判别式法求值域

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1、有关鉴别式法求值域增根的研究 我们都懂得对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们一般使用鉴别式来求其值域。但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先约去公因式，化成f(x) =的形式，然后再求出其值域。但如果我们用鉴别式法求此类函数的值域时，会浮现什么状况呢？让我们比较吧！例：求二次分式函数y = 的值域措施鉴别式法化简为一次分式法解题过程 y = ( x2 1 ) y = x2 2x - 3 ( y1 ) x2 + 2x + 3 y = 0 -* 当y 1时，= b2 4 a c = 22 4 ( y 1 ) ( 3 y )= 4 y 2 16 y + 1

2、6= 4 ( y 2 ) 20 (= 0时，y = 2 ) y R , 且 y 1当y = 1时 ，代入*式得： 2 x + 3 1 = 0 x = 1 函数的定义域为： x R | x 1 且 x 1 y 1由得函数的值域为： y = = 当x 1时，y = ， 即：y 1 当x = 1时，y = = = 2 函数的定义域为： xR | x 1 且 x 1 y 2由 得函数的值域为：成果 y R | y 1 yR | y 1 且 y 2 通过比较，我们发现用鉴别式法求值域的成果，比先化成一次分式函数来求解其值域的成果多了一种值y = 2。这就是说，用鉴别式法求值域会产生增根。这是为什么呢？下

3、面让我们一方面来研究一下用鉴别式法来求值域的原理吧！函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一种x值，在值域内均有唯一一种y值与之相应。反过来，值域内每一种y值，都会有一种或多种x值与之相应。将某一函数化为有关x的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的相应关系用另一种形式表达出来，其相应实质并未变化。鉴别式法求值域就是基于这种思想而产生的。将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一种有关x的方程。如果二次项系数不为0，此方程为有关x的一元二次方程。其中，当0时（是含字母y的式子），将这个范畴内的y值代入方程，都可以得到一种或两个与之相应的x值；而当0时，方程无解，这阐明在此范畴内的y值没有x值

4、与之相应，因此此范畴内的值y不属于值域。 如果二次项系数为0，此方程为有关x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一种与之相应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式主线没故意义，则该y值不属于值域。但这样做不禁会使人产生疑问：将分式两边都乘以分母，x的定义域扩大了，不会产生增根吗？上面题中浮现的增根与否源于此呢？让我们一起分析一下吧！倘若分子、分母均为二次整式，且没有公因式存在，例如：y = ，(其中a、b、c、d为互不相等的实数)，我们一般须将其整顿成为 (x-c)(x-d)y = (x-a)(x-b)的形式 ，当x = c或x = d即

5、分母为0时，方程左边等于0，而(x-a)(x-b)0，即当x的取值使分母为0时，方程左右不相等，即没有y值与之相应，因此此时不必紧张增根的问题。但当分子分母中有公共因式存在时，状况就不同了。如文章开始时我们解的那道求值域的题目：y = ，整顿后得：(x2 1) y = x2 2x 3，我们发现，当x = 1时，即有x2 1= 0，同步也有x2 2x 3 = 0。即当x的取值使分母为0时，存在某一y值与之相应，因此此时用鉴别式法求值域时就会产生增根。目前产生增根的因素已经弄清晰了，我们继续观测就会发现：增根产生的位置往往是在一元二次方程= 0的时候，这又是什么因素呢？让我们继续进一步研究。我们发

6、现，上例中将0的范畴内获得的y值代入到一元二次方程中，所解得的x值中总有x = 1这个值。也就是说，在此范畴内的任何一种y值总有x = 1与之相应。由此不难找出因素：使0的y值（y2）均相应两个x值，其中x = 1使得分母为0，为增根。另一种x值则在定义域内，因此y值可当作是由此x值相应的函数值。而当= 0即y = 2时，方程有两个相似根：x = 1，此时的y值（ y = 2 ）是由x = 1相应的。而x = 1可使分母为0 ，不在定义域内，故其所相应的y值2亦不在值域内。这就是增根总是出目前= 0处的因素。弄清晰了浮现增根的因素及出处，我们此后在做此类题目的时候，就一定要注意先检查一下所求二次分式函数的分子、分母与否可以约分，然后再去考虑与否采用鉴别式法来求其值域；或用鉴别式法求出其值域后，再将= 0时的y值代入分母进行检查，看与否会使分母为0，以保证不产生增根。