固体物理学课后题答案

《固体物理学课后题答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《固体物理学课后题答案（23页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第一章 晶体结构1.1、如果将等体积球分别排成下列结构，设x表示钢球所占体积与总体积之比，证明: 结构简单立方6=0.52体心立方q 0.68v3兀8面心立方六角密排金刚石$ 0.34解：实验表明成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 nV体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率，x = -VVc很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）4a=2r， V=兀

2、r3， Vc=a3， n=1344兀r 3兀r 333兀x = = 0.52a38r368r3对于体心立方：晶胞的体对角线昭為=4r -a = 4|3xn=2, Vc=a342 x 兀r 3x =-a342 x 兀 r 33=3= 兀 q 0.68（处3 ）38（丁 r ）3(3)对于面心立方：晶胞面对角线BC=l2a = 4r,n a = 22rn=4，Vc=a3x 二a3/ 44 x兀 r 323 二-兀 q 0.74（2再）3(4)对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6xSABO/ a x a sin 60 =6 x22 a2晶胞的体积：V=SxC-亍 a2 x 詳a -3耳3 - 24

3、込33n=1212 x j + 2 x丄+ 3=6个244 x 兀 r 3 x -3_a3,44 x兀r 3 刁3-兀 q 0.74(212 r )36对于金刚石结构晶胞的体对角细G3a - 4 x 2r -a 3n=8, Vc=a3448 x兀 r 38 x兀 r 3x -33 亠o.34a3836r33壬31.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。证明：(1)面心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢)：fa (i + k)2 2a = 2(匚 + j)2由到格子基矢的定义：人-王(a x a )230,Q a - (a x a )1230,a2a2a 34a2a

4、 02 0,a a2 2b 2kx x (-i + j + k) (-i + j + k)1 a3 4aCtTiffifb (i - j + k)2a同理可得： 2即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。b 兰(i + j - k)3a所以，面心立方的倒格子是体心立方。(2)体心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢)：a = a (-i + j + k) i 2_a = (i-一k)2 2a2 /a =(i + j - k)2由到格子基矢的定义：匕王(a x a )020 = a - (a x a )=123_a 2a仓a,2a了a2a,2a2a2a_2a32a x a23j,a2a2

5、aa2,a2a_2a2=亍丿+ k )b = 2兀 x x (j + k) (j + k)1a32ab =兰(；+ k)2a同理可得： a即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。b=竺(“ j)3a所以，体心立方的倒格子是面心立方。“、证明倒格子矢量G =佗+ hb + h3b3垂直于密勒指数为(竽2h3)的晶面系。因为CA = ai-a3, CB = a-a，G = hb + hb + hb h hh h1 12 23 31323G - CA = 0 利用a -b = 2頑，容易证明hih2h3i j ijG- CB = 0-h1h2 h3所以，倒格子矢量G = hb + hb +

6、hb垂直于密勒指数为(hhh )的晶面系。1 1 L21 2 316、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系，面间距d满足：d2 = a2/(h2 + k2 +12)，其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。解：简单立方晶格：a 丄a 丄a , a = ai, a = aj, a = ak1 2 3 1 2 3丫a x a _ a x a - 丫a x a由倒格子基矢的定义厂b = 2兀2, b = 2兀3 , b = 2兀i 1 a - a x a 2 a - a x a 3 a - a x a123123123倒格子基矢：bi=牛:2 =即咕尹倒格

7、子矢量：G = hb 士kb + lb ,G斗h兰L+ k兰j + /还k123aaa2兀1晶面族(hkl)的面间距：d=Gh、人 J、()2 士(一)2 士(一)2/ a a ad2a 2(h 2 + k 2 + / 2)面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面 越容易解理。1.9、画出立方晶格(111)面、(100)面、(110)面，并指出(111)面与(100)面、(111)面与(110) 面的交线的晶向。解：(111)1、(111)面与(100)面的交线的AB, AB平移，A与O点重合，B点位矢：R =_aj 士 ak ,B(111)面

8、与(100)面的交线的晶向AB = _aj 士ak，晶向指数011。-2、(111)面与(110)面的交线的AB，将 AB平移 A与原点O重合，B点位矢：R =-ai 士 aj，(111)面B与(110)面的交线的晶向AB = -ai 士aj，晶向指数110。-第二章 固体结合21、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（u = 21n2 ）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N。urj解 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马 德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离， 于是有(+1) 1 1 1 1 -

