分式的恒等变形

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1、第二讲分式的恒等变形【专题知识点概述】分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础， 并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中 常常出现有关这方面的命题。1 分式的运算规律(1) 加减法：分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分 式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。a b a 土 b八 e- =（同分母）c c c 壯畔（异分母）b c be(2) 乘法：需=b d(3) 除法：? =(4)乘方:2分式的基本性质（tn H 0）(2)分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不 变。3. 比例的重要性质(D如果？=

2、0上=丄那么牛=匸(传递性)b c c e b e(2) 如果y =-那么ac = bd (内项积等于外项积)b c(3) 如果 = 4那么字 =比性质)b db c(4) 如果? = 7，(b-dH0)那么仁=工(合分比性质)b aa-c b-a（5）如果? = 7=,且b + d +工0,b dn那么； + ：+ = #（等比性质）b + a + - + n b4. 倒数性质(1) 如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为仁(2) 如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幕仍互为倒数。(3) 如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。二、有关分式的运算求值问题乘法公式是进行整式恒等变

3、形的常用的重要的工具，我们通过下面的例 題来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。例1若a、b、c均为非零常数，且满足a+b-c a-b+c -a+b+ccba，又 *(“b)(b + c)H),且 /J,求 x 的值。abc例2已知丄一丄=3,求兰也二空的值x yx-2xy-y 例3.已知三个正数a、b、c满足abc=1, 求一厂厶+的值 ab + a + 1 bc + b + l ac + c + l 例 4.已知二+ + = 0 bc-cr ac-b cib-c求+的值。(be-a2)2 (ac - Zr ) (ab - l ) W 5.+-+ = 1,-+ + - = 0

4、,ci b cx y z求二矣+茸的值。er b er 例6已知x+y+z二3a (心0,且x、y、z不全相等)， 求(x_d)(y_d) + (y_d)(z_a) + (z_a)(x_d)的值。(x-a)2 + (y-ci)2+(z-a)2 例7.已知b+K 不 工+|门是自然数,2bc2ca2ab2ab求(，+c/)2T + (+T-)2m+1 +(a2 + h- c2)2n+1 的值。2bc2ccif A例8若“1,求的值。例9已知=1,试求分式的值。T+X + 14X + %- +1 例10.已知三个不全为零的数x、y、z满足4x_3），-6z = o,x + 2y-7“0。求2宀3）

5、+胃 的值。例门.若x、y、Z为有理数，且(y- z)2 + (z x)2 + (x-y)2 = (y + z 2x)2 + (z + x 2y)2 + (x+ y-2z)2的值求(yz + l)(i + l)Cry + l) (亍 + 1)(才 + 1)(疋 + 1) 例12.已知a、b、c互不相等，且满足a+b+c二0,求t + L + J的值。2cr + be 2b +cic 2c +ab八列13.已知如0加04 +几0心磐求g +蛊的值。 例 14.若 a + b-c = a-b + c = i + b + c,求(d + b) + c)(b + c)的值。 cbaabc例15.如果都

6、是整数，且1,1,求卩+ 的值。 q p三、有关分式的化简问题 例 16化简 +土+二+(一/?”一)(一。)。 a + b b + c c + ci (a + b)(b + c)(c + a)，11QiiiQ + r x + 3例17化简（x+丄H+丄2-fXX 1-X-1 亍+ 丄一2一？ + 3XXX例18.化简=H+ +X1（X+X2） （Xx + X2 + X2 +X3）（+心+兀_）（兀1+疋+兀）例 19.已知a2 +b2 = （a + b-c）2,并且bHO,化简胃+(。+ (b-cy例20若*-1工0,化简上二-兰nr - nmr - n m例21化简:(y-QU-x) |(

7、z-刃(x-刃| (x-zXy-z)(x 2y + zXx+y 2z)(x+y-2z)(z+y 2x)()* 2x)(x 2y+z)三、有关分式的证明问题例22.若a + b + c = O且匕+罕+ 口 = 0,求证: a b cbc + b-c ca + c-a ab + a b 八 厂、+ + vp = 0 bp crcr er 例23.已知有理数a、b、c满足a+b+c=O, abc=8.试判断丄+丄+丄是 a b c正数、负数、还是零。 例24.已知有理数a、b、c满足丄+丄+丄=i,求证: a b c ci + b + ca = -bib = -cc = -a。 例25.若n为自然

8、数，且丄+丄+丄=!,求证: a b c a + b + c1 1 1 111=严严严 a2n+l +产1 +严例26证明：对于任意自然数n,分数船不可约。 例27.已知a + b + c 0,且a、b、c都不等于0，1 J 11 c c求证: (- + -) + /?( -) + c(+ -) + 3 = 0 o b c a c a b例28证明:1+a(a + d)1 1+ I(a + d)(a + 2d)a + (- 2)da + (/?- l)d/?-laa + (n-l)d例29.设n为正整数，求证:1 1 1+411x33x5(2-lX2 + l)1 例 30.若x+y + zH0,x+yH0,y + zH(z + xH0,g亠”丄丄，求证旦+丄+丄=1y + Z x+z x+ya + l b + 1 c + 1 例31.设a、b、c均为正数,且c/ + b+c = l,证明：丄+ f+丄9。 a b c 例 32.求证一+ + =+ + ( - b)(a - c) (b - c)(b - ci) (c-ac-b) a-b b-c c-例33能否找出6个奇数，使其倒数之和为匕