C单元　三角函数

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1、 数 学 C单元三角函数 C1 角的概念及任意角的三角函数C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式12B9、C2、C62015湖北卷 函数f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零点个数为_122解析 f(x)4cos2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|.令f(x)0，得sin 2x|ln(x1)|.在同一坐标系中作出函数ysin 2x与函数y|ln(x1)|的大致图像，如图所示观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f(x)有2个零点. 19C2、C5、C82015四川卷 如图14所示，A，B，C，D为平面四边形

2、ABCD的四个内角(1)证明：tan；(2)若AC180，AB6，BC3，CD4，AD5，求tantantantan的值19解：(1)证明：tan.(2)由AC180，得C180A，D180B.由(1)知，tantantantan.连接BD，在ABD中，有BD2AB2AD22ABADcos A，在BCD中，有BD2BC2CD22BCCDcos C，所以AB2AD22ABADcos ABC2CD22BCCDcos A，则cos A.于是sin A.连接AC，同理可得cos B，于是sin B.所以tan tan tan tan.9C2、C5、C72015重庆卷 若tan 2tan，则()A1 B

3、2C3 D49C解析 3.18C2、C3、C5、C62015重庆卷 已知函数f(x)sinxsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在，上的单调性18解：(1)f(x)sinxsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin2x，因此f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)当x，时，02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在，上单调递增；在，上单调递减C3 三角函数的图象与性质17C4、C32015湖北卷 某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个

4、周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：x02xAsin(x)0550(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将yf(x)图像上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图像，若yg(x)图像的一个对称中心为，求的最小值17解：(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，所以g(x)5sin.因为ysin x的图像的对称中心为(k，0)，kZ.所以令2x2k，kZ，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图像关于点成中心对称，

5、所以令，kZ，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.15C5，C32015北京卷 已知函数f(x)sincossin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，0上的最小值15解：(1)因为f(x)sin x(1cos x) sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为x0，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(x)在区间，0上的最小值为f1.12A3、C32015山东卷 若“x，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_121解析 ytan x在区间上单调递增，ytan x的最大值为tan1.又“x，tan xm”是真命题，m1.4C3，C42015四川卷

6、 下列函数中，最小正周期为且图像关于原点对称的函数是()Aycos2x Bysin2xCysin 2xcos 2x Dysin xcos x4A解析 选项A中，ysin 2x，最小正周期为，且图像关于原点对称；选项B中，ycos 2x是偶函数，图像不关于原点对称；选项C中，ysin，图像不关于原点对称；选项D中，ysin，最小正周期为2.故选A.15C3、C5、C62015天津卷 已知函数f(x)sin2xsin2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，上的最大值和最小值15解：(1)由已知，有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin2

7、x.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，f，f，f，所以f(x)在区间，上的最大值为，最小值为.18C2、C3、C5、C62015重庆卷 已知函数f(x)sinxsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在，上的单调性18解：(1)f(x)sinxsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin2x，因此f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)当x，时，02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在，上单调递增；在，

8、上单调递减C4函数的图象与性质10C42015安徽卷 已知函数f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，当x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()Af(2)f(2)f(0)Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(2)f(0)f(2)10A解析 依题意得f(x)在上单调递减，且直线x是f(x)的图像的一条对称轴又f(2)f(2)，f(0)f，且22f(2)f(2)f(2)，故选A.17C4、C32015湖北卷 某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：x02xAsin(x)0550(1)请将上

9、表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将yf(x)图像上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图像，若yg(x)图像的一个对称中心为，求的最小值17解：(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，所以g(x)5sin.因为ysin x的图像的对称中心为(k，0)，kZ.所以令2x2k，kZ，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图像关于点成中心对称，所以令，kZ，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.8C42015全国卷 函数f(

