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1、 高等数学 一填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）; 1.设，则的一种原函数是 . 2.曲线与轴、轴和直线所围成的面积是 . 3.已知曲线上的任一点的切线斜率是，并且曲线通过定点，则 曲线方程 . 4.在上的零点有 个. 5.已知存在，且，则 . 二选择题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1.已知具有二阶持续导数，则下面对的的是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3.已知的一阶导数在上持续，且， 则（ ） A. B. C. D. 4.设的导数在处持续，又，则 （ ） A.是的极小值点 B.是的极大值点 C.是曲线的拐点 D.不是的极值点，也不是曲线的
2、拐 点。 5. 设，那么在点处（ ） A.其持续性无法鉴定。B.是可导的。 C.是持续的，但不可导。D.是不持续的。三计算题（本题共6小题，共38分）1. 求。(6分)2. 求抛物线的曲率半径。(6分)3. 求函数的极值和拐点。(6分)4.已知函数，求。(6分)5.求。(7分)6.设可导，若，求。(7分)四. 证明题（22分）1.证明：当时，。 （6分）2.设在上持续，在内可导，且，证明：至少存在一点，使得。 (8分)3.设在上持续且单调减少，试证明对任何，皆有：。 （8分）高等数学 一填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1. 2.3. 4. 25二选择题（本题共5小题，每题4分，共20
3、分）1-5. DBDBC三计算题（本题共8小题，共38分）1. 解一：解二：2. 解： ，则 ， 故。3. 解： 当时，令，得的驻点：，令，得的可疑拐点：， 当时，令，得的驻点：，令，没有可疑拐点， 是的不可导点又当时，当时，当时，当时，是的极小点，极小值是 和 是的极大点，极大值是又当时，当时，当时， 点和点是的拐点。4. 解：因此 5. 解：6. 解：记，那么当时，两边求导，得： 因此 又，可导必持续，从而得因此 于是两边求定积分，得： 因此 四、证明题（22分）1. 证一：令则，在上持续，且，令，得驻点当时，单调增长，当时，又当时，单调减少，当时，综上所述，当时，即。证二：令则，在上持续，且， 在上是向上凸的，当时，即得：当时，。2. 证：令，、在上持续，在内可导，在上持续，在内可导，根据拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得： .(*)又， （或直接在上应用罗尔定理即可证得。） ，由(*)式可得 ：，即因此，至少存在一点，使得。3. 证：令 ，则在上持续，在上可导，又显然有。对求导，得：当时在上单调减少，当时，因此 从而，在上是单调减少的，于是当时，有：，即：。
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