客观、合理的评价学生综合学习情况的数学模型

《客观、合理的评价学生综合学习情况的数学模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《客观、合理的评价学生综合学习情况的数学模型（18页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、合肥学院第六届数学建模竞赛参 赛 论 文 团队编号： 选择赛题： 【A】 【B】注：用2B铅笔将所选择的题目涂黑 论文题目：客观、合理的评价学生学习状况 参赛队员个人信息：姓名性别系别班级学生证号签名丁学明男数理系10级数学与应用数学(1)班汪於先男数理系09级数学与应用数学(1)班张 跃女数理系09级数学与应用数学(1)班注：前五栏为四号宋体，最后一栏用黑色中性笔签名。客观、合理的评价学生学习状况摘要：测试成绩对于学生、教师和教育管理者都很重要。老式的对学生成绩的评价，只是单纯根据学生的“绝对分数”或者“绝对排名”作为评价，这种评价措施只能体现量化出学生的基本，而不能体现量化出学生学习的稳定

2、性、潜力、变化趋势等等指标。随着教学改革的不断深人, 科学评价教学质量极为重要。考试是检查教学质量的重要手段。然而, 考试成绩能否真实地反映教学质量和学生水平试题与否科学、精确, 它们在多大限度上是有效的和可靠的,但还是局限的，有失公允的。本文通过科学合理的分析评价措施，不再单纯根据学生的“绝对分数”评价学生的学习状况，对学生学习状况做出全面、客观、合理的整体评价。问题一：对于全面、客观、合理的评价学生的学习状况，我们采用了二个模型：1、模糊层次分析模型：一方面，为了体现学生成绩进步在整体评价中的作用，学生每个学期的成绩和进步状况。通过模糊层次分析措施得出最后求出各个因素的权重向量为：接着运用

3、模糊层次分析措施得出学生学习状况的综合评估指标如下：2、 成绩原则化模型：采用对数变换将负偏态的成绩分布正态化，并用Matlab进行了正态检查。从而学生成绩的差距分布更为合理，成绩偏低的学生变换后将处在中档位置，得到合适的鼓励，变化了负偏态分布中较多学生成绩集中在高分段或低分段的现象。然后，将正态分布归一化为原则正态分布，消除每个学期评价考核体系的不稳定性因素，得到每个学生各学期的“有效成绩”。并基于有效成绩提出了级别评估子模型，拟定了级别分数线，更清晰的表白了每个学生在整体是的位置。问题二，规定对所有同窗的成绩进行总体分析。根据对分析模型的总结，运用描述记录分析的措施，通过Matlab解决得

4、到各学期分数记录直方图和其正态分布拟合曲线，并对成果进行正态分布检查。通过成果显示，我们得知，这612名学生的整体成绩近似服从正态分布。通过建立的模型，进行求解时，采用计算机抽样的措施，进行模型算例的计算，得到对不同的学生的综合评价成果，有的同窗总体成绩较高，但相对不稳定，总体评价为良好，并预测将来成绩仍然会有一定的波动；有的同窗进步较大，但基本较差，综合评价分析的成果也是良好，预测将来成绩也许还会有较大幅度的提高；尚有总体成绩很一般，但始终在退步，且退步的幅度也比较大，综合分析评价的成果为差，并预测在将来仍也许有继续下降的趋势等多种状况。核心词：模糊层次分析 成绩原则化 记录分析 MATLA

5、B问题重述现行的评价措施相对比较局限、主观、有失公允，只能对学习基本好的学生产生鼓励作用，而不能对所有学生特别是后进学生起到鼓励作用，这种评价弊端开始被越来越多的人关注。 评价学生学习状况的目的是鼓励优秀学生努力学习获得更好的成绩，同步鼓励基本相对单薄的学生树立信心，不断进步。然而，现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽视了基本条件的差别；只对基本条件较好的学生起到增进作用，对基本条件相对单薄的学生很难起到鼓励作用。附件给出了612 名学生持续四个学期的综合成绩。结合附件所给的数据，用数学建模的措施，对附件所个的学生做评价并排序。并根据你的评价成果对附件所给的学生做聚类或其

6、他分析。问题分析现代素质教育体制下，评价学生的素质只是根据“绝对分数”，这种措施对于某些学习较差但仍努力学习的同窗不免是一种打击，因此，不能较好的反映一种学生的综合学习状况。如何对的地、科学地评价学生考试成绩, 对于学校教学工作至关重要。想要客观、合理的评价学生的综合学习状况，一方面要进行综合的学习状况分析，对于问题二，参照所给数据，由于数据为离散性的，且数据较多，并且由实际经验可预知，每学期的成绩分布也许为正态分布。因此，对数据进行有关的解决，运用Matlab对其进行直方图的记录以及正态曲线的拟和，并进行正态分布检查，通过成果，分析学生的学习状况。之后，对学生的学习状况进行客观、合理的综合评