10、x)cos(x)的部分图像如图12所示，则f(x)的单调递减区间为()图12A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ8D解析 由图知1，所以T2，即2，所以.因为函数f(x)的图像过点，所以当时，2k，kZ，解得2k，kZ；当时，2k，kZ，解得2k，kZ.所以f(x)cos，由2kx2k解得2kx2k，kZ，故选D.9C4、C92015湖南卷 将函数f(x)sin 2x的图像向右平移0个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，有|x1x2|min，则()A. B.C. D.9D解析 由已知得g(x)sin(2x2)，又|f(x1)g(x2)|2，0，所以

11、当|x1x2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点令2x1，2x22，则|x1x2|，得.3C42015山东卷 要得到函数ysin的图像，只需将函数ysin 4x的图像()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位3B解析 设将ysin 4x的图像向右平移个单位，得到ysin 4(x)sin(4x4)sin，则.3C42015陕西卷 如图12，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sinxk，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()图12A5 B6 C8 D103C解析 据图可知，3k2，得k5，所以ymax358.4C3，C4

12、2015四川卷 下列函数中，最小正周期为且图像关于原点对称的函数是()Aycos2x Bysin2xCysin 2xcos 2x Dysin xcos x4A解析 选项A中，ysin 2x，最小正周期为，且图像关于原点对称；选项B中，ycos 2x是偶函数，图像不关于原点对称；选项C中，ysin，图像不关于原点对称；选项D中，ysin，最小正周期为2.故选A.11C4、C5、C6 2015浙江卷 函数f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，单调递减区间是_11(kZ)解析 f(x)sin 2x1sin，则最小正周期是.单调递减区间： 2k2x2k(kZ)kxk(kZ)C5 两

13、角和与差的正弦、余弦、正切16F3、C52015广东卷 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值8C52015江苏卷 已知tan 2，tan()，则tan 的值为_83解析 因为()，所以tan tan()3.17C5、C82015全国卷 ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长17解：(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(

14、2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)知AB2AC，所以AC1.2C52015全国卷 sin 20cos 10cos 160sin 10()A B.C D.2D解析 sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.15C5，C32015北京卷 已知函数f(x)sincossin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，0上的最小值15解：(1)因

15、为f(x)sin x(1cos x) sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为x0，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(x)在区间，0上的最小值为f1.12C52015四川卷 sin 15sin 75的值是_12.解析 sin 15sin 75sin 15cos 15sin(1545)sin 60.19C2、C5、C82015四川卷 如图14所示，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角(1)证明：tan；(2)若AC180，AB6，BC3，CD4，AD5，求tantantantan的值19解：(1)证明：tan.(2)由AC180，得C180A，D180B.由(1)知

16、，tantantantan.连接BD，在ABD中，有BD2AB2AD22ABADcos A，在BCD中，有BD2BC2CD22BCCDcos C，所以AB2AD22ABADcos ABC2CD22BCCDcos A，则cos A.于是sin A.连接AC，同理可得cos B，于是sin B.所以tan tan tan tan.15C3、C5、C62015天津卷 已知函数f(x)sin2xsin2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，上的最大值和最小值15解：(1)由已知，有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin2x.所以f(x)的最

17、小正周期T.(2)因为f(x)在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，f，f，f，所以f(x)在区间，上的最大值为，最小值为.11C4、C5、C6 2015浙江卷 函数f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，单调递减区间是_11(kZ)解析 f(x)sin 2x1sin，则最小正周期是.单调递减区间： 2k2x2k(kZ)kxk(kZ)9C2、C5、C72015重庆卷 若tan 2tan，则()A1 B2C3 D49C解析 3.18C2、C3、C5、C62015重庆卷 已知函数f(x)sinxsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在，上

18、的单调性18解：(1)f(x)sinxsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin2x，因此f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)当x，时，02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在，上单调递增；在，上单调递减C6 二倍角公式12B9、C2、C62015湖北卷 函数f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零点个数为_122解析 f(x)4cos2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|.令f(x)0，得sin 2x|ln(x

19、1)|.在同一坐标系中作出函数ysin 2x与函数y|ln(x1)|的大致图像，如图所示观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f(x)有2个零点. 12C6，C82015北京卷 在ABC中，a4，b5，c6，则_121解析 根据题意，cos A.因为0A，所以sin A.同理可求sin C，所以1.6A2、C62015陕西卷 “sin cos ”是“cos 20”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6A解析 sin cos 时，cos 2cos2sin20，反之cos 20时，sin cos ，故“sin cos ”是“cos 20”的充分不必要条

