必修5--数列知识、题型、训练大全

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1、必修5 第二章 数列河南省淮阳第一高档中学 苏继付 编写2.1数列的概念与简朴表达法【知识精要】1、 数列的定义、数列的项、首项及其表达和一般形式。2、 数列的分类：有穷数列和无穷数列。3、 数列的单调性：（1） 递增数列：；（2）递减数列:；（3）常数列：；（4）摆动数列（略）。4、 数列的通项公式：如果数列的第项与项数之间的关系可以用一种式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式：。5、 数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）（）之间的关系可以用一种公式来表达，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。6、 数列的前项和

2、，特别地，因此【难点释疑】1、 数列与数集的区别：（1）数列中的项（数）讲顺序；（2）数列中的数可以反复浮现。2、 数列与函数的关系：数列是特殊的函数，数列可以当作以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数当自变量按从小到大的顺序取值时所相应的一列函数值。3、 表达相邻两项关系的递推公式称为一阶递推式，如，若已知首项，就可以拟定这个数列；表达相邻三项关系的递推公式称为二阶递推式，如，若已知前两项，就可以拟定这个数列； 【典型例题】例1、写出下面数列的一种通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1） （2） （3）（4） （5） （6）【点评】熟记下面几种常用数列的通项公式：（1） ， 数列 等

3、以此为基本；（2） ，数列、等以此为基本；（3） ，数列、等以此为基本；（4） ，数列、等以此为基本；例2、设数列的前项和为，分别在下列状况下求的通项公式：（1） （2）【点评】运用，注意验证时与否满足公式，若不满足，要写成分段形式。例3、分别在下列状况下求数列的通项公式：（1） ； （2） 【点评】（1）对于递推关系形如的数列，且为可求和数列，采用累加法求其通项公式；（2）对于递推关系形如的数列，且为可求和数列，采用累乘法求其通项公式。例4、已知数列的通项公式是，试问该数列有无最大项？若有，求出这个最大项；若没有，说吗理由。【点评】数列最值问题的解决，一般有两种措施：其一，判断单调性（化简观

4、测、作差或作商）；其二，运用不等式组求的取值范畴。【实战演习】1、数列的递推公式是 （ ）A、 B、C、 D、2、 已知，那么等于（ ）A、 B、 C、 D、3、 在数列中，,则 （ ）A、 B、 C、 D、4、 在数列中，则_.5、 数列中，已知，且，则等于_.6、 已知数列满足:,且为递增数列，则的取值范畴是_.7、 已知,若数列是递减数列，则实数的取值范畴是_8、 已知数列的前项和为，且，则_.9、 已知数列满足:，则_ ，_.10、 已知数列的通项公式为，（1）若数列满足，求的通项公式； （2）若数列满足，求的通项公式。11、 已知函数，数列满足，且。(1) 求数列的通项公式； （2）

5、判断数列的增减性。11、 设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式。12、 已知，则数列的最大项是第_项。13、 写出下面几种数列的通项公式：（5） 、；（6） 、；（7） ，、.，2.2等差数列【知识精要】1、 定义：若数列满足（为常数），则叫做等差数列，这里的常数叫做等差数列的公差。2、 等差中项：由三个数构成的等差数列是最简朴的等差数列，其中叫做与的等差中项，有或。3、 递推公式：（1）（一阶递推式），（2）（二阶递推式）。4、 通项公式： ，变形：，推广：，由此可得 （的几何意义：数列图像所在直线的斜率）。 注：通项公式的推导可采用（1）归纳法（2）迭代法（3）累加法（4）逐差法 5

6、、 单调性：（1）时，递增；（2）时，为常数列；（3），递减。6、 性质：（1）等差数列的持续项和：仍成等差数列；（2） 设,若，则， 可推广为： 设，若，则。（3）若数列都是等差数列，则数列也是等差数列。(同窗们可以自己完毕证明)【难点释疑】1、 证明数列是等差数列，除了定义式之外，也可以用中项公式；若数列的通项公式是，可以证明是等差数列，也可以作为等差数列的一种鉴定措施，但不能用于证明。2、 应用性质（1）、（2）时要注意等号两边项数必须相似，否则会导致错误。【典型例题】例1、若数列满足，求证：是等差数列。【点评】证数列是常数列。结论：若数列是等差数列，则是常数列；反之，也成立。例2、在等

