南开大学高等数学课件 12 极限

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1、第一章 微积分1.2 极限 上页 下页 返回 结束 2.2 极限主要教学内容：数列极限数列极限函数极限函数极限极限的性质极限的性质函数的连续性函数的连续性两个重要极限两个重要极限无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量极限应用举例极限应用举例 上页 下页 返回 结束 数列的极限数列的极限 例例1 1 庄子中记载着庄子朋友惠施名言：“一尺一尺之捶，日取其半，万世不竭之捶，日取其半，万世不竭”通项1/2n无限接近0，但又永远不会等于0正如庄子所说：“万世不竭万世不竭”哲学辩证的思想：有限和无限的统一 数学的思想：数列极限日子序号 n12345n截取量 f(n)1/21/4 1/8 1/161/321/

2、2n2.2 极限 上页 下页 返回 结束 例例2 2刘徽刘徽运用割圆术算出圆周率 东汉科学家张衡张衡：=3.16;东汉天文学家王蕃王蕃：=3.156 三国时代数学家刘徽刘徽：割圆术，用圆的内接正n边形周长逼近圆周n无限增大时，其周长无限接近圆周d，算出=3.1416。南北朝数学家祖冲之祖冲之：用刘徽割圆术计算11次，分割圆为12288边形，=3.14159265，成为此后千年世界上最准确的圆周率。2.2 极限 上页 下页 返回 结束 看几个实例：观察在一定条件下，数列的变化趋势数列：按一定次序排列的一列数。2.2 极限0,1,41,31,21,1n0,2)1(,161,81,41,21nn1,

3、2,46,35,24,13nn无极限1)1(,1,1,1,1n无极限，),12(7531n 上页 下页 返回 结束 数列与函数的关系用Mathematica在平面上画出数列的散点图 Table fn，n，min，max，step 利用ListPlot 和Table 语句作图，如画出n/(n+1)ListPlotTable n/(n+1),n,1,1002.2 极限)(nfxn,它的定义域是全体正整数204060801000.920.940.960.98 上页 下页 返回 结束 数列极限的定义数列极限的定义 给定数列xn，当项数n无限增大时（记作n），通项xn无限地接近常数A，则称常数A为数列x

4、n的极限，记作 ,同时说数列xn收敛到A否则称数列xn发散 注:“”读作“n趋于无穷大时xn的极限是A”，也简化读作“limit xn等于A”思考：如何理解“无限接近”？2.2 极限 上页 下页 返回 结束 例例3 3 求 解解因 其中 随n无限增大时无限地逼近0，故 无限地逼近1因此 =12.2 极限20406080100-0.1-0.050.050.1(-1)(-1)n n/n/n的图像的图像 上页 下页 返回 结束 例例4 4 等比数列的极限解解数列：a0，a0q，a0q2，a0qn，称为等比数列等比数列，q是其公比公比例如，例1中每日截取量形成的数列，从惠施名言得出它是a0=1/2，q

5、=1/2 的等比数列若a00，则有2.2 极限 上页 下页 返回 结束 例如：考察a0qn 2.2极限0,21,21,21,21,21432n21,210qa1,20qa2,2,2,2,2,203,3aq,3,3,3,3,3432n极限不存在468100.050.10.150.20.254681050010001500200025003000 上页 下页 返回 结束 例例5 5 等比级数的求和 解解.等比级数：等比级数：a0+a0q+a0q2+a0qn+=部分和部分和sn:a0+a0q+a0qn-1=部分和数列部分和数列ssn n:s1=a0，s2=a0+a0q，sn=a0+a0q+a0qn-

6、1，2.2极限 上页 下页 返回 结束 现在研究数列sn的收敛问题因 （1）q1，极限 记作 =（q1）（2）对q1，极限 不存在，等比级数 发散发散 例1中，即整个杆的长度1尺 2.2极限 上页 下页 返回 结束 例例6 6 把循环小数 =0.313131化成分数 解解 =0.31+0.0031+0.000031+=31(102+104+10-6+)=31102/(1102)=31/99 这里，a0=10-2,q=10-22.2极限 上页 下页 返回 结束 函数极限函数极限例例7 7 当|x|无限地逼近于0时,看函数f(x)=xsinx是如何变化的?解解.看出0sinlim)0(0sin0

