最小的余数是1还是0

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1、最小的余数是1还是0？最小的余数是1还是0？这个问题你选择哪个答案？当除数是6，余数可以是几？你是填0-5，还是1-5？这都波及余数可不可以是0的问题。九义教材中余数是0被觉得是没有余数，1被觉得是最小的余数。但实验教材有不同的理解。下面的文章我觉得在所有的参照资料中说得是比较清晰明白的，推荐给同仁们参照。【转】浅谈在整数除法中余数可觉得零一、 困扰教师的问题 不少小学数学教师问过我这样一种问题:“在整数除法中,余数可不可觉得0?”这个问题早有定论,于是我不假思考地肯定作答:“余数固然可觉得0。”不料对于这一答案,她们并不批准,其理由如下: 第一,人教版义务教育课程原则实验教科书数学,从一年级

2、上册到六年级下册,里面均无“余数可觉得0”的表述。 第二,现代汉语词典(修订本)(商务印书馆, 1996 年 )第1553页对“余数”一词的解释为:“整数除法中,被除数未被除数整除所剩的不小于0而不不小于除数的部分。如276=43。即不完全商是4,余数是3。”这就表白余数不能为0。 在数学课本中找不到“余数可觉得0” 的论述,而在词典中却找到了“余数不能为0”的证据,难怪让她们对我的答案持怀疑态度。面对这样一种困扰小学数学界同仁的问题,该如何来正本清源呢? 我仔细地查阅了人教版全套小学数学课本,的确没找到“余数可觉得0”的表述,只在三年级下册第26页练习六第3题的指令性语言中,发现了三处“余数

3、为0”的表述。我懂得,这样的表述既不是出目前正文中,又没有阐明道理,局限性以成为论据。课本中没有,看来只有通过合理思辨和有关考证来达到为小学同仁解惑之目的了。 二、解惑所需的思辨 1.要用对立统一的观点看待0 众所周知,当盘子中连一种桃子都没有时,我们就说这盘中桃子的个数为0。从这个意义上讲,0是空集的基数,0表达“没有”。然而,0又是一种拟定的数,它是自然数列的起始数,它既不是正数,也不是负数,它是唯一的中性数。从这个意义上讲,0又表达“有”。这一点不难理解。比方说,小明在黑板上写了一种“0”,你总不能说她什么都没写吧!再比方说,某地某时的气温为0摄氏度,你总不能说该地该时没有温度吧!因此,

4、我们应当用对立统一的辩证观点看待0,懂得0既可表达“无”,又可表达“有”。用这一观点考察整数除法,我们不难发现,当155时,得到整数商3,既可以说“没有余数”,也可以说“余数为0”,这两种说法是完全等价的,因而都是对的的。 2.要用发展变化的观点看待概念间的关系 人们对数学概念的结识并非一成不变的,而是处在不断发展变化之中的。例如,“整数”与“分数”最初是两个并列的概念,它们互相排斥,泾渭分明,不容混淆。然而,出于数学自身发展的需要,后来,人们又把整数看做是分母为1,分子为该整数的假分数,如3=3/1,65=65/1。这样一来,“分数”的外延就扩大了,“整数”与“分数”的关系也由并列关系转变为

5、涉及关系。“整数”成了“分数”的特例,整数集成了分数集的真子集。原先,整数集与分数集之并集才是有理数集,后来,这种广义的分数集事实上就是有理数集了。 与此类似,人们研究整数除法时,先研究被除数能被除数整除的情形,如155,正好得到整数商3,记作155=3。后来才研究有余数的情形,如165,得到不完全商3后还余1,记作165=31。起初,“整除”与“有余数的除法”也是并列而互斥的概念,前者没有余数,后者有余数,互不相容。后来,为了研究的以便,人们干脆把“有余数的除法”的外延扩大,让它把原先的两个概念一并囊括。由于这很容易办到:只要把“整除”时的“没有余数”看做“余数为0”即可。这样一来,“整除”

6、就成了“有余数的除法”的特例,“整除”与“有余数的除法”也就顺理成章地由对立变成统一,两者统一于广义的“有余数的除法”之中。 3.“余数为0”的说法有据可查 事实上,“余数为0”的提法早已被数学界承认。 小学数学教师手册(人民教育出版社,1982年)第49页有如下表述: “鉴定一种整数能不能被另一种正整数整除,只需进行除法运算即可。如果所得的余数为0,就是整除的状况;如果所得的余数不为0,就是不能整除的状况。例如: a=91,b=13。ab=9113,商7余0。这表白91=137。即91能被13整除。 a=97,b=19。9719商5余2。因此97不能被19整除。 一般地,对于整数a和正整数b

7、,如果进行除法ab得商q,余数为r,就有a=bq+r。其中0r数学手册(人民教育出版社,1979年)第1057页“数论”的“辗转相除法”中,有如下表述: “每一种整数a可以唯一地通过正整数b表达为a=bq+r, 0r上述不等式0r值得注意的是,“辗转相除法”又称“欧几里得算法”,国内宋代数学家秦九韶早在公元1247年即在其著作数书九章中,对这一算法进行过卓有成效的研究。 数学手册(人民教育出版社,1979年)第1066页“数论”的“同余式”中,有如下表述:“设以m为模,则可将全体整数分为m个类,同类的数都同余,不同类的数都不同余,称这样的类为同余类,每类中各取一数为代表,例如:0,1,2,m-

