（名师导学）2020版高考数学总复习 第四章 三角函数、平面向量与复数 第30讲 平面向量应用练习 文（含解析）新人教A版

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1、第30讲平面向量应用夯实基础【p69】【学习目标】平面向量在平面几何、解析几何、三角函数、数列等方面的综合应用【基础检测】1已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(1，4)，则这个三角形是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形【解析】(2，2)，(6，6)，12120，又|，ABC为直角三角形【答案】B2河中水流自西向东以每小时10 km的速度流动，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10 km，该小船行驶的方向和静水速度分别为()A西偏北30，速度为20 km/hB北偏西30，速度为20 km/hC西偏北30

2、，速度为20 km/hD北偏西30，速度为20 km/h【解析】由题意得v静水20，方向为北偏西30，选B.【答案】B3已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则()()_【解析】()()()22|2，显然|的长度为半个周期，周期T2，|1，所求值为2.【答案】24已知点A(3，3)，O 为坐标原点，设点P(x，y)，且x，y满足则向量在向量方向上的投影的取值范围是_. 【解析】如图所示，作出P的可行域OMN，设zxy，由直线yxz过点M(2，4)时zmax6，当过点N(2，0)时zmin2，即xy(2，6)，向量在向

3、量方向上的投影为：|cos，|(，3)【答案】【知识要点】1向量应用的常用结论(1)两个向量垂直的充要条件向量表示：ab_ab0_坐标表示：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_x1x2y1y20_(2)两个向量平行的充要条件向量表示：若ab，且b0，则_R，使ab_；坐标表示：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_x1y2x2y10或_(3)夹角公式：cos _(0180)(4)模长公式：|a|.(5)数量积性质：|ab|a|b|.2向量应用的分类概述(1)应用平面向量解决函数与不等式的问题，是以函数和不等式为背景的一种向量描述它需要掌握向量的概念及基本运算，并能根据题设条件

4、构造合适的向量，利用向量的“数”“形”两重性解决问题(2)平面向量与三角函数的整合，仍然是以三角题型为背景的一种向量描述. 它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体(3)平面向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标运算，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体(4)平面向量在平面几何中的应用，是以平面几何中的基本图形(三角形、平行四边形、菱形等)为背景，重点考查平面向量的线性运算(三角形法则，平行四边形法则)和几何图形的基本性质(5)平面向量在物理力学

5、等实际问题中的应用，是以实际问题为背景，考查学科知识的综合及向量的方法典 例 剖 析【p70】考点1用向量解决平面几何问题(1)P为四边形ABCD所在平面上一点，则P为()A四边形ABCD对角线交点BAC的中点CBD的中点DCD边上一点【解析】，0.点P为线段AC的中点故选B.【答案】B(2)在ABC中，若，则点O是ABC的_(填“重心”“垂心”“内心”“外心”)【解析】，()0，0，OBCA，即OB为ABC底边CA上的高所在直线同理0，0，故O是ABC的垂心【答案】垂心【小结】利用向量知识解决平面几何问题的一般方法，即所谓的“三部曲”：(1)建立起平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的

6、几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、平分等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系考点2用向量解决解析几何问题(1)设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足0，则_【解析】0，OMCM，OM是圆的切线，设OM的方程为ykx，由，得k，即.【答案】(2)已知向量(k，12)，(4，5)，(10，k)，且A、B、C三点共线当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_【解析】(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0)的准线方程是：x.(1)求抛物线方程

7、；(2)设直线yk与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明以MN为直径的圆过O点【解析】(1)由题意p1，则抛物线方程为y22x.(2)联立得y22，即y2y40，令M，N，y1y24，x1x2yy4，x1x2y1y2yyy1y2440，以MN为直径的圆过O点方 法 总 结【p70】1用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系2应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应

8、的问题如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用；如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题3几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积ab0，尽量用坐标运算走 进 高 考【p70】1(2018江苏)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的横坐标为_【解析】因为0，所以ABCD，又点C为AB的中点，所以BAD45.设直线l的倾斜角为，直线AB的斜率为k，则tan 2，ktan3.又B(5，0)，所以直线AB的方程为y3(x5)，又A为直线l：y2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得所以点A的横坐标为3.【答案】3- 5 -