勾股定理一对一专题讲义

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1、知识点梳理勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表达措施：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么.勾股定理的证明勾股定理的证明措施诸多，常用的是拼图的措施用拼图的措施验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变化根据同一种图形的面积不同的表达措施，列出等式，推导出勾股定理常用措施如下：措施一：，化简可证措施二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为 因此措施三：，化简得证. 勾股定理的合用范畴勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只合用于直角三角形，对于

2、锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特性。. 勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则，懂得直角三角形一边，可得此外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决某些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。 勾股定理的逆定理是鉴定一种三角形与否是直角三角形的一种重要措施，它通过“数转化为形”来拟定三角形的也许形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形； 若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，为三边的三角形是锐角三角形； 定理中，及只是一种体现形式，不可觉

3、得是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边.勾股数可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常用的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表达组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）勾股定理的应用勾股定理可以协助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（一般作垂线），构造直角三角形，以便对的使用勾股定理进行求解. 勾股定理逆定理的应用勾

4、股定理的逆定理能协助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一种三角形与否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决某些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一种整体一般既要通过逆定理鉴定一种三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，两者相辅相成，完毕对问题的解决常用图形：10、互逆命题的概念如果一种命题的题设和结论分别是另一种命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一种叫做原命题，那么另一种叫做它的逆命题。 勾股定理典型题归类

5、类型一：等面积法求高【例题】如图，ABC中，ACB=900，AC=7，BC=24，CDAB于D。（1）求AB的长；（2）求CD的长。类型二：面积问题ABCD7cmmmmmmmm【例题】如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2。【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。（2）求ADC的度数【练2】如图，四边形是正方形，且=3，=4，阴影部分的面积是_.【练3】如图字母B所代表的正方形的面积是 类型三：距离最短问题【例题】 如图，A、B两个小集镇在河流

6、CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，目前要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABCDL【例题】如图，一种牧童在小河的南4km的A处牧马，而她正位于她的小屋B的西8km北7km处，她想把她的马牵到小河边去饮水，然后回家.她要完毕这件事情所走的最短路程是多少？小河AB东北牧童小屋【练1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 【练2】如图，边长为1的立方体中，

7、一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（）A、3B、 C、D、1BCA201510【练3】如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高 为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？类型四：判断三角形的形状【例题】如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。【练1】已知ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC与否为直角三角形.【练2】.已知a，b，c为ABC三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2)0，则它的

8、形状为（）三角形A.直角 B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角【练3】三角形的三边长为,则这个三角形是( ) 三角形（A）等边 （B）钝角 （C） 直角 （D）锐角类型五：直接考察勾股定理【例题】在RtABC中，C=90(1)已知a=6， c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.【练习】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型六：构造应用勾股定理 【例题】如图，已知：在中，. 求：BC的长. 练：ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且ADAC，求BD的长【练习】四边形ABCD中，B=

9、90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。类型七：运用勾股定理作长为的线段【例题】在数轴上表达的点。作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。2、已知始终角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积3、如下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40

10、类型九：生活问题【例题】如下左图，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米 【练1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5，高为12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6，问吸管要做 。【练2】如下左图学校有一块长方形花园，有很少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。她们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 【练3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周边数十千米范畴内形成气旋风暴，有极强的

11、破坏力，如图，据气象观测，距沿海某都市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会削弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不变，若都市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该都市与否会受到这交台风的影响？请阐明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该都市持续时间有多少？（3）该都市受到台风影响的最大风力为几级？类型十：翻折问题【例题】如图，有一种直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重叠，你能求出CD的长吗？1.如

12、图,矩形纸片ABCD中,已知AD=4,折叠纸片使AB边与对角线AC重叠,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=.则AB的长为( )【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 【练习2】如图，ABC中，C=90，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的长。 【练习3】如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处。（1）求证：（2）设，试猜想之间的一种关系，并予以证明【练习4】如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=,折叠纸片使AD边与对角线BD重叠,折痕为DG,则AG的长为 4.如图所示,将一种长方形纸

13、片ABCD沿对角线AC折叠.点B落在E点,AE交DC于F点,已知AB=8cm,BC=4cm.则折叠后重叠部分的面积为 5.如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A与C重叠,若长方形的长BC为8,宽AB为4,则折叠后重叠部分的面积是 6.如图所示,在完全重叠放置的两张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片折叠,使点C与点A重叠,折痕为EF,点D的相应点为点G,连接DG,则图中阴影部分的面积为 类型十一：旋转问题例题：如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转到CBE的位置，若BP=，求：以PE为边长的正方形的面积练习：如图2-9，ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度数