塑性力学增量和全量本构关系讨论

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1、塑性力学中本构关系的讨论摘 要：本构方程是塑性力学解决问题不同于弹性力学的一大不同点，本文从主要 描述塑性变形问题的两个本构理论出发，借鉴现有理论和实验结果，对比增量理论 和全量理论的优缺及各自在工程中的适用性。关键词：塑性力学；增量理论；全量理论；有限元法引言塑性力学和弹性力学之间的根本差别在于弹性力学是以应力与应变成线性关 系的广义胡克定律为基础的。而塑性力学研究范畴中，应力与应变一般成非线性关 系，而这种非线性的特征又不能一概而论，对于不同的材料，在不同的条件下，都 具有不同的规律。塑性变形的基本规律是建立在实验的基础上，根据实验结果简化 抽象出塑性状态下应力与应变关系的特征。与弹性力学

2、比较，主要影响塑性力学本构方程的有以下几点： 应力与应变之间的关系是非线性的，其比例系数不仅与材料有关而且与塑性应 变有关；由于塑性变形的出现，弹塑性材料在卸载时，体元的应力-应变状态不能沿原来 的加载路径返回，应力与应变之间不再存在一一对应的关系，而与加载历史有关；变形体中可分为弹性区和塑性区，在弹性区，加载与卸载都服从广义胡克定律， 在塑性区，加载过程服从塑性规律而卸载过程服从广义胡克定律。因此在塑性力学发展初期，最初提出的是以增量方法来讨论应力增量与应变增 量之间的关系，它不受加载条件的限制，但在实际计算过程中，需要按加载过程中 的变形路径进行积分，计算比较复杂。Hencky于1924年

3、提出的全量理论在实践中 使用方便很多，但全量本构关系仅能应用于特定情况，及体元应力-应变过程为单调 过程，不能描述弹塑性变形规律全貌。1. 增量理论塑性应力应变关系的重要特点是非线性和非简单对应，非线性及应力与应变关系不是线性关系，非简单对应及应变不能由应力唯一确定。在材料变形的塑性阶段， 应变状态不仅由应力状态决定，还由整个应力变化过程决定。材料进入塑性变形阶段，任一点的总应变由弹性应变和塑性应变组成：= e + pij ij ij当外载荷有微小增量时总应变也有微小增量，其为弹性增量与塑性增量之和， 因此有：d p = d d eij ij ij根据静水压力实验，提出假设：塑性应变不引起体积

4、改变。在平均正应力作用 下，物体的变形只包括弹性变形；在应力偏量的作用下，不发生体积改变，物体产 生弹性变形和塑性变形，及在塑性状态，材料不可压缩，体积变形等于零：d p = 0ij在塑性变形过程中的任一微小时间增量内，塑性应变增量与应力偏量成正比， 即：d p = s d 九ij ij其中d九为非负的标量比例常数，且根据加载过程的不同而变化。由于体积变化是弹性的，平均正应变的塑性分量等于零。总应变为弹性应变分 量与塑性应变分量之和，故总应变增量与应力偏量有如下关系：1de = ds + s d 九ij 2G ij ij根据屈服条件可求得d九，当应变增量为已知，可唯一求出应力偏量。另外，当 材

5、料接近理想塑性材料，塑性变形阶段可忽略弹性应变。塑性应变增量与应力偏量的关系表达式与胡克定律在形式上相似，不同之处在 于含有应变增量和流动因子d九，整个讨论过程涉及到塑性变形过程的不可压缩性和 塑性变形的非线性，及其对加载路径的依赖性。2. 全量理论弹塑性小变形的本构关系是比弹性力学的本构关系更广义的关系，既包括弹性 极限内的关系也包括弹性极限外的关系。全量理论企图建立与弹性力学本构关系相 类似的本构关系，即与加载路径无关的本构关系。根据弹性变形中应力与应变关系的特点，可知全量理论需采用如下假定：应力偏量与应变偏量按比例增长，即满足简单加载（或比例加载）条件；应力 主方向与应变主方向一致，且应