7、xxxxxx或2.2极限 上页 下页 返回 结束 例例8 8 x无限增大时,看函数f(x)=sinx/x是如何变化的?解解（图错）（图错）.看出0sinlim或)(0sinxxxxxx2.2极限 上页 下页 返回 结束 函数极限的朴素定义函数极限的朴素定义.设y=f(x)是给定函数,如果自变量x在定义域内定义域内按照某种趋势某种趋势(记作x)变化变化时,函数值f(x)相应地变化而无限地逼近无限地逼近常数A,则称A为函数y=f(x)在该变化过程中的极限极限,或说y收敛收敛到A(简称y有极限有极限或y收敛收敛),记作:读作：x 趋于时函数y的极限是A.理解“朴素定义”：描述性的而非严格的定义2.2

8、极限 上页 下页 返回 结束 x 有六种不同情况:1)xa:从a的左右两侧无限地逼近a.如例7中x0.2)xa+:x大于a而无限地逼近a,称 为f(x)在a点的右极限3)xa-:x小于a而无限地逼近a,称 为f(x)在a点的左极限注理解“无限逼近”：x能否等于a不必计较.4)x+:x的值无限地增大.如例8的x+.5)x-:x的值无限地减小.6)x:|x|无限地增大.2.2极限 上页 下页 返回 结束 例例9 9 考察x-的情形 02 xxlim2.2极限 上页 下页 返回 结束 例例1010 考察x的情形（两侧）01limxx2.2极限 上页 下页 返回 结束 例例1111 ，考察考察xaxa

9、+的情形的情形 考察考察xaxa-的情形的情形 3lim3xx2lim3xx注注 请仔细观察上面两例中左、右极限的差别.2.2极限 上页 下页 返回 结束 例例1212 设f(x)=2x,x(0,2).则 例例1313 设g(x)=2x,x(0,1)(1,2).则例例1414 设 则(1)f(x),(1)f(x),g g(x x),),h h(x x)不同不同,但但 x1时的极限都是时的极限都是2.2.(2)(2)三个函数的定义域不同三个函数的定义域不同,或在或在x x=1=1处函数值不同处函数值不同.可见，可见，x-ax-a时函数极限的存在性和极限值，与函数在时函数极限的存在性和极限值，与函

10、数在x=x=a a处处是否有定义以及函数在该点值的大小无关！是否有定义以及函数在该点值的大小无关！2)(1xflimx2)(1xglimx2)(1xhlimxxxh21)()2,1()1,0(1xx2.2极限 上页 下页 返回 结束 f(x)g(x)h(x)2.2极限 上页 下页 返回 结束 实验题实验题:作出函数 ，的图象，研究极限 ，并与例8作比较.使用Mathematica作图：a1=Plotx Sin1/x,x,-1,-0.0001,PlotStyle-RGBColor0,0,1a2=Plotx Sin1/x,x,0.0001,1,PlotStyle-RGBColor0,0,1Show

11、a1,a2-0.4-0.20.20.4-0.2-0.10.10.20.30.4xxsinxx1sinxxsinx1sin比较下面几个函数的图像2.2极限 上页 下页 返回 结束 Mathematica作图的另一种方法 fx_:=x Sin1/x/;-1x0 gx_:=x Sin1/x/;0 x-1,1-1-0.50.51-0.20.20.40.60.82.2极限 上页 下页 返回 结束 极限的性质 设 ，均存在，c为常数，则有 性质性质1 1性质性质2 2 性质性质3 3性质性质4 4 性质性质5 5 性质性质6 6 ，此处 0 性质性质7 72.2极限 上页 下页 返回 结束 由以上性质可以

12、推出：naxaxaxnaxaxxxxlimlimlimlim011011)(limcacaccxcxcnnnnnnnnax01lim1lim1lim1limxxxxxxxnxnnnnnnnnnnxbabxnxbaxaxa011011lim2.2极限 上页 下页 返回 结束 例例1515 求解解:原式=例例1616 求解解原式=例例1717 求解解按前面方法，分子与分母极限均为0，得 0/0，可约去分子分母的公因子x-1后再计算：原式=32lim1xxx23)3(lim)2(lim11xxxx0/0型型2.2极限 上页 下页 返回 结束 思考题：思考题：约去分子分母中的公因子，改变了函数的定义域

