实变函数与泛函分析基础第三版答案

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1、泛函分析习题解答1、设为一度量空间,令 ,问的闭包与否等于。解答:在一般度量空间中不成立,例如:取的度量子空间,则中的开球的的闭包是,而2、设是区间上无限次可微函数全体,定义,证明:按构成度量空间。证明:(1)显然且有,特别当时有有。(2)由函数在上单调增长,从而对有即三角不等式成立。3、设是度量空间中的闭集,证明必有一列开集涉及,并且。证明:设为度量空间中的闭集,作集: ,为开集,从而只要证;可实上,由于任意正整数,有,故:。另一方面,对任意的,有 ,令 有。因此(由于闭集)。这就是说, 综上所证有:。4、设为度量空间上的距离,证明也是上的距离。证明:一方面由为度量空间上的距离且,因此显然有

2、且的充要条件是,而的充要条件是,因此的充要条件是。另一方面由函数在上单调增长有即三角不等式成立。因此也是上的距离。5、证明点列按题2中距离收敛于的充要条件为的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。证明:由题2距离的定义:则有:若上述距离收敛于,则。因此对任何非负整数有:。由此对任何非负实数有。从而对任何非负整数,的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。反之:若对每个,的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数,则对每个有,则有:从而对任意的非负实数有:。又由于从而;,于是有:。从而取时 于是有。从而点列按题2中距离收敛于。7、设及是度量空间中两个集,如果,证明必有不相交开集及分别涉及及。证明:记。,觉得半径作

3、点的邻域,令,则是开集且。同理可作开集,使得。余证,如若否则即,则存在,由及的作法可知,必有,使得,即,。从而有另一方面,从而有,由于,故得矛盾。因此。9、设是可分距离空间,为的一种开覆盖,即是一族开集,使得对每个,有中的开集,使,证明必可从中选出可数个集构成的一种开覆盖。证明:因是可分距离空间,因此在中存在可数稠密子集。因是的一种开覆盖。因此,存在中的开集,使得且是的内点。存在,使,因在中稠密,从而可在上取出中的点,再取有理数,使得(此处的有理数与均有关系)于是,由的任意性从而满足该条件的开集的全体覆盖。又由于的和均为可数故这种开集的全体至多可数。10、设是距离空间,为中的子集,令,证明是上的持续函数。证明:,则由可得同理可得:。因此当即时有。因此在处持续,由在上的任意性得在上持续。14、Cauahy点列是有界点列。证明:设是度量空间中的中的Cauahy点列,则有。特别取,则对任意的有,则 ,即点列的直径,从而点列是有界集。另一方面对于,取,则即是中的有界集。又集,因此有界。设是赋范空间,是中的Cauahy点列点列,则时有,今取,则,使得。,取,则,有。因此点列有界。18、设为完备度量空间,是到中的映射,记,若,则映射有唯一不动点。证明:因,由级数收敛之必要条件有,于是对于,时有。于是时,。从而从后,映射是到的压缩映射。又由于是完备的,因此映射有唯一不动点。

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