7、价，针对这一问题，本文采用两种评价措施为：模糊评价和动态成绩评价。模糊评价中，对所给出的数据进行有关解决，通过影响学生学习状况的重要因素（即：原则分，原则差，进步率），来对学生进行评价，对因素进行有关权重，并对每个因素进行有关解决分析，最后可以得到评价向量。动态成绩评价中，通过对“绝对分数”和基本差别因素进行动态求和，得到学生的最后综合的动态成绩，根据此成绩对学生进行综合评价。求解过程中，由于有零分数据的存在，且数据组数目相对于异样数据较大，对于异样数据进行排除解决，总体状况不会受到影响。问题假设1、在过去四学期以及将来的两学期的考试中不会有人作弊。2、附件中说给数据中的异样数据排除后，整体状

8、况不会发生变动。3、每个学生都处在一种变动的状态，在这一状态下，变化幅度快慢的变化是相对渐变的，不会浮现骤变的现象，并且是有规律可循的。3、在将来的两学期内，学生数量不会有较大的变化，从而保证整体状况的稳定性，使得对总体的评价预测不会发生较大的偏差。学校基本的教学基本条件不会发生很大规模的变化，即不会增强或减少师资力量教学设施等，保证不会存在整体教学水平的变动而对个体的成绩产生较大的影响。4、数据拟和曲线反映状况精确、可靠。5、学生的学习状况是持续的，不存在休学，缺考等状况。符号阐明 学生第学期的成绩 学生每学期的进步限度 学生的综合评估指数 为实际学习成绩 为学习成绩进步度 表达第个学生第学

9、期的成绩 表达第个学生第学期的进步度模型的分析、建立与求解问题一 ：评价学生的学习状况模型一：模糊层次分析模型1. 模型准备：模糊层次分析法采用0.10.9标度法（见附录1）， 可以精确地描述任意两个因素之间有关某准则的相对重要限度。且由优先判断矩阵改导致的模糊一致矩阵满足一致性条件，不必再做一致性检查，此外模糊层次分析法还解决理解的收敛速度及精度问题，具体环节如下：(1) .建立优先关系矩阵。优先关系矩阵是每一层次中的因素针对于上层因素的相对重要性两两比较建立的矩阵，也称为模糊互补矩阵，即：其中表达下层第i个元素相对于第j个元素的模糊关系，采用0.1-O.9标度予以数量表达，且=1。(2).

10、将优先关系矩阵改导致模糊一致矩阵。记做变换，将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵。(3). 根据，推导出各因素权重值。(4).将各层次间的重要性权值转化为相对于总目的的综合权重。(5).根据考核成果得出优劣顺序。 2. 模型建立：3. (一).确立评价指标体系。将学生学习状况的评价层定为目的层，评价中重要波及的两个方面定为准则层，以此建立如下表所示递节层次构造。表1 学生学习状况评价指标体系目的层准则层指标层学生学习状况综合评价A学生实际成绩第一学期成绩第二学期成绩第三学期成绩第四学期成绩学生成绩进步状况第一学期进步度第一学期进步度第一学期进步度(二).构造优先关系矩阵并计算各因素权重值。在层次构

11、造表的基本上建立优先关系矩阵，然后将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵如下：A- B的优先关系矩阵： A-B模糊一致矩阵：-C的优先关系矩阵： 模糊一致矩阵： 的优先关系矩阵： 的模糊一致矩阵：由模型准备中的环节（3）中的计算公式，我们取a=(n-1)/2,可以算的B层相对于A层，更因素权值为,C层相对于B层，各指标相相应上层相应因素的权值分别为：，（三）.将各层次间的重要性权值转化为相对于总目的的综合权重如下表所示： 准则 各指标 指标 0.4 0.6 权重 0. 0.0800 0.2333 0.0933 0.2667 0.1067 0.3000 0.1200 0.3000 0.1800 0.3

12、000 0.1800 0.4000 0.2400对于学生学习状况的综合评估定量表达如下：（四）.再由各项指标结合附件中的数据此前20个学生为例，对她们成绩的综合评估如下表： 由上表的计算成果可看出，5号同窗的综合得分最高，为33.754，阐明其学习状况在这20名同窗中最佳，并且其进步度逐渐增大，阐明其学习越来越努力，成绩不断在提高。而8号同窗的综合得分最低且为7.889，阐明她在这20名同窗中学习状况最差，成绩始终呈下滑趋势，教师应当采用必要的措施，协助该同窗尽快挣脱这种状况。因此，由以上模型，可以对所有的学生的四个学期的成绩进行综合评估，来阐明她们的学习状况。长处：模糊层次分析法可以提高学生

