第六讲--指对数幂函数修改

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1、第六讲 指、对数、幂函数江苏省高邮中学徐慧青指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。纯熟掌握指数对数概念及其运算性质，纯熟掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其互相关系，对学习好高中函数知识，意义重大。1基本知识与基本措施1.1基本知识简介幂函数、指数函数、对数函数的概念形如的函数叫做幂函数。形如的函数叫做指数函数。形如的函数叫做对数函数。幂函数、指数函数、对数函数的性质当时，图像通过点，在上单调递增；当时，图像通过点，在上单调递减；指数函数其定义域是值域是。当时，函数单调递减；当时，函数单调递增。中学阶段只研究的情形。对

2、数函数其定义域是值域是。当时，函数单调递减；当时，函数单调递增。1.2基本措施简介函数思想、等价转化、分类讨论运用奇偶性整体思考;2，运用单调性等价转化;3，运用周期性回归已知4，运用对称性数形结合;5，借助特殊点，布列方程从数形结合的角度结识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特性的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用措施3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想措施解决问题的能力高考资源函数单调性的鉴定措施定义法：取值，作差，变形，定号，作答其中变形是核心，常用的措施有：通分、配方、因式分解导数法复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则函数奇偶

3、性的鉴定措施定义域有关原点对称是函数具有奇偶性的必要条件对于定义域内的任意一种x，若均有f(x)f(x)或 f(x)f(x)0，则f(x)为偶函数若均有f(x)f(x)或 f(x)f(x)0，则f(x)为奇函数基本知识应用.1函数的单调性应用复合函数单调性的判断一般遵循“同增异减”原则，这是一种简洁有效的措施。【例】讨论函数的单调性 ； 。解：易知函数定义域为。令，则原函数y=fg(x)是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而在时是减函数，在时是减函数，在时是增函数。又，即 ，则；，得。由下表讨论复合函数的单调性： 函数单调性可见，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。应用时注意复合函数

4、的单调性的讨论用列表法求解，十分以便且非常有效。此外，对于对数函数以及正切函数式复合函数的单调性讨论，不要忘掉其定义域。.2函数值域求法应用 配措施是求二次函数值域的基本措施之一，形如的函数值域问题，均可使用配措施。运用函数有界性可解决形如，等，由于，可求y范畴，从而求出其值域。【例】已知，求函数值域。解：由， 得 。 又函数f(x)定义域1,3，因此函数定义域为，解得，因此。由二次函数单调性得，所求函数值域为。应用时注意配措施中，新变量的取值范畴的变化，同步配措施是求函数值域的最基本最常用的措施。【例】求函数值域.解 ：由, 得, , 或y-1, 故原函数值域为。应用时注意内函数的有界性，由

5、于，也具有有界性，因此也可类似求解。3基本措施应用3.1分类讨论的应用措施按照方程的观点分析，根据已知条件即可建立有关的一元方程，从而求得。值域的问题，可以通过研究函数的性质来解决。【例】已知函数，对于定义域内的任意均有成立。 求实数的值 若当时，的取值范畴恰为，求实数的值。解: 及可得，解得。当时，函数无意义，因此只有 当时，其定义域为。因此或。若，则。任取，且，则，因此，即。因此当，在上单调递增。由题可知，当时，的取值范畴恰为，因此必有，解得（由于因此舍去）若，则。又由于，因此此时，同上可证在，因此在这种状况下无解。综上所述，符合题意的实数的值为，3.2特殊函数对称计算法的应用措施和式中共

6、有项，显然逐项相加是不可取的。需找出的构造特性，发现规律，注意到首项与末项的和相等。例如： 取就是高中数学联赛填空题：设那么和式的值=。上题中取，则和式值不变也可变化和式为求 设运用课本中推导等差数列前n项和的措施，可求得的值为。【例】若，求分析：和式中共有项，显然逐项相加是不可取的。需找出的构造特性，发现规律，注意到而规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：解：应用时注意观测比较，发现规律是本例突破口。例如：【例】等于解：点评：这里用到了对数恒等式：图像和性质【例】设，其中表达中的较小者，求的最大值。措施一：形成分段函数，最大值为措施二：，式乘以加式，得，因此。【例】已知有一正根和一负

7、根，求实数的范畴。解：方程有一正根一负根的充足必要条件是：（由韦达定理而来） 由,可得，从而由得: ，解得: ，由得：【例】设，记中的最大数为，求的最小值。解：，因此，于是中必有一种，即，于是的最小值，又当时，即此时，于是的最小值，所求的最小值为。【例】已知，求证：。证明：由于，因此， 故，【例】试比较的大小。解：对于两个正数的大小，作商与比较是常用的措施，记，则有 故得：【例】的十进制表达是个P位数，的十进位表达是个q位数，则。解：是个P位数, 函数的综合应用高考资源网函数的综合运用重要是指运用函数的知识、思想和措施综合解决问题函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题自身的数量本质特性和制约

8、关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特性，建立函数关系因此，运动变化、互相联系、互相制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想措施研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的核心【例】已知函数（1）求的定义域（2）判断的奇偶性并给以证明；（3）当时，求使的取值范畴；（4）求它的反函数分析：（1）求的反函数一方面用把表达出来，然后再对调, 即得到；（2）判断函数的奇偶性要根据奇函数或偶函数的定义，看当XR时与否有恒成立。解：（1）由对数的定义域知 解这个分式不定式，得： 故函数的定义域为（2） 由奇函数的定义知，

9、函数是奇函数。（3）由由于，因此由对数函数的单调性知，考虑由知去分母，得： 因此对于（4）由)得：应用会比分比定理得：，它就是函数的反函数即点评：从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论：函数的反函数是，它们都是奇函数。当时就构造了新的特殊的题目。进一步还可以研究它们的单调性，如函数的反函数 教育感言: 师说中写到：师者，传道、授业、解惑者也。可见，从古代起人们就十分注重对学生思想上的教育。要想教育好学生，做好学生的思想工作，我相信给学生以微笑和鼓励，收获的不只是微笑与信任；给学生以时间和空间，得到的不只是惊喜与快乐。 徐慧青习题若集合，则 =。求值：已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）高考资源网ABCD【解析】：由图易得取特殊点 .选A.计算：集合的真子集的个数是 。求函数的单调区间。已知指数函数，求满足的的取值。解方程设有有关的不等式（1）当时，解这个不等式；（2）当为什么值时，这个不等式的解集为？课后练习答案单调增区间，单调减区间 当时，当时，；