7、差数列中，求。【点评】已知等差数列的任意两项，求的其他项，运用公式和求解，比列方程解出和要简朴。例3、已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11均有100项，问它们有多少个相似的项？【点评】求两个等差数列、的公共项的问题，常用两种措施：其一，设，得到和的关系式，通过、均为正整数来拟定（或）的取值集合；其二，直接求两数列公共项构成的新数列的通项公式，第一种公共项就是首项，的公差等于两数列、的公差的最小公倍数。例4、已知函数，数列的通项由（且）拟定。（1） 求证：是等差数列； （2）当时，求。【点评】本体的解答告诉我们：形如的递推关系，可以采用“倒数法”，化为等差数列，求其通项公式；也可以化为的

8、形式，两边同除以转化为等差数列，求其通项公式。例5、已知数列满足，记。（1） 求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式。【点评】证数列是等差数列，就是证为定值，即证为定值；先求再求。例6、（1）已知三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为116，求这三个数；（2） 已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列。【点评】三个数成等差可设为；四个数成等差可设为；五数成等差可设为，例7、已知数列满足：，求的通项公式。【点评】形如的递推关系式，可以两边同除以，化为等差数列来解决。例8、已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，且,求数列的通项公式。【点评】

9、“消和保项”【实战演习】1、 等差数列中，则 （ ）A、98 B、99 C 、100 D、1012、 等差数列中， （ ）A、14 B、21 C、28 D、353、 在数列中，则的值为 ( )A、49 B、50 C、51 D、524、 一种等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差的取值范畴是（ ）A、 B、 C、 D、5、 若，两个等差数列与的公差分别为，则 （ ）6、 等差数列中，若，则_.7、 若为等差数列，则_.8、 设数列都是等差数列，若，则_.9、 已知等差数列的通项公式是，为常数，则公差=_.10、 在数列中，且对任意，点在直线上，则_.11、 已知数列中，且

10、数列是等差数列，求的通项公式。12、（1）已知数列满足，求的通项公式；（2）已知数列满足，求的通项公式.13、已知数列满足，（1）求； （2）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式.14、已知等差数列的前项和为，且满足。（1）求证：数列是等差数列； （2）求的通项公式。15、设数列满足：.（1） 求证：数列为等差数列，并分别写出和有关的体现式；（2） 设数列的前项和为，证明：；（3） 与否存在正整数，使得若存在，求出；若不存在阐明理由。2.3等差数列的前项和【知识精要】1、 等差数列的前项和公式：（1），（2）。2、 设是等差数列的前项和，则，因此数列也是等差数列，其首项等于的首项，公差是公差

11、的一半。3、 设是等差数列的前项和，则，这个公式很常用，请同窗们牢记。4、 等差数列的持续项和：仍成等差数列；【难点释疑】1、等差数列的鉴定措施有5种：（1），（2），（3），（4） ，（5），但是在规定证明的时候，只能应用（1）和（2）。2、公式可变形为，若令，则。3、设是数列的前项和，若，可以证明是等差数列；若，也可以证明是等差数列。（请同窗们动手证一证）4、可以借助函数的图像解决的最值问题，函数的图像有六种，对称轴方程为；的最值问题也可以通过度析项的符号来解决。四类问题中重点探讨两类问题：（1），求的最小值；（2），求的最大值。【典型例题】例1、已知数列都是等差数列，它们的前项和分别是，

12、且，求。【点评】运用公式。例2、设是等差数列，为前项和，已知，求数列的前项和。【点评】设求最为简便。例3、设是等差数列的前项和，已知前6项和为36，最后6项和为180，（），求项数。【点评】采用“倒序求和”，整体求出。例4、在等差数列中，其前项和为。（1） 求的最小值及获得最小值时的值；（2）求。【点评】求的最值有两种措施：（1）求，分析的符号，（2）求，借助二次函数的图像和性质；求，先去绝对值，再转化为等差数列的前项和来求解，（求试试成果与否相似：）用“求及”来理解分类讨论的因素。例4、已知各项都是正数的数列，其前项和为，若，（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求。【点评】（1）运用消去及

