwikjjjjeJ+jeJ=j二1IY=w/YwikjjjeJ+jeJ-3.选定0.5va1,Iaikik则通过和谐性检验a愈大，级别高于的关系要求越高第三步进行非不和谐性检验(non-discordancetest)

15、对各属性间的补偿加以限制规定dj=l,.,nj若对任一jyj(xk)-yj(xi)dj则不承认xSxik第四步确定级别高于关系若Iik1,Iika且对所有jy(x)-y(x.)djkjij则xSxik四、级别高于关系的使用1. 通过方案成对比较确定级别高于关系后，找出最小优势子集。定义i,XuX若对每个xeX存在x*eX使x*Sx则称X为最小优势子集。1111ii,各方案间不存在级别高于关系的最小优势子集称为核2. 若X足够小，决策人直接进行价值判断，择一实施;若X中包含较多方案，调整a重11复上述步骤.五、ELECTRE-II1.定义高、中、低三阀值0.5va-va0va*1和d-vd0ji

16、jkjjy.d*i,k=1,.,mi*kijjy-yd0i,k=1,.,mi*kkjijjDi=(y,y)Iy-y1且ikxSxoi.1d*且y-yd0且y-y1且ikxSxi.Id0且y-y且y-yd-对所有jikkjijj即和谐性与不和谐性均为中等或均低.前向排序(详见p198)根据强级别高于关系S和弱级别高于关系S分别构造强指向图和弱指向图.从每个指Ff向图中找出非劣方案，然后从图中抹去，逐步进行直到所有方案均被抹掉为止，根据各方案被抹去的次序v(xj)判断方案的优劣。反向排序将强、弱指向图中箭头反向，按前向排序法得反向排序的次序v”(x.)6计算x的平均序ViV=(v+v”)/2V值小者为优六、讨论优点：步骤虽多，并不复杂(可以程序化)可编程计算(由决策人定权和d.)缺点：对决策矩阵所提供的信息，利用不够充分(但是比基于相对位置的方案排队法要强:有非不和谐性检验)