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1、平面解析几何中的对称问题李新林汕头市第一中学 515031 对称性是数学美的重要表现形式之一,在数学学科中对称问题无处不在.在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题.深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力,有助于提高学生的数学素质. 在平面解析几何中,对称问题的存在尤其普遍.平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜.本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨,以求斧正. 平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对
2、称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称.一、点点对称定理1平面上一点关于点的对称点为,特别地,点关于点的对称点为.证明：显然为线段的中点,设,由中点坐标公式有： ,即 ,故. 例若点关于点的对称点为,求点的坐标.解：设,由定理有,即.二、点线对称定理1平面上一点关于直线的对称点为：.证明：先证明一般情况,即的情况.Y 如图一,设,线段交直线于点,由点与点关于直线 对称,故为线段的中点且,O X 于是有： 且,又点在直线上,故有： ,解此二元一次方程组得： ,即.至于与的情况比较简单,证明略.特别地,有如下几种特殊情况：（1） 平面上一点关于轴的对称点为：；（2） 平面上一点关于轴的对称点为：；
3、（3） 平面上一点关于直线的对称点为：；（4） 平面上一点关于直线的对称点为：；5平面上一点关于直线的对称点为：；6 平面上一点关于直线的对称点为：；7 平面上一点关于直线的对称点为：；8 平面上一点关于直线的对称点为：特别地,点关于点的对称点为.若直线与椭圆有公共点,则有：证明：由 可令,代入得：整理得：即： ,其中为辅助角又 ,即：特别地,当时,有推论1 若直线与椭圆有公共点,则有： 对于定理1,若令,则有定理2 若直线与圆有公共点,则有：,整理得特别地,当时,有推论2 若直线与圆有公共点,则有：下面略举数例说明其应用.一、 求点到直线的距离例 求点到直线的距离.解：设点到直线的距离为,构
4、造以点为圆心,为半径的动圆,显然,当直线与动圆有公共点时, 点到直线的距离为半径的最小值,即,由定理2知：,即：,故即点到直线的距离为此即平面解析几何中点到直线的距离公式.二、 求最值、函数的值域例 若且,则的最大值为 A B C D1990年全国高考试题 解：设,得直线,由定理得,解得：、,即,故选D例 求函数的值域. 解：设,代入得：整理得,又关于的直线与关于的圆有公共点.由推论2得：解得：即所求函数的值域为.例 已知平面上两定点,为圆上任一点,求的最大值与最小值. 解：依题意有又由得,代入得：令,有,即关于的直线与关于的圆有公共点.由定理2得：解得： 故的最大值与最小值分别为.例已知椭圆
5、,求的最大值. 解：令,整理得关于的直线与椭圆有公共点.由推论得：,解得：故的最大值为.例 加拿大第七届中学生数学竞赛试题试确定最大的实数,使得实数满足： 解：由得：又,代入得：,即关于的直线与关于的圆有公共点.由推论得：解得：,即：故最大的实数为.三、 求代数式的范围例 若,且恒成立,求的取值范围. 解：由已知得,设,得直线,由定理得：,解得：,即,即,又,故.例已知,求的取值范围. 解：由可得令,代入得：又令,将,代入得：即关于的直线与关于的圆有公共点,由推论得：解得：,即例若,且,求的范围. 解：令,代入并化简得：,即又令,则有,即关于的直线与关于的圆有公共点,由定理得：,解得即例 设满
6、足方程组 ,若,试求的取值范围. 1986年全国高中数学联赛试题解：由得：,即, 由+得：关于的直线与关于的圆有公共点.由推论得： 解得：故的取值范围为.四、解方程组与证明不等式例已知：求证：证明：设,有,关于的直线与关于的圆有公共点.由定理2得：解得：,即例实数,且,求证.证明：设,有,关于的直线与关于的圆有公共点.由推论得：又所以有故,即例且满足,证明都不是负数,也不能大于.1957年市数学竞赛题证明：由得由得,关于的直线与关于的圆有公共点.由推论得：解得：,又,故,同理,所以,都不是负数,也不能大于.例已知且满足,证明中至少有一个大于.1991年曙光杯数学竞赛题证明：由知中至少有一个为正数,不妨设又由得：由得,代入得：,即关于的直线与关于的圆有公共点.由定理得：解得：,即： 又,由得：,故所以中至少有一个大于.例若中,三边为,且 试确定的形状. 1989年#杯数学邀请赛试题解：由+得：关于的直线与关于的圆有公共点.由推论得： 解得：,即,代入、得：所以为等腰三角形.例求三个实数使得它们满足方程组解：由可得：由可得：关于的直线与关于的椭圆有公共点.由定理得：化简得：,即,代入、得：故所求三个实数分别为,8 / 8
平面解析几何中的对称问题
