数学建模的思想方法

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1、2022-7-212134数学建模思想方法数学建模思想方法5672022-7-21玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定是为了一定目的目的，对客观事物的一部分，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征我们常见的模型我们常见的模型2022-7-212022-7-212022-7

2、-212022-7-212022-7-212022-7-212022-7-212022-7-21实际问题实际问题数学数学2022-7-21对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程简称数学建模或建模建立数学模型的全过程简称数学建模或建模（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型(Mathematical Model)数学建模（数学建模（Mathematical M

3、odeling)2、什么是数学建模、什么是数学建模2022-7-21数学建模的全过程数学建模的全过程现实世界现实世界数学世界数学世界表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型数学模型的解答数学模型的解答现实对象的解答现实对象的解答实践理论实践2022-7-21模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤2022-7-21模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成

4、一个比较清晰比较清晰的的问题问题数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤2022-7-21模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折衷在合理与简化之间作出折衷模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤2022-7-21模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性

5、分析、灵敏性分析数据的稳定性分析、灵敏性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性模型应用模型应用数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤2022-7-21机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对测量数据的通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分

6、析确定模型参数涉及到很多数学方法，特别是一些基本方法，是必须掌握的涉及到很多数学方法，特别是一些基本方法，是必须掌握的2022-7-21数学模型的分类数学模型的分类应用领域应用领域人口、交通、经济、生态人口、交通、经济、生态 数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计初等数学、微分方程、规划、统计 表现特性表现特性描述、优化、预报、决策描述、优化、预报、决策 建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续2022-7-214 数学建模示例数学建模示例4.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的

7、地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。2022-7-21模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCOD

8、 C B A 用用(对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性2022-7-21用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是是连续函数连续函数对任意对任意,f(),g()至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知

9、：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.证明：存在证明：存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地2022-7-21模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0，f(0)0，知，知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数,据

10、连续函数的基本性据连续函数的基本性质质,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件假设条件“四脚连线呈正方形四脚连线呈正方形”不是本质的不是本质的 考察四脚呈长方形的椅子？考察四脚呈长方形的椅子？和和 f(),g()的确定的确定2022-7-214.2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题(智力游戏智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河的任一在河的任一岸岸,一旦随从的人数比商一旦随从的人数比商人多人多,就杀人越货就杀人越货.但是乘船渡

11、河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有经有限步使全体人员过河限步使全体人员过河.河河小船小船(至多至多2人人)2022-7-21模型构成模型构成xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态过程的

12、状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk,vk)决策决策D=(u,v)u+v=1,2 允许允许决策决策集合集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并并按按转移律转移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策多步决策问题问题2022-7-21模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机

13、图解法图解法状态状态s=(x,y)16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许状态允许状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,22d3d4d5d6d7d8d9d10d2022-7-21背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20

14、 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长4.3 如何预报人口的增长如何预报人口的增长2022-7-21指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1(0 x(t)时刻时刻t的人口的人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数()(

15、)()x ttx trx tt 今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1(0随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长2022-7-21指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预

16、测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)2022-7-21阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设)0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（自然资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（自然资源、环境能容纳的最大数量）)1()

17、(mxxrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxr2022-7-21rxdtdx)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt()()110tx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长速度人口增长速度2022-7-21参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美

18、国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2557,xm=392.12022-7-21模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较/)1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx实际为实际为281.4(百万百万)5.274)2000(x模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重

19、新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2490,xm=434.0 x(2010)=306.02022-7-212022-7-212022-7-215、（美国大学生）数学建模竞(MCM)1985年开始举办，每年一次年开始举办，每年一次(2月月)；“国际竞赛国际竞赛”我国我国(清华等校清华等校)1989年开始每年参加，英文答卷年开始每年参加，英文答卷 MCM-2010有约有约14国国(地区地区)2254队参赛，其中我国队参赛，其中我国

20、占占82%;ICM-2010有有356队参赛，其中我国占队参赛，其中我国占93%每年赛题和优秀答卷刊登于同年每年赛题和优秀答卷刊登于同年 UMAP杂志杂志 1999年起又同时推出交叉学科竞赛年起又同时推出交叉学科竞赛（Interdisciplinary Contest in Modeling ICM)网址：网址：http:/2022-7-212022-7-215、中国大学生数学建模竞赛（CUMCM）1992年中国工业与应用数学学会年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织开始组织 1994年起教育部高教司和年起教育部高教司和CSIAM共同举办共同举办(每年每年9月月)2010 2010年年