13、其相邻的项，化为递推关系式；（2）如下数列常用裂项法求和：例5、设是等差数列的前项和，已知，求。【点评】本题有多种解法，设最为简便。例6、设等差数列的前项和为，已知。（1） 求公差的取值范畴； （2）指出中哪一种值最大，并阐明理由。【点评】(1)消去，解有关的不等式组；（2）判断出与0最接近的两项，即可拟定的最值。例7、是等差数列的前项和，且满足。证明是等差数列，并求数列的通项公式。【点评】“消项保和”，再由求出。例8、（1）已知等差数列的项数为，所有奇数项和为165，因此偶数项和为150，求的值；（2） 已知等差数列的前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比为1:2，求公差。【思路点拨】

14、（1）设等差数列有项，则，因此，；（2） 设等差数列有项，则，因此，。【实战演习】题型太多，可以分A、B、C三组1、 已知等差数列的前项和为，且有，则公差等于（ ） 2、 设是等差数列的前项和，若,则 ( ) 3、 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差是（ ） 4、 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ）5、 设等差数列的前项和为，则（ ） A、 B、 C、 D、6、在等差数列中，若,则的值为（ ） A、9 B、12 C、 16 D、17在等差数列中，是其前项和，若是一种拟定的常数，下列各式： 中，也为拟定常数的是（ ） A、 B、 C、 D、 已知函数是上的单调增函数，且为奇函数，数列是

15、等差数列，则的值（ ） A、恒为正数 B、恒为负数 C、恒为零 D、可以是正数也可以是负数 设等差数列的前项和为，已知，下列成果对的的是（ ） A、是中的最大值 B、是中的最小值 C、 D、等差数列满足，则数列的前13项和为（ ） A、13 B、26 C、52 D、1567、已知等差数列的前项和为，若，则数列中绝对值最小的项为（ ）8、等差数列和，它们的前项和分别为和，若，则的值是（ ）9、等差数列的前项和为，已知，则（ ） A、38 B、20 C、10 D、910、已知等差数列的前项和为，,则 （ ） A、-11 B、11 C、10 D、-1011、设等差数列的前项和为，已知，则下列结论对的

16、的是 （ ） A、 B、 C、 D、12、等差数列中，其前n项和为100，其后的2n项和为500，则紧随其后的3n项和为_.13、设等差数列的前项和为，若，则_.14、等差数列的前9项的和等于前4项的和。若，则_.15、设等差数列的前项和为，若,则_.16、设等差数列的前项和为，且，则_。17、设等差数列的前项和为，则_.设等差数列的前项和为，若，则_.18、已知等差数列的公差不等于0，是其前项和，给出下列命题：给定,对一切，均有成立；存在，使得与同号；若，则与都是中最小项；点，在同一条直线上。其中对的命题的序号是_.19、设等差数列的前项和为，已知，且，则下列结论对的的有_ 数列的公差； ；

17、是数列的最大项； 是数列中的最小项。(提示：)20、已知，把数列的各项排列成如下的三角形状：记表达第行的第个数，则_.21、如图，一种粒子在原点，第一秒内从原点运动到点，然后按照图示的方向由来回运动，每秒移动一种单位，那么粒子移动到点时用时_秒，通过秒时粒子所处的位置为点_. 4321 1 2 3 4 22、对不小于或等于2的自然数的次幂进行如下方式的“分裂”： 1 1 3 3 5 3 7 9 5 11 7 25 27 9 29仿此，“分裂”中最大的数是_；若“分裂”中最小的数是211，则的值为_.23、已知等差数列满足：，的前项和为。（1）求及。 （2）令，求数列的前项和.24、（1）项数为