9、2卜一+ + r r2 r3r4rij前边的因子2是因为存在着两个相等距离r的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求i和后要乘 2，马德隆常数为111a 21 + +.2 34x 2x3x 4* （1+ X） X + + .仏X 34111当 X=1 时，有 1 - + - 一- +. 2u(r ) a+r m r n234n23、若一晶体的相互作用能可以表示为试求：（1）平衡间距r0 ；（2）结合能W （单个原子的）;（3）体弹性模量；(4)若取m 2, n 10, r 3A,W 4eV，计算a 及卩的值。0解：（1）求平衡间距r0du (r) 由rr 0 ，有：mar m +1

10、0rr0nPr n +10.ma 上 mnIn卩丿结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量 称为结合能（用 w 表示）（2）求结合能w （单个原子的） 题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即 Uminminr m r n00即: W U（r） + A （可代入r0值，也可不代入）3）体弹性模量由体弹性模量公式：k 一r2 (d 2U、09V J dr 20丿r0皿=2, n = 10, = 3 A，w = 4eV,求a、P10p2aaU (r )

11、二0P4a+ =r 2 r 10 0.5r20（r08二乎代入）4an W = U(r )二 二 4eV05 r 20将 r 二 3 A , 1eV = 1.602 x 10-19 J 代入0a 二 7.209 x 10-38 N - m2nP 二 9.459 x 10-115 N - m2详解：（1）平衡间距r0的计算N 0 a P晶体内能U （厂）=（+）2 r m r ndUmanP平衡条件一;一_ 0，+ H _ 0，drr m +1r n +1r _000（ 2 ）单个原子的结合能r0ma-1-nm1 a PW =_ u(r )， u(r )=(+ )2 00rmrnr=Bma1nm

12、1 a (1m)(止)n-m2 n ma（3）体弹性模量K =（a 2U)dV2 V0V0晶体的体积V = NAr3 , A为常数,N 为原胞数目l)aV 2 rm+1 rn+1 3NAr2aVarNaP晶体内能U (r) _(+ )2rm rnaU aU arN ma nP)aV2ar amanP1ZTT (一 )2 aV ar rm+1 rn+1 3NAr 2a 2UaV 2V=V0N 1m2a n2P ma_+ -r mr n002 9V 20rm0+坐rn0由平衡条件aVN ma( /2 rm+1 r n+1 3NAr 2 0 0 0np )1 _ 0,manP得 _rmrn00a 2

13、U=N1 m 2aV 2r m6V 2=2 9V =V000a 2UN1maaV 21- m2 9V 2r mV =V000U=Na1)(+02rmrn00a 2Umn(-U )aV 29V 20V =V00rn0丄n卩+ n 二一rn0N nm a B -+ 2 9V 2 r m r n 0 0 0体弹性模量K = U| o 9V0(4)若取m = 2, n = 10, r = 3A, W = 4 eV0(_nPmaw=- a(i-)(也)n-m2 n maWrio2 oU = 2Ns工p -12ijiV )123 4兀 2 A 3/2000V解3 3 时，33 = Aq2 0f (3) =

14、 0,3 0 = 3 3 = Aq2 n q = A2 (3 3)20 0 0 0依据V 3(q) = 2Aq,f(3)=( J1，并带入上边结果有q(2兀V 3(q)|f (3)= V(3 3)/2A3/20ds V 1()A1/ 2V4兀(3 3 丿t = yX-2A20(3 3)/2(2K )203.10、设晶体中每个振子的零点振动能为力3，使用德拜模型求晶体的零点振动能。证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的与温度无关故T=0K时振动能牡就是各振动模零点能3 13V之和。E =f 3mE(3)g (3)d3将E(3)=禹3 和 g(3)= 32 代入积分有 00 002 n2 兀 2

15、 v 3s3V99E =3 4 = N 3，由于办 3 = k 0 得 E = Nk 006兀 2v 3 m 8mm B D 08 B Ds一股晶体德拜温度为02K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟.M3 11、一维复式格子m = 5 x 1.67 x 10-24 g,一 = 4,卩=1.5 x 101N/m (即1.51 x 104dyn/cm),求(1),光m学波3 0 , 3 0，声学波3 A。max min max （2）相应声子能量是多少电子伏。（3）在300k时的平均声子数。（4）与30 相对应的电磁波波长在什么波段maxV解(1), 3A =xam生,