13、，是否影响极限的计算？考察：-3-2-1123-112345-3-2-1123-112345f(x)g(x)结论：结论：x“无限接近无限接近”a，不考虑在该点是否有定义，恒等变形恒等变形虽改变了函数定义域，并不影响极限值。)2(lim)(lim1)2)(1(lim12lim)(lim111211xxgxxxxxxxfxxxxx与2.2极限 上页 下页 返回 结束 思考题：思考题：考察考察232lim232lim22221xxxxxxxxxx与3423lim)1)(2()1)(3(lim232lim11221xxxxxxxxxxxxx1211321lim232lim2222xxxxxxxxxx结

14、论：结论：求函数极限不能只看函数，还要看求函数极限不能只看函数，还要看x x。注意注意“极限过程极限过程”！2.2极限 上页 下页 返回 结束 例例1818 求解解原式=例例1919 求解解 原式=-型型0/0型型2.2极限 上页 下页 返回 结束 思考题思考题.分子分母同乘以因子 在计算极限中起了怎样的作用？结论：结论：当分母极限 时，往往可直接将x=a代入式子，即得极限值当 时，化为分母极限 0，再进行计算。0)(limxgax解题技巧：解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！2.2极限 上页 下页 返回 结束 函数的连续性函数的连续性定义定义如果在函数y=f(x)的定义域内，(1)

15、，则称y=f(x)在点在点a a连续连续;(2)，则称y=f(x)在点在点a a右连续右连续;(3)，则称y=f(x)在点在点a a左连续左连续 若f(x)在(a,b）内每一点连续，则称f(x)f(x)为（为（a a,b b）内的连续函数内的连续函数 若f(x)在开区间(a,b)内每一点连续,且在a点右连续，在b点左连续，则称f(x)f(x)为闭区间为闭区间 a a,b b 内的内的连续函数连续函数2.2极限 上页 下页 返回 结束 2.2极限 上页 下页 返回 结束 2.2极限 上页 下页 返回 结束 2.2极限 上页 下页 返回 结束 2.2极限 上页 下页 返回 结束 2.2极限 上页

16、下页 返回 结束 理解f(x)在点a处连续连续：1.f(x)在点a处有定义2.极限 存在3.f(x)在a点的极限等于该点的函数值,)(limxfax)()(limafxfax理解f(x)在点a处间断间断：1.f(x)在点a处无定义2.或极限 不存在3.或f(x)在a点的极限不等于该点的函数值)(limxfax)()(limafxfax)()(lim)(lim)(limafxfxfxfaxaxax2.2极限 上页 下页 返回 结束 考察函数在考察函数在x=1x=1处是否间断？处是否间断？15.2211)(1xxxxxf，11)(22xxxf15.011)(3xxxxf，-2-1123-11234

17、-2-1123-11234-2-1123-1123424)1(1)(xxf-1123500100015002000250030003500在在x=1点无极限点无极限在在x=1点函数无定义点函数无定义在在x=1点有极限也有定点有极限也有定义，但两者不等义，但两者不等在在x=1点无极限也无定义点无极限也无定义2.2极限 上页 下页 返回 结束 定理定理初等函数是其定义域内的连续函数初等函数是其定义域内的连续函数a a是初等函数是初等函数f f(x x)的定义域内一点，则的定义域内一点，则 连续性应用：计算极限，连续性应用：计算极限，limlim与与f f 可交换，即可交换，即例例2020 求求 解

18、解x x=2=2是初等函数是初等函数 定义域内一点，故定义域内一点，故原式原式=lg1=0 =lg1=0 1.522.53-1.5-1.25-1-0.75-0.5-0.25)lim()()(limxfafxfaxax2.2极限 上页 下页 返回 结束 例例 在x0=0处的连续性解：因故，f(x)在x=0点连续.例例 函数 的连续性解：因该函数为初等函数，故在其定义域内连续，即在-1,0)及(0,1内连续。0001sin)(xxxxxf，211)(xxxf)0(01sinlim)(lim00fxxxfxx2.2极限 上页 下页 返回 结束 两个重要极限重要极限重要极限1 11sinlim0 xx

