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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date图形变换对角互补和角含半角旋转.习题集_x0001_对角互补和角含半角旋转真题链接【例1】 在中，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段（1）若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；（2）在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点在线段上运
2、动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围（2012北京中考）【答案】（1）补全图形，见图1；（2）猜想：证明：如图2，连结是的中点，点在直线上，又为公共边，又，在四边形中，（3）的范围是课堂练习一、对角互补旋转【例1】 在等腰直角中，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化 【答案】连接因为且，所以因为是的中点，所以，且，则因为，所以，所以，所以因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变的面积与边的大小有关当点从出发到中点时，面积由大变小；当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大【例2】 如图所示，在四边形
3、中，于，若四边形 的面积是16，求的长【答案】如图，过点作，延长交于点，容易证得（实际上就是把逆时针旋转，得到正方形）正方形的面积等于四边形面积为，【例3】 在五边形中，已知，连接求证：平分 【答案】连接由于，我们以为中心，将逆时针旋转到的位置因，所以点与点重合，而，所以、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，且，所以在与中，因为，故，因此，即平分【例4】 在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B（1）求BAO的度数；（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD点Q在AD上，连结PQ，过作射线PFPQ交x轴于点F，作PGx轴于点G求证：PFP
4、Q；（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED若P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由图1图2【答案】（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点BA（6，0），B（0，6）OA=OB在AOB中， （2）在等腰直角三角形APD中，DA=DP，DPAD于D由（1）可得又PGx轴于G，yPG = PD 即又PQPF， 在PGF和PDQ中，PGFPDQ（ASA）PF=PQ2x图1ABQGPOFD134756图2DAEBOyPxH3412（3）答：OPDP，OPDP证明：延长DP至H，使得PH=PDP为BE的中点，PB=PE在PBH
5、和PED中，PBHPED（SAS）BH=EDBHED在等腰直角三角形ADE中，AD=ED，AD=BH，.DEx轴，BHx轴， BHy轴由（1）可得 OA=OB在DAO和HBO中，DAOHBO（SAS）OD=OH，5=6 ,.在等腰直角三角形DOH中，DP=HP，OPDP，.OP=PD二、角含半角旋转【例5】 、分别是正方形的边、上的点，且，为垂足，求证： 【答案】延长至，使，连结，易证，再证，全等三角形的对应高相等（利用三角形全等可证得），则有【例6】 如图，点是以为圆心，为直径的半圆的中点，等腰直角三角板角的顶点与点重合，当此三角板绕点旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径分别相交于、两点
6、设线段的长为，线段的长为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）ABCD（2014海淀一模）【答案】C【解析】由角中半角可知，故选C【例7】 阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图，点、分别在正方形的边，上，连结，则，试说明理由小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段，是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法她的方法是将绕着点逆时针旋转得到，再利用全等的知识解决了这个问题（如图）参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图，四边形中，点，分别在边，上，若，都不是直角，则当与满足_关系时，仍有；
7、（2）如图，在中，点、均在边上，且，若，求的长（2014东城一模）【答案】（1）（或互补）（2），把绕点逆时针旋转至，可使与重合，中，即在与中，又，又，【例8】 如图，点、分别是正方形的边、上的点，连接，则、之间的数量关系是：连结，交、于点、，且、满足，请证明这个等量关系；（2）在中， ，点、分别为边上的两点如图，当，时，、应满足的等量关系是_；如图，当，时，、应满足的等量关系是_【参考：】（2014平谷一模）【答案】（1）在正方形中，把绕点逆时针旋转得到连结则，在中，（2）；【例9】 问题：如图，在等腰梯形中，点，分别在，上，若，试探究线段，有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问
8、题：如图，在四边形中，点，分别在，的延长线上，若仍然成立，请你进一步探究线段，又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明（2013东城一模）【答案】解：（1）猜想的结论：（2）猜想的结论：证明：在截取，连接，又，即，即又，【例10】 在等边的两边，所在直线上分别有两点、，为外一点，且，探究：当点分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系（1）如图，当点在边上，且时，之间的数量关系式_；此时_（2）如图，当点在边上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图，当点分别在边的延长线上时，若，则_（用表示）【答案】第三问提示：利用旋转，即可得到两个影
9、印部分全等三、线段的旋转【例11】 在中，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角为，且，连接，（1）如图，当，时，的大小为_；（2）如图2，当，时，求的大小；（3）已知的大小为（），若的大小与（）中的结果相同，请直接写出的大小图1 图2（2014海淀一模）【答案】（1）；（2）如图作等边，连结、，由，得，由，得（3），或【例12】 已知：在中，点是边上任意一点，将射线绕点逆时针旋转与过点且平行于边的直线交于点（1）如图1，当时，请直接写出线段与之间的数量关系_；（2）如图2，当时，判断线段与之间的数量关系，并进行证明；（3）如图3，当为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段与之间的数量关系
10、：_（用含的式子表示，其中）（2014门头沟一模）【答案】（1）；（2）；理由如下：过点作，交于，是等腰直角三角形，（3）补全图形如图，关系：四、其他旋转综合【例13】 如图所示，将一个边长为的正方形和一个长为、宽为的长方形拼在一起，构成一个大的长方形现将小长方形绕点顺时针旋转至，旋转角为（1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；（2）如图，为中点，且，求证：；（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由（2014密云一模）【答案】（1）（2）为中点，又（3）能，或【例14】 在图1至图3中，点是线段的中点，点是线段的中点四边形和都是正方形的中
11、点是（1）如图1，点在的延长线上，点与点重合时，点与点重合，求证：，；（2）将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：是等腰直角三角形；（3）将图2中的缩短到图3的情况，还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）【答案】（1）证明：四边形和都是正方形，又点与点重合，点与点重合，（2）证明：连接、，如图，设与交于点分别是的中点，且，且四边形是平行四边形又，且是等腰直角三角形（3）是【例15】 如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，将直线绕点逆时针旋转，交直线于点将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为解答问题：（1）当点与点重合时，如图2所示，可得的值为_；在平移过程
12、中，的值为_（用含的代数式表示）；（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变当点落在线段上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；（3）将图1中的三角板绕点逆时针旋转度，原题中的其他条件保持不变计算的值（用含的代数式表示）（2013初三上海淀期末）【答案】（）；（）连结，均为等腰直角三角形，点为的中点，平分， （）过作的垂线交直线于点，连结、，为等腰直角三角形，课后作业【练1】 如图，已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且 求证：【答案】证明：因为四边形是正方形，所以，因为，所以，所以，故，故【练2】 如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若APQ的周长为2，求PCQ的度数 【答案】把绕点旋转到的位置，又，又，又，【练3】 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长 【答案】如图所示，延长到使在与中，因为，所以，故因为，所以又因为，所以在与中，所以，则，所以的周长为-
图形变换对角互补和角含半角旋转.习题集
