抽象函数经典习题

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1、抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常用解法及意义总结如下：一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表达原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的措施，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知 ,求.解：设,则2.凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表达的代数式，再运用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知，求解：又，(|1)3.待定系数法：先拟定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的

2、未知系数。例3 已知二次实函数，且+2+4,求.解:设=，则=比较系数得4.运用函数性质法:重要运用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例5一已知为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.解：为偶函数，为奇函数，,不妨用-代换+= 中的,即显见+即可消去,求出函数再代入求出5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。例 6.已知，求的体现式解：用替代得到 （1） 又 （2） 2（1）-（2）得到，于是二、求值问题例7. 已知定义域为的函数，同步满足下列条件：；，求的值。解：取，得由于，因此又取得评析：通过观测已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的沟通了起

3、来。赋值法是解此类问题的常用技巧。三、定义域问题例8. 已知函数的定义域是1，2，求的定义域。解：的定义域是1，2，是指，因此中的满足从而函数f(x)的定义域是1，4评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相称于已知中x的取值范畴为A，据此求的值域问题。五、判断函数的奇偶性：例11已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。证明：令=0, 则已知等式变为在中令=0则2=2 0=1为偶函数。六、单调性问题例12. 设定义于实数集上，当时，且对于任意实数有，求证：在R上为增函数。证明：在中取，得若，令，则，与矛盾因此，即有当时，；当时，而因此又当时，因此对任意，恒有设，则因此因

4、此在上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的成果有关联。七、解抽象不等式（拟定参数的取值范畴）例13：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范畴。解：由得，为函数，又在（-1，1）内递减， 巩固练习练习一1给出四个函数，分别满足；，又给出四个函数图象丁对的的匹配方案是（ ）（A）丁乙丙甲 （B）乙丙甲丁（C）丙甲乙丁 （D）丁甲乙丙2定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，yR)，当x0，则函数f (x)在a,b上 ( )A 有最

5、小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ()3设函数的定义域为，且对恒有若（ ）4若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A BC D5定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当 时，（1）试举出一种满足条件的函数；（2）试求的值；（3）判断的单调性并证明你的结论；（4）若解不等式1-4 D C C D5（1）如，（2）在中，令得：由于，因此，（3）要判断的单调性，可任取，且设在已知条件中，若取，则已知条件可化为：由于，因此为比较的大小，只需考虑的正负即可在中，令，则得 时， 当时，又，因此，综上，可知，对于任意，均有 函数在R上单调递减，（4）若

6、则，则不等式，由函数在R上单调递减，则，则不等式的解集为。练习二1.若奇函数，满足，则等于（）A0B1CD2.设对任意实数、，函数满足。 （1）求证：；（2）求证：为偶函数。3.已知函数是定义在上的增函数，且满足对于任意的正实数、，均有，且（1）求的值；（2）解不等式4.已知函数对于任意的正实数、，均有，若，则下列结论中不对的的是（ ） A B C D5.设定义在上的函数对于任意均有成立，且，当时，。（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-33时，与否有最值？如果有，求出最值；如果没有，阐明理由。6.若函数f(x)为奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f(2)=0，则的解集为（

7、 ）A（-2，0）（0，2） B（-，-2）（0，2）C（-，-2）（2，+） D（-2，0）（2，+）7. 设对满足的所有实数，函数满足，求的解析式。8. 已知函数对任意不等于零的实数均有，试判断函数的奇偶性。9. （东城区示范校质检一）（本小题满分14分）设函数的定义域为全体，当时，且对任意的实数，有成立，数列满足，且（）求证：是上的减函数；（）求数列的通项公式；10. （09届华南师大附中综合测试题）设函数满足，且对任意，均有.（）求的解析式；（）若数列满足：且, 求数列的通项；1.解析：对于，令，得即，从而，因此，选D。2.解析：（1）令，得，因此。 令，得，因此。（2）令，得，令，得

8、，从而我们有：，因此，为偶函数。3. 解析：（1） （2）由函数是定义在上的增函数，则即，依题设，有，从而不等式的解集为。4. 解析：满足对一切正实数、都成立的函数模型是对数函数。由，可知，从而可知是减函数，因此，应选B。5. 解析：令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，则f(0)=f(x)+f(x)，f(x)= f(x)，f(x)为奇函数设3x1x23，y=x1，x=x2则f(x2x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1)，由于x0时，f(x)0，故f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0。f(x2)f(x1)、f(x)在区间3，3上单调递减x=3时，f(x)有最大值f(3)

9、=f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6。x=3时，f(x)有最小值为f(3)= 6。6.解析：由于f(x)是定义域上的奇函数，因此f(x)的图像有关原点对称。根据题设条件可以作出函数f(x)在R上的大体图象，由得：x与f(x)异号。由图像可得解集为（-2，0）（0，2），选择（A）。7.解析：在 （1）中以代换其中，得：再在(1)中以代换x，得化简得：评析：如果把x和分别看作两个变量，如何实现由两个变量向一种变量的转化是解题核心。一般状况下，给某些变量合适赋值，使之在关系中“消失”，进而保存一种变量，是实现这种转化的重要方略。8.解析：获得：，因此又获得：，因此再取则，即由于为非零函数，所觉得偶函数。9.解析：（）令，得，由题意知，因此，故 当时，进而得 设且，则，即，是上的减函数；（）由得，因此由于是上的减函数，因此，即， 进而，因此是以1为首项，2为公差的等差数列因此， 因此10.解析：（）因. 若令得再令得 （），,又数列是首项为2,公比为3的等比数列, ，