18、奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项与项数。（2） 一种等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求该数列的公差。25、（1）在等差数列中，记，求数列的前30项和；（2）已知等差数列的前项和为，求数列的前项和.26、已知等差数列的前三项为，前项和为。（1） 设，求和的值；（2） 设，求的值。27、等差数列在中，求使取最大值时的值。28、有两个等差数列和，其前项和分别为和，若，求。29、已知等差数列的前项和为，点在直线上。数列满足，且其前9项和为153.（1） 求，的通项公式；（2） 设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成

19、立的最大正整数的值。（提示：，）30、设是公差不为零的等差数列，是其前项和，满足。（1） 求的通项公式及； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。31、 设等差数列的前项和为，若.(1) 求获得最小值时的值； （2）求的取值集合，使.32、 已知各项全不为零的数列的前项和为，且，其中。（1） 求数列的通项公式； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。2.4 等比数列【知识精要】1、 定义：，则数列是等比数列;可以用于等比数列的证明；2、 通项公式：（），可用于等比数列的鉴定；推广：；注：通项公式的推导可采用（1）归纳法（2）迭代法（3）累乘法（4）逐商法3、 单调性：（1）递增数列（或

20、）；（2）递减数列（或）；（3）常数列（）；（4）摆动数列（）。4、 等比中项：如果在和之间插入一种数，使成等比数列，那么叫做和的等比中项。有或。5、 中项公式：，可以用于等比数列的证明；6、 若数列既是等差数列又是等比数列，则是非零常数列；7、 若数列是各项都为正数的等比数列，则数列是等差数列；若数列是等差数列，则数列是等比数列；8、 若数列是等比数列，则，也都是等比数列；9、 数列是等比数列当且仅当是常数列；数列是等差数列当且仅当是常数列；若是等差数列，则数列是等比数列。9、设,若，则， 可推广为： 设，若，则。【典型例题】例1、已知数列的前项和，求证：是等比数列.【点评】可以运用例2、在

21、数列中，令.（1） 求证：数列是等比数列； （1）求的通项公式.【思路点拨】形如的递推关系式，可化为的形式，运用是等比数列求的通项公式.例3、已知数列满足：.（2） （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式；（3） 若数列满足：,证明：数列是等差数列.【思路点拨】当运用一阶递推式无法证明一种等差数列时，就用二阶递推式.例4、已知数列是各项均为正数的等比数列，且成等差数列.又.求证：数列是等比数列.【思路点拨】先求，再求，运用定义证明。【实战演习】1、 在等比数列中，那么（ ） A、 B、 C、 D、82、 在等比数列中，公比，若，则（ ） A、9 B、10 C、11 D、123、 已知

22、等比数列满足：，且，则当时，（ ） A、 B、 C、 D、4、已知等比数列中，则_.5、等比数列中，,则_.6、已知，点在函数的图像上，设，求证：数列是等比数列.7、若正数成等比数列，且公比不小于1，则当时， （ ）A、 依次成等差数列 B、各项的倒数依次成等比数列 C、依次成等比数列 D、各项的倒数依次成等差数列8、在等差数列中，公差，是和的等比中项，已知成等比数列，求数列的通项公式.9、设数列的前项和.(1) 求； （2）证明：是等比数列； （3）求的通项公式.10、 已知数列的前项和是，且，证明：是等比数列；11、 已知数列的前项和是，且，其中为常数且，.(1) 求证：是等比数列 ； （

23、2）若数列的公比，数列满足，求证：是等差数列。2.5 等比数列的前项和【知识精要】设是数列的前项和，则1、 等比数列的前项和公式（注旨在使用公式是判断与否为1）；2、 等比数列的前项和公式的推导采用的是错位相减法，错位相减法适合求数列的前项和，其中是等差数列，是等比数列（公比）；3、 等比数列的持续项和：仍成等比数列；4、 若等比数列有项，则；5、 ；6、 数列为非常数列的等比数列，其中是的公比。【典型例题】例1、已知等比数列的公比。 （1）若，求数列的前项和；（2）证明：对任意，成等差数列。例2、等比数列有项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求公比。例3、设是等比数列的前项和

