经典习题平面法向量求法及应用
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1、平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量 1、定义:如果,那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类(从方向上分),无数条。2、平面法向量的求法措施一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面的法向量或,或,在平面内任找两个不共线的向量。由,得且,由此得到有关的方程组,解此方程组即可得到。措施二:任何一种的一次次方程的图形是平面;反之,任何一种平面的方程是的一次方程。 ,称为平面的一般方程。其法向量;若平面与3个坐标轴的交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程,把它化为一般式即可求出它的法向量。图1-1C1CByFADxA1D1zB1E措施三(外积法): 设 ,
2、为空间中两个不平行的非零向量,其外积为一长度等于,(为,两者交角,且),而与 , 皆垂直的向量。一般我们采用右手定则,也就是右手四指由 的方向转为 的方向时,大拇指所指的方向规定为的方向,。 (注:1、二阶行列式: ;2、适合右手定则。)例1、 已知,试求(1):(2):Key: (1) ;例2、如图1-1,在棱长为2的正方体中,图2-1-1BAC求平面AEF的一种法向量。AB图2-1-2C二、 平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角:如图2-1,设是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,则AB与平面所成的角为:图2-1-1:图2-1-2:图2-3图2-2(2)、求面面角:设向量,分别是
3、平面、的法向量,则二面角的平面角为:(图2-2);(图2-3)两个平面的法向量方向选用合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。商定,在图2-2中,的方向对平面而言向外,的方向对平面而言向内;在图2-3中,的方向对平面而言向内,的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”,满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一种向内一种向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。2、 求空间距离(1)、异面直线之间距离:措施指引:如图2-4,作直线a、b的方向向量、,图2-4nabAB求a、b的法向量,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量;在直线a、b上各取一点A、B,作向量;
4、求向量在上的射影d,则异面直线a、b间的距离为图2-5AMBNO,其中(2)、点到平面的距离:措施指引:如图2-5,若点B为平面外一点,点AAaB图2-6为平面内任一点,平面的法向量为,则点P到平面的距离公式为(3)、直线与平面间的距离:图2-7AB措施指引:如图2-6,直线与平面之间的距离:,其中。是平面的法向量(4)、平面与平面间的距离:图2-8a措施指引:如图2-7,两平行平面之间的距离:,其中。是平面、的法向量。图2-9a3、 证明图2-10(1)、证明线面垂直:在图2-8中,向是平面的法向量,是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线()。(2)、证明线面平行:在图2-9
5、中,向是平面的法向量,是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直()。图2-11(3)、证明面面垂直:在图2-10中,是平面的法向量,是平面的法向量,证明两平面的法向量垂直()(4)、证明面面平行:在图2-11中, 向是平面的法向量,是平面的法向量,证明两平面的法向量共线()。图3-1CDMAPB三、高考真题预测新解1、(全国I,18)(本大题满分12分)已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ABDC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点()证明:面PAD面PCD;()求AC与PB所成的角;()求面AMC与面BMC所成二面角的大小解:以A点为原点
6、,以分别以AD,AB,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.,设平面PAD的法向量为,设平面PCD的法向量为,即平面PAD平面PCD。,设平在AMC的法向量为.又,设平面PCD的法向量为.面AMC与面BMC所成二面角的大小为.2、(云南省第一次统测19题) (本题满分12分)图3-2 如图3-2,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知ABAA1a,BCa,M是AD的中点。()求证:AD平面A1BC;()求证:平面A1MC平面A1BD1;()求点A到平面A1MC的距离。解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.,
7、设平面A1BC的法向量为又,即AD/平面A1BC.,设平面A1MC的法向量为: ,又,设平面A1BD1的法向量为: ,即平面A1MC平面A1BD1.设点A到平面A1MC的距离为d,是平面A1MC的法向量,又,A点到平面A1MC的距离为:.四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(运用既有三条两两垂直的直线,注意已有的正、直条件,有关几何知识的综合运用,建立右手系),用空间向量表达问题中波及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)(2)、通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)(3)、把向量的运算成果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形问题)
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