19、x0/0型型2.2极限 上页 下页 返回 结束 例例2121 求解解 原式=练习：练习：(1)(4)(2)(5)(3)(6)xxxtanlim0 xxx2sinlim0 xxx2sinlim0bxaxxsinsinlim0 xxxxsin2cos1lim0nnnx2sin2limxxxsin)sin(sinlim02.2极限 上页 下页 返回 结束 例例2222 求解解令t=arcsinx，则x=sin t，于是 原式=注注此处令t=arcsinx称为变量代换变量代换 同理可得练习：练习：2121)2(2sinlim2sin2limcos1lim22022020 xxxxxxxxx2.2极限

20、上页 下页 返回 结束 重要极限重要极限2 2 =e=e1型型2.2极限 上页 下页 返回 结束 以人口问题为例：(该城市人口年增长率为r)某城市人口数：A0 1年后人口数:：A1=A0+A0r=A0(1+r)2年后人口数：A2=A0(1+r)(1+r)=A0(1+r)2k年后的人口数：Ak=A0(1+r)k 若以月为计算周期，则月增长率为r/12 若1年分为n期，则每期人口增长率为r/n n年后人口总数：2.2极限 上页 下页 返回 结束 令x=r/n，n=r/x,则转化为计算：或 的问题！例例2323 求 解解原式=A0er 2.2极限 上页 下页 返回 结束 例例2424 求解解原式=注

21、注此题的演算切忌下列错误：原式=因为此处指数n+5是变量，而不是常数 e315=e32.2极限 上页 下页 返回 结束 例例2525 求解解原式=ln e=1 例例2626 求解解令t=ex-1，则x=ln(1+t)于是 原式=2.2极限 上页 下页 返回 结束 例例2727：令u=(x-3)/5，则 x=5u+3 上式=练习：练习：(1)(4)(2)(5)(3)(6)xxxxxxx)351(lim)32(limxxxx)32(lim53535351)11(lim)11(lim)11(limeeuuuuuuuuxxx10)1(limxxx10)21(limxxxx2)1(limkxxx)11(

22、lim22cot0(1 3tan)limxxx123()lim6xxxx？2.2极限 上页 下页 返回 结束 无穷小量与无穷大量定义定义若变量变量y y在某个变化过程中的极限是0，则称y为该变化过程中的无穷小量无穷小量，其倒数1/y(y0)称为该变化过程中的无穷大量无穷大量显然，无穷小量与无穷大量互为倒数 无穷小量的两个条件：1.有极限 2.极限为02.2极限 上页 下页 返回 结束 例例2828 因 1/x是x时的无穷小量 x是x时的无穷大量例例2929 0a1，ax是x+时的(正)无穷大量例例3030 0a1，ax是x-时的无穷小量-4-22451015202530a1a1f(x)=ax2

23、.2极限 上页 下页 返回 结束 例例3131 0a1，则 是x+时的(正)无穷大量 例例3232 0a1，则 是x0+时的(负)无穷大量 例例3333 注注 ,是x0时的有界变量.12345-6-4-2246f(x)=logaxa1a12.2极限 上页 下页 返回 结束 有界变量：有界变量：如果存在正数M，变量u在变化过程的某个时刻之后，恒有|u|M，则称u是有界变量 定理定理 （在某个变化过程中）无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量例：例：，定理定理 在某个变化过程中某个变化过程中的无穷小量必为有界变量思考题思考题.说“多项式a0 xn+a1xn-1+.+an-1x+an必是无穷大量”这句话

24、对不对，为什么？那么说它是无穷小量呢，又怎样？0coslim0 xxkx0arctanlim0 xxx01ln(1)sin0limxxx2.2极限 上页 下页 返回 结束 等价无穷小若 ，称 为 0/00/0型不定式不定式进一步，若 =1，则称f(x)与g(x)为x时的等价等价无穷小，无穷小，记作，x x时，时，f f(x x)g g(x x)由前例可知，当 x0时，有：sinxxtanxxarcsinxxarctanxxln(1+x)x ex 1x可作为结论使用可作为结论使用2.2极限 上页 下页 返回 结束 2.2极限例34 事实上，上面的计算可以改成：.10803205032832532