16、.2x1,5X104dyn/cm = 3.00xib is-, M4 x 5 xl.67 x10243 o:迴也：2xl.5 xi04 x(4 x 5 + 5)xi.67 xi024 如 / cm = 6.70 x 10WmaxMm4 X 5 xl.67 X 1024 X 5 xl.67 X 10243 A =max2 xl.5 x104 dyn / cm5 xl.67 x1024=5.99 x 101 3s - 12)3A = 6.58 x 10-16 x 5.99 x 1013s-1 = 1.97 x 10-2eVmax3o = 6.58 x 10-16 x 6.70 x 1013s-1

17、= 4.41x 10-2eVmax3o = 6.58 x 10-16 x 3.00x 1013s-1 = 3.95x 10-2eVmin3)nA=_maxe 3max/kBT -1= 0.873,nOmax=0.221e 3max/kBT -1no = 0.276mine 办3O / k T 1min B(4) X = 28.1pm3第四章 能带理论兀42、写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1,2, 3)中，简约波数k =的0级波函数。2a11. 2x解屮 *(x) = eikx =eikxe1mx=1 严e 2 avL1mx=?fH 1e a(m +4)x第一能带：兀m -二 0, m

18、 = 0,屮 *( x)2ak第二能带：2兀b = b则bT b, m -=a.斗1=ei2a)屮*(x)=k 4L第三能带：Ct c, m 经,艮卩 m 1即 *( x)aa丄ei ：k 、La 1 A,5ff-i x e 2a4.3、电子在周期场中的势能2 b 2 - ( x- n , 当n a- b x n ah bYV(x) 0, 当(nl)a+b x (I)题设势能曲线如下图所示.V (x) 1J V (x)LL1J aV (x)dx 1Ja-bV (x )dxa ba - b题设a 4b ,故积分上限应为a-b 3b，但由于在b,3b区间内V(x) 0,故只需在b,b区间内积分这时

19、， n = 0 ，于是V 1Jb V (x)dx a - b呵 x2)dx -2a - bm 22ab2xb-b=mb 2。6(3),势能在-2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数m=-g丫m兀V cosm2b=2 J 2bJ2b oV(x)cosxdx =1 J：V (x)C0Sm兀 ,xdx2bmW 2第一个禁带宽度曽2叩以加=1代入上式弋广亍J严-x 2)csibdx利用积分公式J u2 cos mudu =m2(mu sin mu + 2cos mu )- sin mu 得m3厂穿厂b2第二个禁带宽度丁 2 V2 以=2代入上式代入上式兀xE = Jb(b2 - x2)cosd

20、x再次利用积分公式有E =g2b 0bmW 22mW2b 2g2兀244、用紧束缚近似模型求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带Es(k)函数。解：我们求解面心立方，同学们做体立方。(1) 如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：Es (k) = e J 工 J(R )e-ik(Rjs 0sRs=近邻k.在面心立方中，有12个最近邻，若取R = 0，则这12个最近邻的坐标是：m 沁丄0), 2(1工0), 2(n，o)，2(e)乙乙乙乙 2(o,1,1), 2(o,1,1), 2(o,1,1), 2(o，1，1)厶厶厶厶 2(1,o,1)2

21、(1,o,1), 2(1,o,1), 2(1,o? 1)厶厶厶厶由于S态波函数是球对称的在各个方向重叠积分相同因此J(RS)有相同的值简单表示为J1= J(RS)。又由于s态波函数为偶宇称即覧(-r)空(r)在近邻重叠积分-J(R ) = JP唯-R )U(g)-V(R )Ip (g)dg中，波函数的贡献为正siss i于是，把近邻格矢R代入Es (R )表达式得到: SSEs (k) = e J J 工 e-ik rS o 1Rs=近邻 aaaacTT Q-i (k +k )丄 Q-i (k -k )丄 Q-ia(-k + k )丄 Q-i (-k -k )e J J e 2 x r + e

22、 2 x / + e 2 x / + e 2 x y 丿So1+e -i 2(ky +kz)+ e 弋比戈)+ e -i ；( - ky +kz)+ e -i 2( - ky_kz)+ e -i 2( kx+kz)+ e - 7 kx 戈)+ e -i 2( - kx+kz)+ e -i 2( - kx kz)e - J - 2 J cos (k + k ) + cos (k k )+cos a ( k+ k ) + cos (k k )So1 12xy2xy _2 yz2 yz+ cos(k + k ) + cos(k k ) 2 z xz xyI cos(a + P) + cos(a P)

