《（浙江专用）2020年高考数学一轮复习讲练测 专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲）（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专用）2020年高考数学一轮复习讲练测 专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲）（含解析）（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第01讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 -讲1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.3.高考预测：（1）三角函数的定义； （2）扇形的面积、弧长及圆心角；（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标4.备考重点： (1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.知识点1象限角及终边相同的角1任意角、角的分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角：终边与角相同的角可写成k
2、360(kZ)2弧度制：1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关3弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度【典例1】（2019乐陵市第一中学高三专题练习）如果，那么与终边相同的角可以表示为A BC D【答案】B【解析】由题意得，与终边相同的角可以表示为故选B【规律方法】象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角(2)转化
3、法：先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角【变式1】若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上,的终边在第一象限或第三象限.【解析】角是第二象限角，（1）， 角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上（2），当时，的终边在第一象限当时，的终边在第三象限综上所述，的终边在第一象限或第三象限知识点2三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设是一个任意角，角的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin y，cos x，tan ，它们都是以角为自变
4、量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数2.三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos ，sin )，即P(cos ，sin )，其中cos OM，sin MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线【典例2】（2011江西高考真题
5、（文）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_.【答案】-8【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.=【规律方法】1.已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解2.已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值【变式2】（浙江省嘉兴市第一中学期中）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三角函数的定义可得故选B
6、知识点3扇形的弧长及面积公式弧长公式：l|r，扇形面积公式：S扇形lr|r2.【典例3】（2019河南高考模拟（理）已知圆与直线相切于，点同时从点出发，沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当运动到点时，点也停止运动，连接，（如图），则阴影部分面积，的大小关系是（ ）ABCD先，再，最后【答案】A【解析】如图所示，因为直线与圆相切，所以，所以扇形的面积为，,因为，所以扇形AOQ的面积,即，所以，【总结提升】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)
7、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形【变式3】（浙江省诸暨中学）已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】设扇形的半径为，弧长为 ，则 解得 或 故选C考点1 象限角及终边相同的角【典例4】 (2019宁夏质检)终边在直线上，且在内的角的集合为 .【答案】【解析】如图，在坐标系中画出直线，可以发现它与x轴的夹角是，在内，终边在直线上的角有两个：，；在内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.【易错提醒】(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360
8、的整数倍(2)终边在一条直线上的角之间相差180的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90的整数倍【变式4】（浙江省杭州第二中学）若是第三象限的角, 则是 （ ）A. 第一或第二象限的角 B. 第一或第三象限的角 C. 第二或第三象限的角 D. 第二或第四象限的角【答案】B【解析】是第三象限角，故当为偶数时， 是第一象限角；故当为奇数时， 是第三象限角，故选B.考点2 利用三角函数定义求值【典例5】（浙江省台州中学期中）已知角的终边过点,且，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知，是第三象限角，可得，即，解得，故选B.【规律方法】1.已知角终边上一点P的坐
9、标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解2.已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值【变式5】已知角的终边在射线上，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题得在第四象限,且，所以故答案为：A.考点3 三角函数值的符号判定【典例6】（浙江省东阳中学月考）已知且，则角的终边所在的象限是（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，
10、所以终边在第二象限，应选答案B.【总结提升】判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解【变式6】已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3【答案】A【解析】，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.故选A.考点4 扇形的弧长及面积公式【典例7】（2019甘肃高三月考（理）若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于()A5 B2 C3 D4【答案】B【解析】因为扇形的周长与面积的
11、数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R，扇形弧长为l，则lR=2R+l，所以即是lR=4R+2l，l=l0，R2故选：B【总结提升】(1) 弧度制下l|r，Slr，此时为弧度扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式在角度制下，弧长l，扇形面积S，此时n为角度，它们之间有着必然的联系(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形【变式7】（2018湖北高考模拟（理）九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中方田一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢矢矢），公式中“弦
12、”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中，）A15 B16 C17 D18【答案】B【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，因此两者之差为，选B.考点5 单位圆、三角函数线的应用【典例8】（2018年文北京卷）在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若，则P所在
13、的圆弧是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A选项：当点在上时，故A选项错误；B选项：当点在上时，故B选项错误；C选项：当点在上时，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，故D选项错误.综上，故选C.【规律方法】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置(2)根据不等式(组)定出角的范围(3)求交集，找单位圆中公共的部分(4)写出角的表达式【变式8】（2018年5月3日 三角函数线）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）；（2）【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】（1）（，），作出角的终边如图所示，交单位圆于点P，作PMx轴于M，则有向线段MP=sin，有向线段OM=cos，设过A（1，0）垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段AT=tan，综上所述，图（1）中的有向线段MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线；（2）（，），在第三象限内作出角的终边如图所示，交单位圆于点P，用类似（1）的方法作图，可得图（2）中的有向线段MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线 11
（浙江专用）2020年高考数学一轮复习讲练测 专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲）（含解析）