24、，若，求。例4、已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列。（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和。【实战演习】1、等比数列的公比,前n项和为,则 ( ) A.15 B.63 C. D.2、已知等比数列中，则由此数列的偶数项所构成的新数列的前项和为( ) A. B.C. D. 3、等比数列中，公比，它的前项和为，数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D.4、已知等比数列的前项和，则= （ ） A. B. C. D. 5、数列的前项和等于( ) A. B.C. D.6、 等比数列中,公比，则 = .7、 在等比数列中，若，则公比_；8、一种等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数

25、项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。9、等比数列中，求和.10、设数列的前项和，数列满足：，且， （1）求通项； (2)求前项的和.专项一 数列求和1、 分组求和例1、求和：；（2）求数列的前项和；（3）求数列的前项和。练习：已知是首项为，公差为的等差数列，是数列的前项和。（1） 求通项及；（2） 设是首项，为公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和。2、 裂项相消法求和例2、在数列中，点在直线上。（1） 求的通项公式；（2） 若，求数列的前项和.【措施总结】1、常用的裂项公式有如下形式：（1） ； （2） ；（3） ； （4）.注：常用题目：设是公差为的等差数列，求数

26、列前项和。解法如下：。练习：1、已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为 （ ） A、 B、 C、 D、2、 数列的通项公式是，若的前项和为10，则项数为 （） A、11 B、99 C、120 D、1213、 已知数列：，设那么数列的前项和为（ ） A、 B、 C、 D、4、 已知数列的通项公式是，则数列的前项和为=_。5、 设数列的前项和为，如果，那么_.6、 已知等差数列的前项和为，。（1） 求及； （2）令，求数列的前项和.7、 求数列的前项和。3、 错位相减法求和例3、求和.例4、已知数列的前项和为，且，数列满足.（1） 求，； （2）求数列的前项和.练习：1、已知是等差数列，其

27、前项和为，是等比数列，且，.(1) 求数列和的通项公式； (2) 记，证明：。2、 已知数列的前项和为（其中为常数），且.（1） 求 ； （2）求数列的前项和.4、 倒序相加法求和例5、函数对任意的均有。（1） 求和的值；（2） 求。练习：已知，求的值.5、 并项法求和例6、若数列的通项公式是，则_.专项二 数列通项公式的求法题型一、累加法例1、在数列中，,求数列的通项公式.【措施归纳】形如的递推关系式，可采用累加法求通项公式。具体做法如下：，再验证时与否成立。练习：1、已知数列满足：，求数列的通项公式.2、已知数列满足：，求数列的通项公式.题型二、累乘法例2、数列中，若，求数列的通项公式.【

28、措施归纳】形如的递推关系式，可采用累乘法求通项公式。具体做法如下：，再验证时与否成立。练习：3、如果数列满足：是首项为1，公比为2的等比数列，则 ( ) A、 B、 C、 D、24、在数列中，求.5、已知数列的前项和为，且.（1）求常数的值；（2）证明：数列是等差数列。题型三、构造法例3、已知数列满足：，求.【措施归纳】当题目中浮现的形式时，把变形为，即，令，解得，从而构造出等比数列.练习：6、已知数列满足：，求.例4、（1）已知函数，数列满足：，求.（2） 已知数列满足：，求.【措施归纳】当题目中浮现的形式时，两边取倒数，得到，从而构造出等差数列；当题目中浮现的形式时，两边同除以，得到，从而构造出等差数列。（3） 例5、已知数列满足：，求.【措施归纳】形如的递推关系式，两边同除以，得到，从而构造等差数列。四、 由和的关系求例6、已知各项均不为零的数列的前项和为，求，求的通项公式.【措施归纳】基本措施是“消和保项”或“消项保和”。练习：1、 若数列满足，则_2、 若数列满足，则_3、 已知数列满足：，求的通项公式.4、 已知正数数列前项和为 ，满足.（1） 求的通项公式；（2） 设，若对任意恒成立，求实数的取值范畴。5、 设数列的前项和为，且，求的通项公式.6、 设数列的前项和为，数列的前项和为，满足.7、 求的值；（2）求的通项公式.