可降阶的高阶微分方程

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1、高等院校非数学类本科数学课程第七章 常微分方程本章学习要求：n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.n知道下列高阶方程的降阶法：.)()(xfyn),(yxfy ),(yyfy n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法.n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非

2、齐线性微分方 程的解法.第三节第三节 几种可降阶的高阶常微分方程几种可降阶的高阶常微分方程二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法，称为分方程进行求解的方法，称为“降阶法降阶法”。“降阶法降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。是解高阶方程常用的方法之一。型型)(.1)(xfyn )1(，则原方程化为，则原方程化为令令nyu )(dd。xfxu这是变量可分离的方程，两边积分，得这是变量可分离的方程，两边积分，得 ,)(d)(11CxCxxfu即即 )(1)

3、1(。Cxyn )()(型型仍仍是是xfyn 只需连续进行只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程，但请注意：次积分即可求解这类方程，但请注意：每次积分都应该出现一个积分常数。每次积分都应该出现一个积分常数。例解解 ln 的的通通解解。求求方方程程xy lndln1，Cxxxxxy xCxxxyd)ln(1 432ln212，CxCxxxCxCxxyd432ln212 23611ln61322133。CxCxCxxx 3 次，得到所求的通解：次，得到所求的通解：连续积分连续积分对方程两边关于对方程两边关于 x 例解解 1 )(的的通通解解。求求方方程程ny 次，得到所求的通解：次，得到所求的通

4、解：连续积分连续积分对方程两边关于对方程两边关于nx 1)1(，Cxyn 21212)2(，CxCxyn !21!3132213)3(，CxCxCxyn !)2(1!)1(112211，nnnnCxCxCnxny !)1(1!1111。nnnnCxCxCnxny型型),(.2)1()(nnyxfy )1(，则则原原方方程程化化为为令令nyp ),(dd。pxfxp这是一个一阶微分方程。设其通解为这是一个一阶微分方程。设其通解为 ),(1，Cxp ),(1)1(，Cxyn )()(型的方程：型的方程：这是一个这是一个xfyn连续积分即可求解。连续积分即可求解。例解解 3 1 2)1 (002解解

5、。，满满足足条条件件求求方方程程 xxyyyxyx ，则原方程化为，则原方程化为令令yp 1d2d2，xxxpp两边积分，得两边积分，得 )1 (21，xCp即即 )1(dd21，xCxy再积分，得原方程的通解再积分，得原方程的通解 )31(d)1 (23121。CxxCxxCy 3 1 00代代入入，得得，以以条条件件xxyy 1 321。，CC 13 3。故故所所求求特特解解为为xxy 例解解 0 )4()5(的通解。求方程 yyx )4(，则则原原方方程程化化为为令令yp 0dd，pxpx分离变量，得分离变量，得 dd，xxpp积分，得积分，得 )4(，Cxpy连续积分连续积分 4 次，

6、得原方程的通解为次，得原方程的通解为 )120(154233251。，CCCxCxCxCxCy型型)()(xfyn型型),(.3yyfy dddddddd 。，则则令令yppxyypxpyyp 于是，原方程化为于是，原方程化为 ),(dd。pyfypp这是一个一阶微分方程。设其通解为这是一个一阶微分方程。设其通解为 ),(dd1。Cypxy这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。例解解 0 2。的的通通解解求求方方程程yyy dd 。，则，则令令yppyyp 于是，原方程化为于是，原方程化为 0dd2。pyppy 0dd 0 。，故此时有

7、解，故此时有解，则，则若若Cyxyp 0 ，则则原原方方程程化化为为若若p dd。yypp两边积分，得两边积分，得 dd1。yCpxy运用分离变量法，得此方程的通解为运用分离变量法，得此方程的通解为 12。xCeCy 综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 12。xCeCy 0 01Cp对对应应于于 例解解 0)(。的的通通解解求求方方程程 yfy 2 ，得得到到两两边边同同乘乘以以y 0)(22，yfyyy即即 0)d)(2(dd2，yyfyxyyfyd)()(xyyyxyddd)(dd)(d从而从而 d)(212，Cyyfy即即 d)(21。yyfCy运用分离变量法求解此方程，即

8、得原方程的通解：运用分离变量法求解此方程，即得原方程的通解：。d)(2d)(122yyfCyCx方程方程克莱罗克莱罗)Clairaut (.4形如形如)(yfyxy的方程称为克莱罗方程，其中函数的方程称为克莱罗方程，其中函数 f 为可微函数。为可微函数。可以直接写出该方程的通解：可以直接写出该方程的通解：)(。CfxCy并且由下列方程组可求得该方程的奇解：并且由下列方程组可求得该方程的奇解：0)(yfx)(yfyxy证证将克莱罗方程两边关于将克莱罗方程两边关于 x 求导，得求导，得 )(。yyfyyxy )(，则有，则有令令xpy 0dd)(。xppfx )(0dd )1(代入原方程，得代入原

9、方程，得，则，则若若Cxpyxp )(。CfxCy(通解通解)0)()2(方程的奇解：方程的奇解：，则可联立方程组求出，则可联立方程组求出若若pfx0)(pfx)(pfpxy)(yfyxy 例解解 1 2的的解解。求求方方程程yxyy原方程即原方程即 1，yyxy)0(y由题意由题意这是一个克莱罗方程，故其通解为这是一个克莱罗方程，故其通解为 1。CxCy 11dd)(2，故联立方程组，故联立方程组由于由于ppppf012pxppxy1)1()2()2()1 (，得得式式式式 p 2，pxy 1 1 )1 (2，代代入入上上式式，得得，故故得得又又由由xpxp 2，xy故原方程有奇解故原方程有奇解 42。xy 综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 1，CxCy且方程还有奇解且方程还有奇解 42。xy