13、学习状况综合评价指标权重值的科学性和可信性，从而可以较好地反映学生的实际学习状况，避免了老式的将各项分数相加求和的不合理性做法，从而使教育管理者能更好的理解学生学习状态，有效的实行教学管理。缺陷：此措施仍一定限度受主观因素的影响，各项指标权重的拟定有待进一步的改善。模型二：成绩原则化模型2.1 原始成绩的原则化为了使得学生之间成绩的差距分布更为合理，本来成绩偏低的学生通过变换后处在中档位置，从而使她们会得到合适的鼓励，树立信心，不断进步，并变化负偏态分布中有较多同窗集中在高分段或低分段的状况，鼓励成绩较低的学生努力学习获得更好的成绩，有必要将负偏态分布的学生成绩通过数学手段变换为正态分布，并且

14、变换成正态分布后，还会对数据解决带来极大的以便。由于每个学期的评价体系存在一定的波动，例如考核中不可避免的难易限度的变化等因素会使各学期之间的同一学生成绩缺少一定的比较性。例如某学生第一学期的成绩为82 分，排名103 位。而第二学期为85 分，但是考虑到总体状况，第二学期考核偏易，排名112 位，导致该学生排名比第一学期下滑。为了消除这些学期之间的差别，为此将正态分布再通过变换为原则正态分布，使得同一学生在不同窗期的成绩具有更可靠的可比性。由此我们最后得到了原则化的成绩，称之为“有效成绩”，并运用该成绩对学生的学生状况进行评价。下面讲述如何将原始成绩变换为原则化的成绩。第一步：原始成绩的正态

15、化及其检查假设(i=1,2,612) 为612个学生的某一学期的原始成绩,由将偏态分布变换为正态分布的对数变换法，令：此时这些学生的变换成绩yi 满足正态分布。由于该函数是单调递减函数，原始成绩高的反而变换成绩低，为了与老式习惯保持一致，再通过下述变换 ， 此时的为正态化之后的成绩。从图3的频次直方图可以看出基本符合正态分布。为了进一步验证成绩分布与否为正态分布，我们用matlab进行了正态性检查，检查成果如图4所示，从图中可以看出实际观测值与盼望值在中央横线的一段，坐标点落在中央横线附近，在中央横线的两端则有一定的偏离，但绝大部分偏离值均不不小于0.05，仅有个别点偏离较大。可见，学期14

16、的成绩呈现正态分布。图3 的频次直方图图4 四个学期的正态检查图第二步：将正态分布原则化由于已是正态分布，因而可由正态分布转化为原则正态分布的有关公式，将转化到服从原则正态分布，得： 定义有效成绩： i=1，2，612 其中均值为， 方差为2 =。此即我们所定义的有效成绩。下表是我们应用EXCEL，由四学期原始成绩计算的有效成绩(由于篇幅有限成绩列表均只列出部提成绩，计算过程 及其他见附件)。图4为有效成绩的频次分布直方图，可以看出它已较好的符合正态分布。表2：有效成绩学生序号学期1学期2学期3学期4总分10.6524554-0.0.0.0.5766720.1965128-0.0.-0.0.5

17、862923-1.152195-1.0.-0.-2.7574641.25424850.0.0.3.06838550.25671820.0.424352450.2.60472860.5486194-1.0.-0.-0.727526100.8955590.0.0.2.562456111.99943091.1.0.5.27467612-1.666376-0.0.1.-0.05389 此时应用有效成绩已经可以对学生的学习状况进行公平、合理的评价，由于原始分数没有比较的参照点，故而不可比。而有效成绩以学生整体的平均分数作为比较的基准，以原则差作为单位，并且它的基本形式都是平均数为零、原则差为1。因而无论

18、不同窗期成绩的平均分和原则差多么不同，一经转换为均值为零和原则差为1的原则分数，则不同窗期成绩所处的相对地位是平行的，从而有了可比性。这时学生学习状况的评估不再是简朴的绝对分的比较，名次的提高，也即进步成为了决定学生成绩的重要因素。从这些数据可以看出，有的同窗总分排名较后，可有效成绩排名却来了个咸鱼大翻身，一跃进入前列，并且，有的同窗原则分总分甚至浮现负分，这就阐明该考生的分数低于平均分。 图5 的频次直方图下面为了可以直观的理解不同窗生成绩在整体中的位置，我们进一步对成绩进行级别评估。2.2 基于有效成绩的级别评估在将原始成绩化为符合原则正态分布的数据之后，我们将建立一种评分制度原则化分数为