8、1构成一种完全剩余类。” 由此易知,在以0为代表的这个剩余类中,每个数除以m,所得的余数均为0。也就是说,此类数中的每一种都是m的倍数。 事实上,我们不仅从剩余类的理论中,看到了对“余数为0”的承认,还可以运用剩余类的理论和“抽屉原理”来解答一类有关整除性的题目。载有此类题目并给出解答的数学书籍比比皆是,下面举一例。 求证:在任意四个整数中,必有这样的两个数,它们的差能被3整除。 证明:由于任何整数除以3,所得余数只也许是0,1,2三种。也就是说,所有整数按其除以3所得余数来分,可分为余数分别为0,1,2的三个剩余类。把每个剩余类都看做一种抽屉,三个剩余类就是三个抽屉。根据“抽屉原理”,把四个

9、整数放进三个抽屉,至少有一种抽屉里会有两个整数。这两个整数既属同一种剩余类,它们除以3所得的余数必然相似,故其差除以3所得的余数必为0,也就是说,这个差必能被3整除。 三、教材修改的建议 综上所述,在整数除法中,余数的确是可觉得0的。但在现行的人教版小学数学教材中,对此却完全不予波及,遂令在教学中起主导作用的教师迷茫不解,实在没有道理。由此观之,教材必须修改。 1.教材修改的重要意义 有助于学生结识0的双重意义,懂得0既可表达“无”,又可表达“有”。使用修改后的教材教学,能让学生初步感知对立统一的辩证思想。 有助于学生用发展变化的辩证唯物主义观点结识概念间的关系,懂得当学习了“有余数的除法”后

10、,本来的“整除”(涉及“表内除法”)可以看做是“有余数的除法”的特例,由此理解“特殊”与“一般”的关系。 有助于学生后续的数学学习。 2.教材修改的具体意见 要明确指出“没有余数”就是“余数为0”。 人教版小学数学三年级上册第四单元“有余数的除法”第50页例题1为:“搬15盆花布置会场,每组摆5盆,可以摆几组?”解答此题的横式为 155=3(组)。接着,课本上还列出了竖式。 这道例题显然起着承上启下的作用:既承办二年级下册的“表内除法”,又由此简介除法竖式,为“有余数的除法”的教学作铺垫。 第51页例题2是:“一共有23盆花,每组摆5盆,最多可以摆4组,还多3盆。”这是“有余数的除法”的首个例

11、题。解答时,课本上先列出横式: 235=4(组)3(盆)。 再在横式下方列出竖式,并用虚线将两个式子中的3连接,标上“余数”二字。 课本上述编排颇具匠心,但还应作点补充。建议在这两道例题背面,不失时机地编排一段对“0”的辩证结识的文字,让学生懂得:“0”虽然表达“没有”,但它同步又是一种拟定的数,从这个意义上讲,“0”也表达“有”。紧接着,还要引导学生对这两道例题的竖式进行观测和比较,发现例题1竖式中最下面的“0”与例题2竖式最下面的“3”处在相似的位置,“3”既表达余数,“0”也可当作是余数。过去我们说155正好等于3,“没有余数”,目前我们也可说155,商为3,“余数为0”。 相信这样解决

12、,学生能在轻松快乐中接受辩证唯物主义思想的启蒙教育。 要明确指出除数为a时,共有a种不同的余数:0,1,2,a-1。 三年级上册第52页例题3为:“如果上例中一共有16盆花,可以摆几组?多几盆?如果是17盆,18盆,24盆,25盆呢?” 课本上列出了一组式子: 155=3(组) 165=3(组)1(盆) 175=3(组)2(盆) 185=3(组)3(盆) 195=3(组)4(盆) 205=(组) 215= (组)(盆) 225= (组)(盆) 235= 245= 255= 在这组式子的右边,提了一种问题:“观测余数和除数,你发现了什么?”旨在引导学生发现“余数不不小于除数”的结论。 此题编得不

13、错,不必大改。核心是要增长一段文字,要告诉学生:“155=3(组)”也可写作“155=3(组)0(盆)”。这样,展目前学生面前的余数就有0,1,2,3,4五种,就不会由于余数0的隐匿,而使学生误觉得“一种整数除以5,只有1,2,3,4四种余数”了。 到四年级学习了“用字母表达数”后,课本还应当用更具概括性的语言告诉学生:在整数除法中,如果除数是a,则余数只能是0,1,2,a-1,一共有a种。 当今时代,数学不仅作为工具,发挥着越来越重要的作用,并且,数学作为一种文化,也日益进一步人心。近年来,人们对0的双重意义的结识越来越到位了。这不,没有距离被称作“零距离”;不收关税被称作“零关税”。把没有

14、误差称作“零误差”;把没有风险称为“零风险”。而像“零增长” “零收益” “零亏损” “零排放” “零损耗” “零学费” “零片酬”“零首付”“零月租”“零利息”之类的提法早已见诸各媒体。随着时间的推移,像此类以“零”为模式的词汇还在不断地诞生。前些时候,美国国务卿希拉里克林顿由于不满下属的荒唐行为,还首创了“零忍耐”一词,令人颇感新鲜。 “0”本是数学中的元素,在数学的整数除法中,又实实在在地存在着余数为0的现象,而为什么在我们的小学数学教科书上,反倒连一种“零余数”都不敢提呢?这真是:墙外百花齐放,墙内掖掖藏藏。令人不解其意,空自扼腕嗟伤! 教科书是师生进行教学活动的重要资源和重要根据,该说清的一定要说清,该指明的一定要指明。一切都要为学生的发展着想。千万别把某些该让孩子们懂得的数学知识“坚壁清野”,并且还藏得那么干净彻底,藏得那么了无痕迹,让教师都困扰莫名。试想,如果教科书都让教师 “找不到北”了,那么我们的孩子又能聪颖到哪里去呢?