20、件15C3、C5、C62015天津卷 已知函数f(x)sin2xsin2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，上的最大值和最小值15解：(1)由已知，有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin2x.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，f，f，f，所以f(x)在区间，上的最大值为，最小值为.11C4、C5、C6 2015浙江卷 函数f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，单调递减区间是_11(kZ)解析 f(x)sin 2x1sin，则最小正周期是.单调递减区间： 2k

21、2x2k(kZ)kxk(kZ)18C2、C3、C5、C62015重庆卷 已知函数f(x)sinxsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在，上的单调性18解：(1)f(x)sinxsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin2x，因此f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)当x，时，02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在，上单调递增；在，上单调递减C7 三角函数的求值、化简与证明14C7、F32015江苏卷 设向量ak(k0，1，2，12)，则(aka

22、k1)的值为_149解析 因为akak1coscos2coscossinsinsincoscossincoscoscossincossin，所以(akak1)12cossin9.16C7、C82015山东卷 设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f0，a1，求ABC面积的最大值16解：(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsin A0，得sin A.由题意知A

23、为锐角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，当且仅当bc时等号成立，因此bcsin A，所以ABC面积的最大值为.图129C2、C5、C72015重庆卷 若tan 2tan，则()A1 B2C3 D49C解析 3.C8解三角形16C82015安徽卷 在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长16解：设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c.由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理得sin B，且0B，所以cos B.在ABD中，由正弦

24、定理得AD.11C82015广东卷 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_.111解析 sin B，B或.当B时，有BC，不符合，BC，bcos，b1.13C82015湖北卷 如图12，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.图1213100解析 依题意，在ABC中，AB600，BAC30，ACB753045.由正弦定理得，即，所以BC300.在BCD中，CBD30，CDBCtanCBD300tan 30100.15C

25、82015江苏卷 在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值15解：(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sin Csin A.因为ABBC，所以C为锐角，则cos C.因此sin 2C2sin Ccos C2.17C5、C82015全国卷 ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长17解：(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正

26、弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)知AB2AC，所以AC1.16C82015全国卷 在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_16(，)解析 如图所示MBABEB，在BMC中，CBCM2，BCM30，由余弦定理知MB22222222cos 3084()2，所以MB.在EBC中，设EBx，由余弦定理知4x2x22xxcos 30，得x284()2，所以x，即EB，所以AB.12C6，C8

27、2015北京卷 在ABC中，a4，b5，c6，则_121解析 根据题意，cos A.因为0A0，所以A0，.于是sin Asin Csin Asin2Asin Acos 2A2sin2Asin A12sin A2.因为0A，所以0sin A，因此2sin A2.由此可知，sin Asin C的取值范围是，.16C7、C82015山东卷 设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f0，a1，求ABC面积的最大值16解：(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，k

28、Z，可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsin A0，得sin A.由题意知A为锐角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，当且仅当bc时等号成立，因此bcsin A，所以ABC面积的最大值为.17C82015陕西卷 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面积17解：(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而t

29、an A，由于0A0，所以c3.故ABC的面积为bcsin A.方法二：由正弦定理得，从而sin B，又由ab，知AB，所以cos B.故sin Csin(AB)sinBsin Bcoscos Bsin.所以ABC的面积为absin C.19C2、C5、C82015四川卷 如图14所示，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角(1)证明：tan；(2)若AC180，AB6，BC3，CD4，AD5，求tantantantan的值19解：(1)证明：tan.(2)由AC180，得C180A，D180B.由(1)知，tantantantan.连接BD，在ABD中，有BD2AB2AD22ABADc