25、lim832532lim35205327420 xxxxxxxxxxxx7425320 xxxx 时，故532832xxx7425320 xxxx 时，)53(2742xxx略去高次项532832xxx)83(2552xxx略去高次项.122lim832532lim2205327420 xxxxxxxxxx 上页 下页 返回 结束 2.2极限定理2.2.4 设 ,且x x 时 则 证 同理有 0)(lim)(lim)(limxhxgxfxxx)(xf)(xh.)()(lim)()(lim,)()(lim)()(limxhxgxfxgxgxhxgxfxxxx.)()(lim)()(lim)()(

26、lim)()()()(lim)()()()(lim)()(limxgxhxgxhxhxfxgxhxhxfxhxhxgxfxgxfxxxxxx.)()(lim)()(limxhxgxfxgxx 上页 下页 返回 结束 2.2极限例35 例36 求解.2323lim2arctan3sinlim00 xxxxxxx3(sinxx2arctan,3)2x.sintanlim30 xxxx.21)2(2lim2sin2limcos1lim)cos1(limcos)cos1(limcos)cos1(lim)1cos1(sinlim220220020203030 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

27、xx原式 上页 下页 返回 结束 2.2极限命题2.2.5 若0ab,则 时，特别是 时 即 时，无常数项的多项式等价于次数最低的那一项。与无穷小等价相仿，也可以引进无穷大量等价的概念。若 则否则 无法确定，称极限 为 型不定式。型不定式。0 xbaxx,ax0 xnknkkxaxaxa110),0(,00axak0 x,)(lim)(limxgxfxx,)(lim)(lim)()(limxgxfxgxfxxx)()(limxgxfx 上页 下页 返回 结束 2.2极限定义 设 如果 则称f(x)与g(x)为 时的等价无穷大等价无穷大,记作 时f(x)g(x).命题2.2.6 若0ab,则 时

28、，特别是 时，即时，多项式等价于次数最高的那一项。定理2.2.7 设 且 时f(x)h(x)，则,)(lim)(limxgxfxx,1)()(limxgxfxxxxbaxx bxxnkkaxaxa110)0(,00axakx,)(lim)(lim)(limxhxgxfxxxx.)()(lim)()(lim,)()(lim)()(limxhxgxfxgxgxhxgxfxxxx 上页 下页 返回 结束 2.2极限由上述定理及命题有，求 时多项式相除的极限，可使用下列公式例37例38x,).0,(,0,lim0000110110nmbanmnmbabxbxbaxaxannnmmmx当当当.73357

29、243lim2323xxxxxx.339lim819lim1819lim18139lim224824824823nnnnnnnnnnnnnn 上页 下页 返回 结束 2.2极限2.2.5极限应用举例例39 计算连续复利 设有一笔款（本金）A0，年初存入银行，年利率为r,则1年后的本利和为A1=A0(1+r),2年后的本利和为A2=A0(1+r)2,k年后的本利和为Ak=A0(1+r)k.如果客户要求银行改为1年分n期计算利息，年利率仍为r，则每期利率为r/n.于是1年后的本利和为A1=A0(1+r/n)n,k年后的本利和为Ak=A0(1+r)kn,上页 下页 返回 结束 2.2极限若令 ，即连

30、续不断地计息，则k年后的本利和为例40 贴现问题若想通过分期付款方式买一套住房，每年交一次款20000元，分10年付清。第一笔付x1=20000元。为支付第二笔款，你在银行存入x2元，银行年利率为r,一年后得本利和x2(1+r),用它支付第二款20000元，即第二笔付20000=x2(1+r)，x2=20000/1+r.n.)1(lim)1(lim000rkrkrnnnknkeAnrAnrAA 上页 下页 返回 结束 2.2极限依次类推（假定年利率r固定，不分存期长短），于是第k笔付20000=xk(1+r)k-1,xk=20000/(1+r)k-1。把每笔付款所需本金xk相加，即可得分期付款所需现有资金的总量，称为收-支流量的贴现现值(PDV).现在你买房所需贴现现值为：PDV=x1+x2+x10=20000+20000/(1+r)+20000/(1+r)9求函数极限的常用方法：求函数极限的常用方法：极限的性质，例16恒等变形（目的：消去零因子），例18、例19函数连续性两个重要极限（利用已知极限公式）等价无穷小（分子、分母同时乘或除某函数）洛比达法则2.2 极限 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 2.2极限本节结束 谢谢！谢谢！