23、 = 2cos a cos Pa a a a a acos k cos k + cos k cos k + cos k cos k2 x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：2（i丄1）,1（1丄1）,1（1工1），!（1丄1）2（叮,与一（1,弓1）： Vo,(1,1,1)Es（k） =e - J -8J （cos k cosk cos k ）s 0 1 2 x 2 y 2 z47、有一一维单原子链，间距为a,总长度为2。求（1）用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带 E（k）函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s

24、态只有一个电子，求等于T=0K的费米能级E0及E0处的能态密度。FFV解(1) E(k) = e J J (eika + eika) = e J 2J cos ka = E 2J cos ka 01s0101E(k) = E J 二工J (p )e-ik-RsosdkdE2Nx=兀 2 J a sin ka 兀 J sin ka11 N = J kF2p (k) - 2dk = 2 -N - 2ko = 2NakF ko = o2 兀F兀F 2a_兀Eo = E(ko) = E 2 J cos - a = E , N(Eo) FF12as= N =F仃兀兀J兀 J sin -a 112a412

25、、正方晶格设有二维正方晶格，晶体势为U ( x,y)=4U cos2兀x )I cosa丿用基本方程，近似求出布里渊区角&，丿处的能隙.V解以i, j表示位置矢量的单位矢量，以b , b表示倒易矢量的单位矢量，则有,122k2k r = xi + yi, G = G b + G b =g b + g b 丿,g , g 为整数。1 1 2 2 a 1 1 2 2 1/ 2k x a丿( 、(.2k.2ki x - i xq e 晶体势能 U (x, y )=-4U coscosU(r)=-U eV a丿、,2k,2k0 Ty + e-i 匚y工丿 G (11)UeiG (li)G (11)其中

26、U/、=-U,而其他势能傅氏系数/,、= U=. = 0 。这样基 本方程G(11)G(10)G(20)(九8)C(K)+工 U G(K G) = 0变为kG(-G、)+ U(、C(-G(-、)+ U (-、C(-G(-、)+ U 厂、C(-G(-、)=0 求布里(11)G(11)(11)G(11)(11 )G(11)(11)G(九-8)C(K)+ U ( )CKG (11)，即k = G（2,2）= 2 G （11）处的能隙，可利用双项平面波近似屮=C(K)eiKr + C(K G)ei(K-G)r 来处理。（11）而其他的|k GK = 1G (11), K = - 1G (11)时依次有

27、 22K G (11 )= - 1G (11 ), K G (11 )= + 1GK G) |G(11)222丿，所以在双项平面波近似下上式中只有c/2G (11)丿C (kG (11)=C/2 G (11)； C V 2 G (11)丿,C Q - G (11 )= C V+ 2 G (11)1;( /九 -8 CV 1 G(11)丿 V九-8 CV -1G(11)丿九81G (11)2-u2 G (11)|- UC I -1G (11)丿=0:1=0-2 G (11)-UCI +1G (11)u九 =X = X2 G (11)- 2 G(ll)X- 8一:G (11)1G (11)T=壬

28、2=0，因为ma2由行列式有（九-8 ）2 - u 2 = 0解得8二九土 u =已！ 土 u , ma2kk所以在（，-）处的能隙为A8 =8 -8 = 2u.a a + -第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动5.1、设有一维晶体的电子能带可写成E(k)二(7-coska + cos2ka),其中a为晶格常数,ma2 88是电子的质量。试求(1)能带宽度；(2) 电子在波矢 k 状态的速度；(3) 带顶和带底的电子有效质量。2 71解：(1)E(k) =(一 cos ka + _ cos 2ka)ma2 8871ma2coska+_ (2cos2ka1)8 82=(coska2)214ma2当 ka= (2n+1)兀时,n=0, 1, 2E (k)二maxma2当 ka=2n兀时，E (k) = 0min2 2 能带宽度=E E =max min ma22)(3)1 dE (k)1 .u =(sin ka sin 2ka)右 dk ma41- dk2m*=m(cos ka 2 cos 2ka)1当 k = 0 时 , 带底， m* = 2 m当k 时,带顶,a