30、os A，在BCD中，有BD2BC2CD22BCCDcos C，所以AB2AD22ABADcos ABC2CD22BCCDcos A，则cos A.于是sin A.连接AC，同理可得cos B，于是sin B.所以tan tan tan tan.13C82015天津卷 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_138解析 在ABC 中，cos A，则sin A，又由ABC的面积为3 ，可得bcsin A3，求得bc24，所以a2b2c22bccos A(bc)22bc2bc64，解得a8.16C82015浙江卷 在ABC中，内角A

31、，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值16解：(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C，所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos Csin2C，解得tan C2.(2)由tan C2，C(0，)得sin C，cos C.又因为sin Bsin(AC)sin，所以sin B.由正弦定理得cb.又因为A，bcsin A3，所以bc6 ，故b3.13C82015重庆卷 在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC_13.解析 在ABD中，由正弦定理，得sin

32、ADB.由题意知0ADB60，所以ADB45，则BAD15，所以BAC2BAD30，所以C30，所以BCAB.由余弦定理，得AC. C9 单元综合19C92015福建卷 已知函数f(x)的图像是由函数g(x)cos x的图像经如下变换得到：先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度(1)求函数f(x)的解析式，并求其图像的对称轴方程(2)已知关于x的方程f(x)g(x)m在0，2)内有两个不同的解，.(i)求实数m的取值范围；(ii)证明：cos()1.19解：方法一：(1)将g(x)cos x的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐

33、标不变)得到y2cos x的图像，再将y2cos x的图像向右平移个单位长度后得到y2cos的图像，故f(x)2sin x.从而函数f(x)2sin x图像的对称轴方程为xk(kZ)(2)(i)f(x)g(x)2sin xcos xsin(x).依题意，sin(x)在0，2)内有两个不同的解，当且仅当1，故m的取值范围是(，)(ii)证明：因为，是方程sin(x)m在0，2)内的两个不同的解，所以sin()，sin().当1m时，2，即2()；当m1时，2，即32()所以cos()cos 2()2sin2()1211.方法二：(1)同方法一(2)(i)同方法一(ii)因为，是方程sin(x)m

34、在0，2)内的两个不同的解，所以sin()，sin().当1m时，2，即()；当m1时，2，即3()所以cos()cos()于是cos()cos()()cos()cos()sin()sin()cos2()sin()sin()1.9C4、C92015湖南卷 将函数f(x)sin 2x的图像向右平移0个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，有|x1x2|min，则()A. B.C. D.9D解析 由已知得g(x)sin(2x2)，又|f(x1)g(x2)|2，0，所以当|x1x2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点令2x1，2x22，则|x1

35、x2|，得.72015杭州质检 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos 2A2cos A.(1)求角A的大小；(2)若a1，求ABC的周长l的取值范围7解：(1)根据倍角公式，得2cos2A2cos A，即4cos2A4cos A10，所以(2cos A1)20，所以cos A.因为0A，所以A.(2)由，得bsin B，csin C，所以l1bc1(sin Bsin C)因为A，所以BC，所以l112sin.因为0B，所以l(2，382015咸阳一模 已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC的面积Saccos B.(1)若c2a，求角A，B，C的

36、大小；(2)若a2，且A，求c的取值范围8. 解：由题意可知，acsin Baccos B，化简，得sin Bcos B，即tan B，又0B0)的图像与直线y2的相邻两个交点之间的距离为.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(A)2，ab，求角B的大小10解：(1)因为f(x)sin xcos x(0，xR)，所以f(x)2sin，所以函数f(x)的最大值为2.因为函数f(x)的图像与直线y2的相邻两个交点之间的距离为，所以f(x)的最小正周期T，所以，解得2，所以f(x)2sin.令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ.(2)由(1)知，f(x)2sin.在ABC中，因为f(A)2，所以2sin2，所以sin1.因为0Ab，所以AB，所以0B0, | | 的部分图像如图K162所示，如果x1，x2 ，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)()A. B. C. D17C解析 由图像知，函数的最小正周期T2，则2.由函数f(x)的图像过点，得sin0，又|，所以，所以f(x)sin.由x1，x2 ，且f(x1)f(x2)，易得点(x1，f(x1)与点(x2，f(x2)关于直线x对称，即x1 x2，所以f(x1x2)sin.