21、33个省个省/市市/自治区自治区(包括香港和澳门特区包括香港和澳门特区)及新加及新加坡和澳大利亚的坡和澳大利亚的1197所院校、所院校、17317个队（其中本科组个队（其中本科组14108队、专科组队、专科组3209队）队）赛题和优秀答卷刊登于次年赛题和优秀答卷刊登于次年“数学的实践与认识数学的实践与认识”网址：网址：http:/ 奖励：证书奖励：证书 （“一次参赛，终身受益一次参赛，终身受益”）等级：全国一等等级：全国一等2%、二等、二等 6%；赛区奖；赛区奖1/3 非数学专业学生约非数学专业学生约90%90%（约（约10%10%来自非理工类专业）来自非理工类专业）2022-7-212022

22、-7-21学生欢迎：学生欢迎：“一次参赛，终身受益一次参赛，终身受益”研究生导师们的认同研究生导师们的认同企业界的认同赞助企业界的认同赞助教育改革同行的认同：教育改革同行的认同：“成功范例成功范例”国际同行的认同国际同行的认同6、竞赛的反响、竞赛的反响2022-7-21IBM 中国研究中心中国研究中心-招聘条件招聘条件Position title:Business Optimization(BJ)1Background in industrial engineering,operations research,mathematics,Artificial Intelligence,manage

23、ment science etc.2.Knowledge in network design,job scheduling,data analysis,simulation and optimization 3.Award in mathematical contest in modeling is a plus 4.Experience in industry is a plus 5.Experience in eclipse or programming model/architecture design is a plus-Feb.18,2006,http:/ 中国研究中心中国研究中心:

24、Business Analysis Optimization Job Requirements:1、PhD M.S.in mathematics,statistics,computer science,industrial engineering management science etc.2、Self-motivated,responsible,able to wk independently under tight deadline willing to wk under pressure.3、Skill in applied mathematics,including mathemat

25、ical programming,statistics,data mining,simulation etc.4、Knowledge in supply chain logistics strategy modeling,simulation,planning optimization.5、Strong interest basic knowledge about industry trends,technologies,solutions in analytics optimization.6、Experience in ERP/SCM/CRM system SCM consulting p

26、ractice is a plus.7、Award in highly regarded mathematical modeling contest is a plus.8、Experience in eclipse,Java,architecture design is a plus.-March 26,2009,http:/ 赛题：工程、管理中经过简化的实际问题赛题：工程、管理中经过简化的实际问题 答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求解解(通常用计算机通常用计算机)、结果分析和检验等的论文、结果分析和检验等的论文形式形式 3名大学生组队，在名

27、大学生组队，在3天内完成的通讯比赛天内完成的通讯比赛 可使用任何可使用任何“死死”材料材料(图书图书/互联网互联网/软件等软件等),但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）宗旨宗旨创新意识创新意识 团队精神团队精神 重在参与重在参与 公平竞争公平竞争标准标准假设的合理性，建模的创造性，假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。结果的正确性，表述的清晰性。2022-7-2105年：长江水质的评价和预测，年：长江水质的评价和预测，DVD在线租赁在线租赁；06年：年：出版社的资源配置出版社的资源配置，艾滋病疗法评价与疗效预，艾滋病疗法评价与疗效预测，

28、煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制；测，煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制；07年：中国人口增长预测，年：中国人口增长预测，乘公交看奥运乘公交看奥运，手机套餐，手机套餐优惠几何，优惠几何，体能测试时间安排体能测试时间安排08年：数码相机定位，年：数码相机定位，高校教育学费标准探讨高校教育学费标准探讨，地面，地面搜索，搜索，NBA赛程的分析与评价赛程的分析与评价09年：制动器试验台的控制方法分析年：制动器试验台的控制方法分析，眼科病床的合眼科病床的合理安排理安排，卫星和飞船的跟踪测控卫星和飞船的跟踪测控，会议筹备会议筹备 10年：年：上海世博会影响力的定量评估上海世博会影响力的定量评估，储油罐的变位，储油罐的变位识别与罐容表标定识别与罐容表标定，输油管的布置，输油管的布置，对学生宿舍设计对学生宿舍设计方案的评价方案的评价 近年部分竞赛题目