19、基本的成绩原则化评价模型。服从正态分布的数据概率曲线具有对称性，其数据按概率落人一定范畴内，如下表所示。范畴概率38%68%86%90%95%99%：为总体算术平均值 ：为总体原则差 实际教学中，对考试成绩商定俗成地选用90分、80分、70分、60分作为级别分数线，评估成绩的优秀、良好、中档、合格与不台格。我们根据落入和内外的概率来拟定成绩的级别，取落人内的概率为68，落入外的概率为10 ，落入余下的概率为22，则可拟定优秀、不合格各占50 ，良好、台格各占11，中档占68。各级别的相应分数线为概率级别分数线（DP），经对数变换的成绩数据还原成原始分数，即为各级别的分数。经计算可得各级别分数线

20、表，如下所示：学期级别学期1学期2学期3学期4优秀（5%）88.1388.3688.5088.90良好（11%）80.2582.3483.0084.00中档（68%）68.2569.5470.0070.68合格（11%）58.3058.0059.4659.50不合格（5%）58.30如下58.00如下59.46如下59.50如下以第一学期的为例，原始分数高于88.13的认定为优秀，而低于60.30的认定为不合格，但在这种评估原则中优秀与不合格所占比例较小，大部分的人集中在中档层次，历来相对于一般的评估原则更多的人上升到了合格或中档。但这一评估原则是建立在整体成绩为正态分布的基本上的，从而当浮现

21、由于试卷人为的过于简朴而了导致大量学生的成绩偏高时，运用该评估措施则可以提高不合格或合格的分数线，维持整体的正态分布，从而保证了评价的合理、公平。问题二：学生成绩总体分析参照附件数据，运用Matlab对数据进行图形解决，得出下图:各学期分数记录直方图和其正态分布拟合曲线 学期一 学期二 学期三 学期四由上图可知，四学期的成绩整体符合正态分布，对其进行正态性检查：学期分数分布正态性检查图 学期一 学期二 学期三 学期四由上图可知，这612个离散点非常接近倾斜直线段，图形为线性的，因此可得出结论：学生的成绩整体近似服从正态分布，即“中间大，两头小”，根据教育学和记录学有关理论，学生的成绩应接近正态

22、分布，即接近平均成绩的学生比较多，成绩特别优秀或者特别差的人很少，这就是621名学生成绩的整体成绩状况。模型评价问题一中，模型一：模糊层次分析法模糊层次分析法可以提高学生学习状况综合评价指标权重值的科学性和可信性，从而可以较好地反映学生的实际学习状况，避免了老式的将各项分数相加求和的不合理性做法，从而使教育管理者能更好的理解学生学习状态，有效的实行教学管理。但仍在一定限度受主观因素的影响，各项指标权重的拟定方式有待进一步的改善。模型二：成绩原则化模型通过原则化过程，使学生成绩呈正态分布，让某些成绩靠后的学生能进入中间水平，同步各个学期的成绩通过原则化之后具有了可加性，相加的最后成果能对的的反映

23、学生的整体水平，而不是在绝对分数中只靠几次突出的成绩就能提高得到好的名次，从而更加公平、合理。但正态化的措施还要进一步探讨，从而让成果能有更好的正态性。问题二中，采用描述记录的措施对学生成绩的总体分布分析时，发现成绩分布接近正态分布，并且进行了正态分布检查。分析成果表白该分布满足正态分布的特点，拟定为正态态分布，并且对学生成绩做出合理性做了定性分析。且较为简朴、直观。解决以便。但并不很吻合。可以进一步的对其进行正态划分，更为具体的体现学生成绩的科学分布。对考试成果的记录分析, 为我们提供了丰富的教学信息, 亦从总体上为把握考试质量及学生的真实水平提供了理论根据, 从而有于学校教学质量的动态管理

24、,引导学生进行自我分析与评价, 发挥其学习的积极性和想象力,增进学生的全面发展。问题三中，灰色预测模型解决成果较为稳定，可靠，变动幅度相对较大，误差较小，但对于数据较多的状况解决过程有点复杂。拟和曲线可以反映其发展趋势，但对于变动幅度较大的数据组，存在一定误差。计算系统误差的存在，影响模型的精确度。对于不同问题所建立的模型之间关联度不好，且考虑因素不同，对预测成果存在偏差。对于现实，模型较为抱负，不能较好反映状况，影响精确度。参照文献1 葛哲学.精通Matlab.北京：电子工业出版社，.22 周品等.MATLAB数学建模与仿真.北京：国防工业出版社，.43 韩中庚.数学建模措施及其应用.北京：高等教育出版社,.64 茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理记录教程，北京：高等教育出版社，.75于广华，李信梅，考试成绩的描述记录分析及其评估A，1-2页，No.76 马引弟,黎延海,基于模糊层次分析法的高校课堂教学质量综合评价模型，1-3页，第八卷第3期7翁洁静，原则分制度在成绩记录过程中的应用A，1-3页，（）04-0027-038刘六生，冯用军, 大学普及率预测的G M(1，1)模型应用A，1-3页，()030030049戴宝印，谭家华, 改善灰色预测模型在国内船舶订单预测中的应用，3-4页，第6期