6、力（或应变）主方向始终保持不变。根据 E.A.Davis 等人的薄壁金属桶承受拉伸和内压实验结果可知，在简单加载或 偏离简单加载不大的情况下，尽管应力状态不同，但应力应变曲线都可以近似地用 单向拉伸曲线表示，这一假定（单一曲线假定）把复杂应力状态的应力应变曲线和 一维的应力应变曲线联系在一起。根据简单加载条件，有S = He （H为可变的刚度系数）；根据单一曲线假定，ij ij引入b=b（&），代表简单加载实验得到的某种材料的应力强度与应变强度的关系，其中S S3j j = H,即 H = e e2ij ijbij=b 6 + Sm ij=K 86kk ijij-8 63 kk ij2 b（8

7、）3 8因此应力偏量和应变偏量的关系为：s广3啤eij，将此偏量关系与弹性的体变关系b二3K8结合起来即可得全量形式的本构关系:mm塑性全量理论从理论上讲，不适用于简单加载不成立的情况，但是由于该理论 比用增量理论方便，它等价于求解一个非线性弹性力学的问题，因此很多人试图将 它应用于各种复杂加载情况。大量实际问题的分析表明，对于一些偏离了比例加载 路径的问题，采用全量理论可以得到与增量理论相近的结果，比如失稳问题。对于 薄板的塑性失稳问题，用全量理论计算的结果甚至比用增量理论计算的结果更接近 于实验结果。但在处理三维塑性问题时，塑性流动规律复杂，全量理论还无法很好 的解决。3. 基于增量理论的

8、有限元法对于弹塑性问题进行有限元分析，平衡方程和几何方程都是线性的，但本构方 程是非线性的，需用迭代方法求解。另外，由于应力和应变的非线性关系，应力和 位移也是非线性关系，所以用节点位移表示的平衡方程也不是线性的。基于增量理论的塑性变形本构方程为d s=d b d + d xacyo三维空间问题弹性矩阵d 为:1 |LXd =1 2 |LX1 |LX1 2 |LX1 2 |LX1 |LX1 2 |LX1 2 |LX1 2 |LX0对称121212增量关系式d s=D b d + d Xaao两边同乘cot aD 得到d aDd s= qot ad + d九 b。 aD|acyo o加载时有d

9、qt albo= o。 ad = 0，o。oJddbb。 LoJLd |a0o如果把弹塑性应变增量和应力增量之间的关系近似的表示为ao=D as，ep其中d为弹塑性矩阵(d =dd)，是元素当前应力水平的函数，与增量 ep ep P无关。为了做到线性化的目的，采取逐步增加载荷的方法(荷载增量法)，在一定应力 和应变的水平上增加一次载荷，而每次增加的载荷要适当的小，以致求解非线性问 题可以用一系列线性问题所代替。在加载过程中，弹塑性问题和非线性弹性问题在 本质上是一样的，在卸载过程中，只要将弹性矩阵d 代替D成为线弹性问题。ep基于全量理论的的有限元计算方法，不同于增量理论之处在于，荷载是一步加

10、 上去的，其求解过程采用迭代逼近的方法。4. 结论由于塑性变形问题中应力-应变关系非线性和非简单对应，需要以增量的方式描 述其本构关系，增量理论在理论和应用上都是成熟的。在满足简单加载和单一曲线 假定的前提下，对增量理论进行积分得到全量理论，一些实验和实际工程结果证明 满足上述假定或稍许偏离比例加载路径情况下，全量理论不仅可以简化计算，而且 能够满足一定的精度要求。5. 展望塑性变形的有限元处理中，不论是增量形式还是全量形式的求解方法，都是把 非线性问题通过迭代的方法转化成线性问题，但计算效率和结果精度的差异海需要 通过计算实例分析对比。参考文献：1 徐秉业，陈森灿.塑性理论简明教程M.北京:清华大学出版社，1981.2 杨桂通.弹塑性力学.北京:人民教育出版社M, 1981. 陈笃.塑性力学概要.北京:高等教育出版社M, 2004.谢贻权，何福保.弹性和塑性力学中的有限单元法M.机械工业出版社.王鹏.基于全量理论的金属体积成型有限元模拟研究D,同济大学，2009.