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1、会计学1D高斯高斯(o s)公式斯托克斯公式公式斯托克斯公式第一页，共17页。利用两类曲面(qmin)积分的联系，高斯公式还可以有以下(yxi)形式：其中(qzhng)，是在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.第1页/共17页第二页，共17页。x3z1y其中(qzhng)为柱面闭域 的整个(zhngg)边界曲面的外侧.解解:这里利用Gauss 公式,得原式=及平面 z=0,z=3 所围空间思考思考:若 改为内侧,结果有何变化?若 为圆柱侧面(取外侧),如何计算?利用质心公式,注意第2页/共17页第三页，共17页。hzyxO其中(qzhng)为锥面解解:作辅助作辅助(fzh)面面取上侧介于z=
2、0及 z=h 之间部分的下侧,为法向量的方向角.所围区域为,则 h1第3页/共17页第四页，共17页。yxz2yxz2O利用质心公式(gngsh),注意4h提示提示(tsh):作取上侧的辅助面作取上侧的辅助面介于平面 z=0 及 z=2之间部分的下侧.2hzyxOh1先二后一yxDyxhdd2第4页/共17页第五页，共17页。Ozxy设 为曲面(qmin)取上侧,求 解解:作辅助(fzh)面用柱坐标用柱坐标(zubio)用极坐标用极坐标2111yxD下侧第5页/共17页第六页，共17页。yzxO定理定理2.设光滑曲面设光滑曲面 的边界的边界 是分段是分段(fn dun)光滑曲线光滑曲线,(斯托
3、克斯公式斯托克斯公式(gngsh)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一nyxDC则有简介 第6页/共17页第七页，共17页。注意注意(zh y):如果如果 是是 xOy 面上的一块平面区域面上的一块平面区域,则斯托克斯 公式(gngsh)就是格林公式(gngsh),故格林公式(gngsh)是斯托克斯公式(gngsh)的特例.定理1 yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd 第7页/共17页第八页，共17页。为便于(biny)记忆,斯托克斯公式还可写作:zRyQxPddd 或用第一类曲面(qmin)积分表示:zRyQxPddd 定理
4、(dngl)1 第8页/共17页第九页，共17页。zxy111O其中(qzhng)为平面 x+y+z=1 被三坐标面所截三角形的整解解:记三角形域为,取上侧,则个边界(binji),方向如图所示.zyyxxzddd利用对称性yxD第9页/共17页第十页，共17页。z2xyO与平面(pngmin)y=z 的交线,从 z 轴正向(zhn xin)看为顺时针,解解:设设 为平面为平面(pngmin)z=y 上被上被 所围椭圆域所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦公式其他形式 计算第10页/共17页第十一页，共17页。1.高斯(o s)公式及其应用公式(gngsh):应用:计算曲面
5、积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)第11页/共17页第十二页，共17页。2.斯托克斯公式斯托克斯公式(gngsh)第12页/共17页第十三页，共17页。P236 1 (4),P245 2 (4)P247 4 (2)(3)第七节 第13页/共17页第十四页，共17页。所围立体(lt),判断(pndun)下列演算是否正确?(1)(2)31R 为2R第14页/共17页第十五页，共17页。rncosrn所围立体(lt)的体 是 外法线(f xin)向量与点(x,y,z)的向径,222zyxr试证证证:设 的单位外法向量为 则的夹角,积为V,r,cos,(cosn,),(zyxr 第15页/共17页第十六页，共17页。德国数学家、天文学家和物理学家(w l xu ji),是与阿基米德(j m d),牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何 在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.第16页/共17页第十七页，共17页。
D高斯公式斯托克斯公式学习教案
