指数与指数幂的运算时

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1、 2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算【教学重点教学重点】【教学目标教学目标】【教学难点教学难点】利用函数的单调性求最值利用函数的单调性求最值.理解函数最大理解函数最大(小小)值及其几何意义值及其几何意义会利用函数的单调性及图象求函数的最值会利用函数的单调性及图象求函数的最值逐步渗透数形结合的数学思想方法逐步渗透数形结合的数学思想方法难点难点:函数在给定区间上的最大函数在给定区间上的最大(小小)值值教法教法:自学辅导法、讨论法、讲授法自学辅导法、讨论法、讲授法学法学法:归纳归纳讨论讨论练习练习【教学方法教学方法】【教学手段教学手段】多媒体电脑与投影仪多媒体电脑与投影仪 树龄

2、达树龄达35003500多年多年,树高树高26.326.3米米,周粗周粗15.715.7米米,号称号称“天下第一银杏树天下第一银杏树”.浮来山上浮来山上“千年古刹定林寺千年古刹定林寺”曾是南北曾是南北朝时期杰出的文学评论家刘勰的故居朝时期杰出的文学评论家刘勰的故居,距今已距今已有有15001500多年的历史多年的历史,院内有一棵银杏树院内有一棵银杏树,树龄树龄达达35003500多年多年,号称号称“天下第一银杏树天下第一银杏树”银杏银杏,叶子夏绿叶子夏绿秋黄秋黄,是全球中最古是全球中最古老的树种老的树种.在在200200多多万年前万年前,第四纪冰川第四纪冰川出现出现,大部分地区的大部分地区的银

3、杏毁于一旦银杏毁于一旦,残留残留的遗体成为了印在的遗体成为了印在石头里的植物化石石头里的植物化石.在这场大灾难中在这场大灾难中,只只有中国保存了一部有中国保存了一部分活的银杏树分活的银杏树,绵延绵延至今至今,成了研究古代成了研究古代银杏的活教材银杏的活教材.所以所以,人们把它称为人们把它称为“世世界第一活化石界第一活化石”.2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 考古学家根据什么推断出银杏于考古学家根据什么推断出银杏于200200多万多万年前就存在呢年前就存在呢?2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算问题问题:当生物体死亡后当生物体死亡后,它机体内原有的碳它

4、机体内原有的碳14会会按确定的规律衰减按确定的规律衰减,大约每经过大约每经过5730年衰减为原年衰减为原来的一半来的一半,这个时间称为这个时间称为“半衰期半衰期”.根据此规根据此规律律,人们获得了生物体内含量人们获得了生物体内含量P与死亡年数与死亡年数t之间之间的关系的关系,这个关系式应该怎样表示呢这个关系式应该怎样表示呢我们可以先来考虑这样的问题我们可以先来考虑这样的问题:(1)当生物体死亡了当生物体死亡了5730,57302,57303,年后年后,它体内碳它体内碳14的含量的含量P分别为原来的多少分别为原来的多少?1,221(),231(),.22.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与

5、指数幂的运算(2)当生物体死亡了当生物体死亡了6000年年,10000年年,100000年年后后,它体内碳它体内碳14的含量的含量P分别为原来的多少分别为原来的多少?600057301(),210000057301(),.21000057301(),2(3)由以上的实例来推断关系式应该是什么由以上的实例来推断关系式应该是什么?57301().2tP 考古学家根据上式可以知道考古学家根据上式可以知道,生物死亡生物死亡t年年后后,体内碳体内碳14的含量的含量P的值的值.2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算(4)那么这些数那么这些数 的意义究竟的意义究竟是什么呢是什么呢?它和我们

6、初中所学的指数有什么区它和我们初中所学的指数有什么区别别?60001000030000573057305730111(),(),()222这里的指数是分数的形式这里的指数是分数的形式.指数可以取分数吗指数可以取分数吗?除了分数还可以取除了分数还可以取其它的数吗其它的数吗?我们对于数的认识规律是怎样我们对于数的认识规律是怎样的的?自然数自然数 整数整数 分数分数(有理数有理数)实数实数.2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算关系式关系式 就会成为我们后面将要相继就会成为我们后面将要相继 为了能更好地研究指数函数为了能更好地研究指数函数,我们有必我们有必要认识一下指数概念的扩充和

