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1、圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质， 就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。设P（X。】。）为圆锥曲线心、胶方+ D疽EF = 0 （A、B、C不同时为零） 上一定点，则在该点处的切线方程为： 怂猝十,对十Cge 空十E-H十F顼。（该方程与已知曲线方程 本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。该方程的推导，原则上用“法”求出在点P处的切线斜率*，进而用点斜式写出切线方程，-?。=沦微口（气），则在点P处的法线方程为1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线丁 = *幻
2、上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图1中口1=明。事实上，设四圣）为抛物线=邛忘上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得r 弓十稣P = _ -|例3设抛物线=W*的焦点为F，以F与A（4，4）为焦点作椭圆，使其与已知抛物求椭圆方程。，线有公共点（如图7），当长轴最短时分析：求解的关键是光线FP的反射线PA平行于x轴。2十2 = 1解：设以点A（4, 4）、F（4, 0）为焦点的椭圆为日一4 /（a为长半轴 长）。再设P为抛物线与椭圆的公共点，由椭圆第一定义知：|PA|+|PF|=2a即长轴长2a等于抛物线上一点P到两定点A、F距离之和
3、，若2a最小，当且仅当椭圆 与抛物线相切。此时，由圆锥曲线的光学性质知，光线FP的反射线PA平行于x轴。所以P(1，4)。由知&诚=%整4尸 M理十= 1所以所求的椭圆方程为12例4如图8，已知探照灯的轴截面是抛物线矿=乂，平行于对称轴W 的光线于此抛物 线上的入射点、反射点分别为P、Q，设点P的纵坐标为*顼，当a为何值时，从入射 点P到反射点Q的路程PQ最短？0、x史.ffl 8分析：设P但七或，由抛物线光学性质知PQ过焦点，故可用弦长公式建立目标 函数FQl=f( 求出最小值条件a即可。1 j解：由抛物线光学性质知光线PQ必过其焦点疽人设点次)，则直线pq的方 程为a (y =r艮一了aa- H V4将方程矿=惠代入，消去x，得4aya -(4a3 -l)y-a=Oy = -L“或(1 1 ， ， ,故知点Q坐标为U丘疽柘J叫M亦中,估当且仅当,即二时，等号成立。11 1) / 1此刻lPQlnm= 1，即当 *时，亦即入射点4 人 反射点U 刁时FQI最短，过 时P、Q恰好关于x轴对称。
圆锥曲线的光学性质及其应用