7、完善过程要认识一下指数概念的扩充和完善过程,这这就是下面三节课将要研究的内容就是下面三节课将要研究的内容:57301()2tP (5)指数能否取分数指数能否取分数(有理数有理数)、无理数呢、无理数呢?如如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后,从今天开始从今天开始,我们学习指数与指数幂的运我们学习指数与指数幂的运算算.研究的一类基本初等函数研究的一类基本初等函数“指数函数指数函数”的的一个具体模型一个具体模型.2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算22=4(-2)2=4 回顾初中知识回顾初中知识,根式是如何定义的？有根式是如何定义的？有那

8、些规定？那些规定？如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于a,则这个数叫做则这个数叫做 a的平方根的平方根.如果一个数的立方等于如果一个数的立方等于a,则这个数叫做则这个数叫做a 的立方根的立方根.2,-2叫叫4的平方根的平方根.2叫叫8的立方根的立方根.-2叫叫-8的立方根的立方根.23=8(-2)3=-82.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算24=16(-2)4=162,-2叫叫16的的4次方根次方根;2叫叫32的的5次方根次方根;2叫叫a的的n次方根次方根;x叫叫a的的n次方根次方根.xn=a2n=a25=32通过通过方法，可得方法，可得n次方根的定义次方根的定义.2.

9、1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算1.方根的定义方根的定义 如果如果xn=a,那么那么x叫做叫做 a 的的n次方根次方根(n th rootn th root),其中其中n1,且且nN*.24=16(-2)4=1616的的4次方根是次方根是2.(-2)5=-32-32的的5次方根是次方根是-2.2是是128的的7次方根次方根.27=128即即 如果一个数的如果一个数的n次方等于次方等于a(n1，且，且nN*)，那么这个数叫做，那么这个数叫做 a 的的n次方根次方根.2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 【1】试根据】试根据n次方根的定义分别求出下次方根的定

10、义分别求出下列各数的列各数的n次方根次方根.(1)25的平方根是的平方根是_;(2)27的三次方根是的三次方根是_;(3)-32的五次方根是的五次方根是_;(4)16的四次方根是的四次方根是_;(5)a6的三次方根是的三次方根是_;(6)0的七次方根是的七次方根是_.点评点评:求一个数求一个数a的的n次方根就是求出次方根就是求出哪个数哪个数的的n次方等于次方等于a.53-220a22.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算23=8(-2)3=-8(-2)5=-32 27=1288的的3次方根是次方根是2.-8的的3次方根是次方根是-2.-32的的5次方根是次方根是-2.128的的

11、7次方根是次方根是2.奇次方根奇次方根 1.正数的奇次方根是一个正数正数的奇次方根是一个正数,2.负数的奇次方根是一个负数负数的奇次方根是一个负数.nana的的 次次方方根根(奇奇用用符符号号次次)表表示示.382.记记作作：382.记记作作：5322.记记作作：71282.记记作作：2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算72=49(-7)2=4934=81(-3)4=8149的的2次方根是次方根是7，-7.81的的4次方根是次方根是3，-3.偶次方根偶次方根 2.负数的偶次方根没有意义负数的偶次方根没有意义 1.正数的偶次方根有两个且互为相反数正数的偶次方根有两个且互为相反

12、数 想一想想一想:哪个数的平方为负数？哪个数的偶次哪个数的平方为负数？哪个数的偶次方为负数？方为负数？记记作作：497 记记作作：4813 (nanan 正正数数 的的 次次方方根根用用符符号号表表示示为为偶偶数数）26=64(-2)6=6464的的6次方根是次方根是2，-2.记记作作：6642.2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算正数的奇次方根是正数正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零零的奇次方根是零.(1)奇次方根有以下性质：奇次方根有以下性质：,21,N,0,2,N.nnankkxnaak k 那那么么如如果果,axn(2)

13、偶次方根有以下性质：偶次方根有以下性质：正数的偶次方根有两个且是相反数，正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零零的偶次方根是零.2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算nana 根指数根指数根式根式被开方数被开方数2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 由由xn=a 可知，可知，x叫做叫做a的的n次方根次方根.233(9)_,(8)_.9-8 当当n是奇数时是奇数时,对任意对任意a R都有意义都有意义.它表它表示示a在实数范围内唯一的一个在实数范围内唯一的一个n次方根次方根.()nnaa na 当当n是偶数时是偶数

14、时,只有当只有当a0有意义有意义,当当a0时时无意义无意义.na(0)na a(0)na a()nnaa表示表示a在实数范围内的一个在实数范围内的一个n次方根次方根,另一个是另一个是2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算.nnaa 553322,22.(1 1)（）（）444444(3)22,(2)222.(2 2)22233,(3)3.(3)3,式子式子 对任意对任意a R都有意义都有意义.nna结论结论:an开奇次方根开奇次方根,则有则有|.nnaa 结论结论:an开偶次方根开偶次方根,则有则有2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 .nnaa 公式公式

15、1.1.适用范围适用范围:当当n为大于为大于1的奇数时的奇数时,aR.当当n为大于为大于1的偶数时的偶数时,a0.公式公式2.2.适用范围适用范围:n为大于为大于1的奇数的奇数,aR.公式公式3.3.适用范围适用范围:n为大于为大于1的偶数的偶数,aR.nnaa|.nnaa 2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算44(3)(3);2(2)(10);2(4)()().abab 33(8);（1 1）24423343310281ba 解解：=-8;=10;|3|10|ab .ab ab 3;例例1.求下列各式的值求下列各式的值2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运

16、算4162 55(3)3 55(3)3 44(3)3 105(3)3 【1】下列各式中】下列各式中,不正确不正确的序号是的序号是().2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算532;43;（）52 6.55532(2)2;4223399;2 2（）()()2(3)23|23|32;（）223;（）2()5 2 62332.（）4 4解解:【2】求下列各式的值】求下列各式的值.2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算例例2.填空填空:(1)在在 这四个式子中这四个式子中,没有意义的是没有意义的是_.532442164(2),(3)nnaa 214(3)n (2)若

17、若 则则a 的的取值范围是取值范围是_.296131,aaa 13a22bc 2)_.abcbac （(3)已知已知a,b,c为三角形的三边为三角形的三边,则则2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算例例3计算计算1 21 2(ee)4(ee)4.解：解：1 21 2(ee)4(ee)4.22112211ee2ee4ee2ee4 2222ee2ee2 1 21 2(e e)(e e)11|e e|e e|11(e e)(e e)2e.2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算例例 求求使使等等式式成成立立的的 的的范范围围24.(2)(4)(2)2.xxxxx 2

18、(2)2xx 解解2:(2)(4)xx22.xx22(2)2.xxxx 20,20,|2|2.xxxx 或或即即或或2,2.xx 则有则有所以所以x的取值范围是的取值范围是2,2.xx 或或2,2,20.xxx 或或2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算2.2.根式的性质根式的性质 (1)(1)当当n为奇数时，正数的为奇数时，正数的n次方根是一个正数次方根是一个正数,负数的负数的n次方根是一个负数次方根是一个负数,这时这时,a的的n次方根用次方根用符号符号 表示表示.1.根式定义根式定义(2)当当n为偶数时为偶数时,正数正数a的的n次方根有两个次方根有两个,合写合写为为.na na负数没有偶次方根负数没有偶次方根.零的任何次方根都是零零的任何次方根都是零.零的任何次方根零的任何次方根都是零都是零.2.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算(2);nnaa(3)|.nnaa 4.若若xn=a,x怎样用怎样用a表示？表示？为为奇奇数数不不存存为为数数为为偶偶数数在在偶偶,0,0,0,0.nnnnaanaaxa (1);nnaa 3.三个公式三个公式